初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系授课课件ppt

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数学 九年级上册 BS版
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac.当 Δ ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ ＜ 0 时，方程无实数根.
探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算 解下列方程并完成填空：(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
x1 + x2 = -3
x1 + x2 = 5
（1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
重要发现方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以得到什么结论？
注：b2 - 4ac≥0↗
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为 x1， x2，那么
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
（1）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x － a ＝0的一个根是2，则 另一个根是 ⁠.
【解析】（方法一）把 x ＝2代入原方程，得4＋2－ a ＝0.解得 a ＝6.则原方程为 x2＋ x －6＝0.因式分解，得（ x －2）（ x ＋3）＝0.
解得 x1＝2， x2＝－3.故答案为－3.（方法二）设另一个根为 m .由根与系数的关系，得 m ＋2＝－1.∴ m ＝－3.故答案为－3.
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，既可以用方 程的根的意义来解答，也可以用根与系数的关系来解答.一般 地，第二种方法更为简捷.
（2）已知方程 x2－2 x ＋ m ＝0的两根分别为3和 n ，则 m ＋ n 的 值为 ⁠.
【解析】由根与系数的关系，得3＋ n ＝2，3 n ＝ m .解得 n ＝－1， m ＝－3.则 m ＋ n ＝－4.故答案为－4.
1. 若4和8是方程 x2＋ mx ＋ n ＝0的两个根，则 m － n 的值为 （　B　）
2. 若关于 x 的方程2 x2＋ mx －4＝0的一个根为1，则另一个根 为 ⁠.
已知 x1， x2是方程 x2－3 x －2＝0的两个根，不解方程，求下列 代数式的值：
解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 x1＋ x2＝3， x1 x2＝－2.
（2）（ x1－3）（ x2－3）＝ x1 x2－3 x1－3 x2＋9＝ x1 x2－3（ x1＋ x2）＋9＝－2－3×3＋9＝－2.
【点拨】小题中 x1， x2的地位是“对称的”，这样的式子一般 用一元二次方程的根与系数的关系就可以解决.
解：由一元二次方程的根与系数的关系，得α＋β＝3，αβ＝－1.
（3）α2－α＋2β.
（3）∵α方程是 x2－3 x －1＝0的一个根，∴α2－3α－1＝0.∴α2＝3α＋1.∴α2－α＋2β＝3α＋1－α＋2β＝2（α＋β）＋1＝6＋1＝7.
已知关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋2 m －1＝0有 x1， x2两个实数根.
（1）若 x1＝1，求 x2及 m 的值.
解：（1）根据题意，得Δ＝（－6）2－4（2 m －1）≥0.
解得 m ≤5.由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝6， x1 x2＝2 m －1.∵ x1＝1，∴1＋ x2＝6， x2＝2 m －1.∴ x2＝5， m ＝3.
【点拨】解决第（2）问需要注意的两个地方：①得到的关于 m 的方程是分式方程，需要检验是否有增根；②由于方程的系数 中有参数 m ，容易忽略由Δ≥0得出的参数的取值范围.
（2023·南充）已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m －1） x －3 m2＋ m ＝0.
（1）求证：无论 m 为何值，方程总有实数根；