初中数学北师大版八年级上册2 平面直角坐标系教课课件ppt

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数学 八年级上册 BS版
◎问题综述平面直角坐标系是一种重要的数学工具，是数与形之间的 桥梁.通过平面直角坐标系的建立，平面上的点和有序实数对建 立了一一对应关系，为后续学习、研究函数的性质、函数与方 程和不等式的关系打下基础，这就使得用代数方法研究几何问 题，用几何方法研究代数问题成为可能.
类型一　与面积有关的坐标问题 （1）如图，已知△ ABC 的三个顶点恰好在正方形网格的格 点上.
①写出△ ABC 各顶点的坐标；②求△ ABC 的面积.
【思路导航】①由图即可得到各个顶点的坐标；②将△ ABC 放 到一个正方形中，利用割补法即可解答.
解：①由图可得， A （3，3）， B （－2，－2）， C （4，－ 3）.
【点拨】在平面直角坐标系中，利用点的坐标求面积问题或利 用面积求点的坐标问题是常见的题型.一般情况下，对于一些不 规则图形的面积，可以对图形进行割补，将图形转化为规则的 图形，再进行计算.
（2）在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的边 AB 在 x 轴上，点 A 的坐标为（－2，0），点 C 的坐标为（2，4）， S△ ABC ＝6.请在 图中画出符合条件的△ ABC ，并写出点 B 的坐标.
【思路导航】根据题意，先求 AB 的长度，分点 B 在点 A 的左边 和右边两种情况，在平面直角坐标系中画出△ ABC ，再写出点 B 的坐标即可.
解：因为 AB 在 x 轴上，点 A 的坐标为（－2，0），点 C 的坐标 为（2，4）， S△ ABC ＝6，
所以△ ABC 的边 AB 上的高为4.
画出符合条件的△ ABC 如图所示.
①当点 B 在点 A 的左边时，－2－3＝－5，所以点 B1的坐标为（－5，0）；
②当点 B 在点 A 的右边时，－2＋3＝1，所以点 B2的坐标为（1，0）.综上所述，点 B 的坐标为（－5，0）或（1，0）.
【点拨】已知面积求点的坐标时，常常先利用面积求得线段 长，再转化为点的坐标.注意：由线段长到点的坐标，有可能需 要分类讨论.
如图，已知点 A （－1，0）， C （1，4），点 B 在 x 轴上，且 AB ＝3.
（1）求△ ABC 的面积.（2）求点 B 的坐标.
（3）在 y 轴上是否存在点 P ，使以点 A ， B ， P 为顶点的三角形 的面积为10？若存在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由.
（2）如图，当点 B 在点 A 的左边时，－1－3＝－4，
所以点 B1的坐标为（－4，0）；
当点 B 在点 A 的右边时，－1＋3＝2，
所以点 B2的坐标为（2，0）.
综上所述，点 B 的坐标为（－4，0）或（2，0）.
类型二　与轴对称有关的坐标问题
（1）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （－1，3）， B （2，0）， C （－3，－1）.
①在图中作出△ ABC 关于 y 轴对称的图形△ A1 B1 C1，并写出点 A1， B1， C1的坐标；
②在 y 轴上找一点 P ，使 PA ＋ PC 的值最小，并求出点 P 的 坐标.
【思路导航】①先找出点 A ， B ， C 关于 y 轴对称的点，再依次 连接各对称点即可得到△ A1 B1 C1；②连接 A1 C ，交 y 轴于点 P ，这时 PA ＋ PC 的值最小，利用△ A1 OC 的面积的两种求法， 列方程求出 OP 的长即可.
解：①如图，△ A1 B1 C1即为所求作图形.
由图可得， A1（1，3）， B1（－2，0）， C1（3，－1）.
【点拨】在平面直角坐标系中，常考查最短路径问题.解决此类 问题常通过作点的对称点，使路径的点在一条直线上，再结合 面积相等即可求出点的坐标.
1. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 各顶点的坐标为 A （－2，3）， B （2，1）， C （－3，－2）.若点 P 是 y 轴上的 一动点，则 PA ＋ PC 的最小值为 ⁠.
2. 在平面直角坐标系中，已知直线 l 经过点（1，0）且平行于 y 轴，点 A （ m －1，3）与点 B （2， n －1）关于直线 l 对称，则 （ m ＋ n ）2 024的值为 ⁠.
类型三　特殊三角形中的点的坐标问题 在平面直角坐标系中，已知点 A （2，3），在坐标轴上找 一点 P ，使得△ AOP 是等腰三角形，则这样的点 P 共有 ⁠ 个.
【思路导航】求出 OA 的长，然后画出平面直角坐标系，分 类讨论两条相等的腰，作出符合等腰三角形的点 P 的位置， 即可得解.
（1）如图，当 OA 为腰时，①以点 O 为圆心， OA 的长为半径画 圆，与坐标轴交于四点： P1， P2， P3， P4；
②以点 A 为圆心， OA 的长为半径画圆，与坐标轴交于两点（原 点舍去）： P5， P6；
（2）当 OA 为底时，作 OA 的垂直平分线，与坐标轴有两个交 点： P7， P8.
综上所述，符合题意的点有8个.故答案为8.
【点拨】（1）因为等腰三角形 AOP 没有指明哪条边为底边，也 就需要分类讨论.（2）解决等腰三角形存在性问题有两种方法. 方法1（两圆一线）：①以已知线段为腰，用线段的两个端点为 圆心，线段长为半径，分别作圆；②以已知线段为底，作它的 垂直平分线.方法2：用两点之间的距离公式表示三条线段，由 两两相等进行计算.
如图，点 A ， B 的坐标分别为（0，2），（8，8），点 C （ m ， 0）为 x 轴正半轴上一个动点.是否存在点 C ，使△ ABC 为直角 三角形？若存在，请求出这个三角形的面积；若不存在，请说 明理由.
类型四　点的坐标规律问题 如图，在平面直角坐标系中，对△ ABC 进行循环往复的轴 对称变换.若原来点 A 的坐标是（ a ， b ），则经过第2023次变 换后所得的点 A 的坐标是 ⁠.
（－ a ， b ）　
【思路导航】观察图形可知，每4次变换为一个循环组，用2 023除以4，根据余数的情况确定图形所在的位置，得出规律即 可解答.
【解析】由图可知，4次变换为一个循环组.因为2023÷4＝ 505……3，所以第2023次变换后为第506个循环组的第3次变 换，相当于直接作关于 y 轴对称的变换.因为原来点 A 的坐标是 （ a ， b ），所以经过第2023次变换后所得的点 A 坐标是（－ a ， b ）.故答案为（－ a ， b ）.
【点拨】本题考查了坐标与图形变化——对称，准确识图，观 察出4次变换为一个循环组是解题的关键.
如图，在平面直角坐标系中，△ ABO 的顶点 A ， B ， O 的坐标 分别为（1，0），（0，1），（0，0），点列 P1， P2， P3，… 中的相邻两点都关于△ ABO 的一个顶点对称，点 P1与点 P2关于 点 A 对称，点 P2与点 P3关于点 B 对称，点 P3与点 P4关于点 O 对 称，点 P4与点 P5关于点 A 对称，点 P5与点 P6关于点 B 对称，点 P6与点 P7关于点 O 对称……且这些对称中心依次循环.已知点 P1 的坐标是（1，1），则点 P2023的坐标为 ⁠.
【解析】如答图，作点 P1关于点 A 的对称点，即可得到 P2（1， －1），同理可得 P3（－1，3）， P4（1，－3）， P5（1，3）， P6（－1，－1）， P7（1，1）， P8（1，－1）……所以这些点 的坐标每6个一循环.因为2 023÷6＝337……1，所以点 P2 023的 坐标与点 P1的坐标相同.所以点 P2023的坐标为（1，1）.故答案 为（1，1）.