初中数学北师大版九年级上册1 认识一元二次方程教学演示课件ppt

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数学 九年级上册 BS版
1. 等号两边都是关于未知数的 的方程，称为整式方程.2. 只含有一个 的 方程，并且可以化成 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ， b ， c 为常数， a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2＋ bx ＋ c ＝0　
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程.
一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18.化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .①
解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为 m，宽为　　　 m，根据题意，可得方程：
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示 为： ， ， ， .　根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m.如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m，根据题意，可得方程：
问题3：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
72 + (x + 6)2 = 102.化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③
① 2x2 - 13x + 11 = 0；② x2 - 8x - 20＝0；③ x2 + 12 x - 15 = 0.
1.只含有一个未知数； 2.未知数的最高次数是 2；3.整式方程．
方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0(a，b，c 为常数，a ≠ 0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0).
其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项.
一元二次方程的一般形式
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a ≠ 0， b = 0 时，
当 a ≠ 0， c = 0 时，
ax2＋bx = 0，
当 a ≠ 0，b = c =0 时，
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
（2）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.①4 x2－3 x ＝ x （ x －2）；②3 x （ x －1）＝（ x ＋2）（ x －2）＋9.
解：①去括号，得4 x2－3 x ＝ x2－2 x .移项、合并同类项，得3 x2－ x ＝0.其中，二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0.
②去括号，得3 x2－3 x ＝ x2－4＋9.移项、合并同类项，得2 x2－3 x －5＝0.其中，二次项系数为2，一次项系数为－3，常数项为－5.
【点拨】求一元二次方程的各项及其系数或常数项时，其基本步骤：①将原方程进行化简整理为一般形式 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0），习惯上，一般式中的二次项系数化为正数；②确定 a ， b ， c 的值（特别注意要包含前面的符号）.
（1）3 x2＝－5；
解：（1）一般形式为3 x2＋5＝0，二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为5.
（2）6 x2＝3－7 x ；
解：（2）一般形式为6 x2＋7 x －3＝0，二次项系数为6，一次项系数为7，常数项为－3.
（3）3 x （ x －1）＝2（ x ＋2）＋4；
解：（3）一般形式为3 x2－5 x －8＝0，二次项系数为3，一次项系数为－5，常数项为－8.
（4）（ x － b ）2＋（ a ＋ x ）2＝ a2＋ b2.
解：（4）一般形式为 x2＋（ a － b ） x ＝0，二次项系数为1，一次项系数为 a － b ，常数项为0.
某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，那么平均每天可售出500 kg .经市场调查发现，在进货价不变的情况下，销售价每上涨1元，日销售量将减少20 kg .现该商场要想使这种水果的盈利平均每天达到6 000元，那么每千克水果应涨价多少元？根据题意，列出方程，化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：设每千克水果涨价 x 元.根据题意，得（10＋ x ）（500－20 x ）＝6 000.一般形式为 x2－15 x ＋50＝0.其中，二次项系数为1，一次项系数为－15，常数项为50.
【点拨】一元二次方程是刻画现实世界的一个常用的数学模型，常见的列一元二次方程解决实际问题的类型为图形面积问题、增长率问题、行程问题、工程问题等.解决问题的一般步骤：①设未知数；②用未知数表示相关量；③根据相关量间的等量关系列方程；④将方程化简.
1. （2023·广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 x ，依题意可列方程为（　B　）
2. 有一个面积是15 cm2的矩形，当长增加1 cm，宽增加3 cm时，恰好变成一个正方形.设这个正方形的边长是 x cm，根据题意，可列方程为 ，把它化为一元二次方程的一般形式是 ⁠.
（ x －1）（ x －3）＝15　
x2－4 x －12＝0　
已知关于 x 的方程（ m2－1） x2＋（ m ＋1） x －2＝0.（1）当 m 为何值时，此方程为一元一次方程？（2）当 m 为何值时，此方程为一元二次方程？并写出方程的二 次项系数、一次项系数和常数项.
解得 m ＝1.∴当 m ＝1时，原方程为一元一次方程.
（2）若原方程为一元二次方程，则 m2－1≠0.解得 m ≠±1.∴当 m ≠±1时，原方程为一元二次方程.此时，方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为 m2－1， m ＋1，－2.
【点拨】对于含有字母参数的关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0：①当 a ＝0， b ≠0时，原方程是一元一次方程；②当 a ≠0时，原方程是一元二次方程，字母 b ， c 可以取任意实数.一元一次方程和一元二次方程的相同点是都是整式方程，且只含有一个未知数，不同点是未知数的最高次数不同，分别为1和2.
（1）当 k 取何值时，它是一元一次方程？
（2）当 k 取何值时，它是一元二次方程？