北师版八上数学 期末复习课（一）（第一章　勾股定理）（课件）

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总复习　期末复习课期末复习课（一）（第一章　勾股定理）数学 八年级上册 BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS 1. 勾股定理.（1）文字语言：直角三角形两直角边的 等于 ⁠ 的平方.如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么 ⁠；平方和　斜边　a2＋ b2＝ c2　（2）几何语言：在Rt△ ABC 中（如图所示），∵∠ ACB ＝90°，∴ ⁠.注意：勾股定理成立的前提是已知三角形是直角三角形.BC2＋ AC2＝ AB2　2. 勾股定理的逆定理.（1）文字语言：如果一个三角形的三边长为 a ， b ， c 且满足 ，那么这个三角形是直角三角形；（2）几何语言：在△ ABC 中（如图所示），∵ ⁠ ，∴ 且∠ ACB ＝ 90°.3. 勾股数.（1）满足 a2＋ b2＝ c2的三个 ，称为勾股数.a2＋ b2 ＝ c2　BC2＋ AC2＝ AB2　△ ABC 是直角三角形　正整数　（2）常见的勾股数：4. 勾股定理的应用.（1）求边长（或线段长）.解决此类问题时，若没有直角三角形，则需要构造直角三角形，常见方法是作垂线段.（2）运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状或求角度.（3）解决最短距离问题.常见思路：两点之间线段最短；点到直线上任一点的连线中，垂线段最短.此类问题都是在平面图形中解决，因此常将几何体展开转化成平面图形来解决问题.（4）解决实际生活中的问题.数学 八年级上册 BS版0 2典例讲练 类型一　利用勾股定理求边长或面积 （1）如图，将等腰直角三角形 ABC （其中∠ B ＝90°）沿 EF 折叠，使点 A 落在 BC 边的中点 A1处.若 BC ＝8，则线段 AE 的长为 ⁠.5　【思路导航】由折叠的性质，得 A1 E ＝ AE . 可设 AE ＝ A1 E ＝ x ，然后用含 x 的式子表示出 BE ，最后在Rt△ A1 BE 中，利用勾股定理列出方程即可求得答案.【解析】由折叠的性质，得 A1 E ＝ AE . ∵△ ABC 为等腰直角三角形， BC ＝8，∴ AB ＝8.∵点 A1为 BC 的中点，∴ A1 B ＝4.设 AE ＝ A1 E ＝ x ，则 BE ＝8－ x .在Rt△ A1 BE 中，由勾股定理，得42＋（8－ x ）2＝ x2，解得 x ＝5.故答案为5.【点拨】利用勾股定理在折叠问题中求线段长的关键点：（1）折叠后，对应点、对应线段之间的位置、大小关系的变与不变；（2）抓住折叠问题中的相关点、线，寻找或构造直角三角形；（3）利用勾股定理列方程求解.（2）已知点 A ， B ， C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点 C 到线段 AB 所在直线的距离为 ⁠. 【思路导航】连接 AC ， BC ，设点 C 到线段 AB 所在直线的距离是 h ，先利用勾股定理求出 AB 的长，再利用三角形的面积公式即可得出结论. 【点拨】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方是解答此题的关键. 1. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长的直角边长为 b ，较短的直角边长为 a .若 ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 ⁠.3　2. 在等腰三角形 ABC 中，已知 AB ＝5， BC ＝6，求△ ABC 底边上的高.解：分两种情况讨论：①当 AB 为腰， BC 为底时，则 AB ＝ AC ＝5.如图1，过点 A 作 AD ⊥ BC ，交 BC 于点 D . 易得△ ABD ≌△ ACD ，∴ CD ＝3.在Rt△ ACD 中， AD2＝ AC2－ CD2＝52－32＝16，∴ AD ＝4； 类型二　勾股定理的逆定理的应用 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ B ＝90°， AB ＝16 cm， BC ＝12 cm， AD ＝21 cm， CD ＝29 cm.（1）求证：∠ DAC ＝90°；（2）求四边形 ABCD 的面积.   【点拨】判断一个三角形是否为直角三角形的两种方法：（1）利用定义，即若已知条件与角度有关，则可借助三角形的内角和判断；（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方. 1. 在下列各组数据中，其中能构成直角三角形的三边长的是（　D　）D2. 如图，已知方格纸中每个小正方形的边长均为1，且△ ABC 的顶点均在格点上.试判断△ ABC 的形状，并说明理由.解：△ ABC 是直角三角形，理由如下：由题意，得 AC2＝22＋42＝20， BC2＝22＋12＝5， AB2＝32＋42＝25.∵20＋5＝25，∴ AC2＋ BC2＝ AB2.∴△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°.类型三　几何问题中的最短路程问题 （1）如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点 A 出发，经过3个面爬到点 B . 若蚂蚁运动的路线是最短的，则最短路程为 ⁠. 【思路导航】将正方体展开，根据“两点之间线段最短”构造出直角三角形，进而求出最短路线的长. 【点拨】此题考查了平面展开——最短路程问题和勾股定理，熟练求出 AB 的长是解本题的关键.（2）如图，已知圆柱形玻璃杯高14 cm，底面圆周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯口3 cm与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁点 A 处爬到内壁点 B 处的最短路程为 cm（杯壁厚度不计）.20　【思路导航】将杯子侧面展开，作点 A 关于杯口所在直线的对称点A'，根据“两点之间线段最短”可知A'B的长度即为所求. 【点拨】涉及从杯壁外面与里面的最短路程问题时，一般要将侧面展开，同时找到起始点的对称点，连接对称点和终点，从而找到最短路程，最后利用勾股定理进行求解即可.   2. 如图，已知四边形 ABCD 是长方形地面， AB ＝10 m， AD ＝5 m，中间竖有一堵砖墙，高 MN ＝1 m.一只蚂蚁从点 A 爬到点 C ，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m.13　 类型四　利用勾股定理解决实际问题 某初中数学兴趣小组开展实践活动.如图，在校园里测量一块四边形场地 ABCD 的周长，其中边 CD 上有水池和建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度.经测量，得知 AB ＝ AD ＝ BD ＝60 m， BC ＝80 m，∠ ABC ＝150°.如果你是数学兴趣小组的成员，请想办法求出四边形 ABCD 的周长.【思路导航】利用等边三角形的判定与性质得出∠ ABD 的大小，再利用勾股定理得出 DC 的长.  台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，具有极强的破坏力.据气象观测，距沿海某城市所在位置点 A 的东南某方向240 km的点 B 处有一台风中心（如图所示），其中心风力为12级，该台风中心现在以20 km/h的速度向正西方向往点 F 移动，∠ ABF ＝30°，且台风中心的风力不变.若每远离台风中心25 km，则风力就会减弱一级，当城市所受风力达到或超过4级时，城市会受台风影响.（1）该城市是否受到台风影响？请说明理由.答图 答图 答图（2）若该城市受到台风影响，则该城市受台风影响持续的时间有多长？类型五　利用勾股定理解决动点问题 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ， AB ＝12 cm， CD ＝6 cm， DA ＝3 cm，∠ D ＝∠ A ＝90°，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以2 cm/s的速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以1 cm/s的速度移动.如果点 P ， Q 同时出发，用 t （单位：s）表示移动的时间，且0≤ t ≤3.（1）是否存在这样的 t ，使得∠ PCQ ＝90°？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由.（2）△ PBC 能否构成直角三角形？若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由.【思路导航】（1）假设能使得∠ PCQ ＝90°，利用勾股定理分别表示出 CQ ， PC ， PQ 的长度，然后在Rt△ PCQ 中利用勾股定理列方程求解，如果所求解满足0≤ t ≤3，则能构成直角三角形，否则不能构成直角三角形；（2）分∠ PCB 或∠ CPB 为直角，分别求出 t 的值即可.解：（1）不存在 t 值满足要求.理由如下：如图1，过点 C 作 CE ⊥ AB ，垂足为 E . ∵ AB ∥ CD ， CD ＝6 cm， DA ＝3 cm，∴ AE ＝6 cm， CE ＝3 cm.∴ CQ2＝ CD2＋ DQ2＝36＋ t2， CP2＝ CE2＋（ AE － AP ）2＝9＋（6－2 t ）2， PQ2＝（ AD － DQ ）2＋ AP2＝（3－ t ）2＋（2 t ）2.要使∠ PCQ ＝90°，则 CQ2 ＋ CP2＝ PQ2，即36＋ t2＋9＋（6－2 t ）2＝（3－ t ）2＋（2 t ）2，解得 t ＝4. ∵0≤ t ≤3，∴不存在使∠ PCQ ＝90°的 t 值.图1 图1 图2   图2【点拨】解与时间 t 有关的几何动点问题的基本方法：通过公式“速度×时间＝路程（线段的长度）”，用时间 t 表示出所需要的线段的长度.当涉及能否构成直角三角形时，就是看该三角形的三边长度的数量关系是否符合勾股定理，并能求出符合要求的 t 值，如果可以求出符合要求的 t 值，就能判断能形成直角三角形，否则不能形成直角三角形，从而解决问题.  解：由题意可知， P （ t ，2 t ）， B （6，2）， Q （5 t ，0）.根据勾股定理，得 PB2＝（6－ t ）2＋（2－2 t ）2， QB2＝（6－5 t ）2＋22， PQ2＝（5 t － t ）2＋4 t2＝20 t2.①当 PQ2＋ QB2＝ PB2时，△ PQB 为直角三角形，则20 t2＋（6－5 t ）2＋22＝（6－ t ）2＋（2－2 t ）2.整理，得 t 需满足方程 t2－ t ＝0；③当 PQ2＋ PB2 ＝ QB2时，△ PQB 为直角三角形，则20 t2＋（6－ t ）2＋（2－2 t ）2＝（6－5 t ）2＋22.整理，得 t 需满足方程 t ＝0，不符合题意，舍去.综上所述，当 t 满足方程 t2－ t ＝0或 t2－8 t ＋8＝0时，△ PQB 为直角三角形.②当 QB2＋ PB2＝ PQ2时，△ PQB 为直角三角形，则（6－5 t ）2＋22＋（6－ t ）2＋（2－2 t ）2＝20 t2.整理，得 t 需满足方程 t2－8 t ＋8＝0；演示完毕 谢谢观看