数学八年级上册5 三角形的内角和定理授课课件ppt

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数学 八年级上册 BS版
1. 三角形内角和定理.三角形内角和等于 ⁠.注：（1）三角形的内角和等于180°是一个共性结论，与三角 形的具体形状或种类没有关系，所有三角形的内角之和都等于 180°；（2）由三角形的内角和定理可知直角三角形的两锐角 互余.
2. 三角形内角和定理的证明.（1）（方法一）如图1，将三角形中的两个角剪下后，可以与 第三个角拼成一个平角（平角的度数是180°）；
（2）（方法二）构造平行线.如图2，构造 CE ∥ AB ；或如图 3，构造 PQ ∥ BC . 利用平行线的性质说明三角形的三个内角的 和等于180°.
（1）如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，点 D 在 AC 上，且 DE ∥ AB . 若∠ CDE ＝160°，则∠ B 的度数为（　D　）
【思路导航】先利用平角的定义可得∠ ADE 的大小，再根据平 行线的性质求出∠ A ，然后由三角形内角和定理可得答案.
【解析】∵∠ CDE ＝160°，∴∠ ADE ＝180°－∠ CDE ＝ 20°.∵ DE ∥ AB ，∴∠ A ＝∠ ADE ＝20°.又∵∠ C ＝ 90°，∴∠ B ＝180°－∠ A －∠ C ＝180°－20°－90°＝ 70°.故选D.
【点拨】在三角形问题中，涉及到求角度时，“三角形的内角 和等于180°”一般作为解决三角形问题的隐含条件.
（2）如图，在△ ABC 中，已知∠ A ＝46°， CE 是∠ ACB 的平 分线，点 B ， C ， D 在同一条直线上， FD ∥ CE ，∠ D ＝ 42°，求∠ B 的度数.
【思路导航】先根据已知条件求得∠ BCE 的度数.再由 CE 是∠ ACB 的平分线，求出∠ ACB 的度数，最后利用三角形的内角和是180°求出∠ B 的度数.
解：∵ FD ∥ CE ，∴∠ BCE ＝∠ D ＝42°.∵ CE 是∠ ACB 的平分线，∴∠ ACB ＝2∠ BCE ＝84°.又∵∠ A ＝46°，∴∠ B ＝180°－∠ ACB －∠ A ＝180°－84°－46°＝50°.
【点拨】三角形内角和定理是三角形中三个内角之间的数量关 系，求三角形的某个内角的度数时，若已知一个内角，则必须 根据条件再求出另一个内角，才能求出最后一个角，其中平行 线的性质能起到转化角的作用.
1. 在△ ABC 中，已知∠ B 是∠ A 的2倍，∠ C 比∠ A 大20°，则 ∠ A 的度数为（　A　）
2. 如图，在△ ABC 中，已知∠ A ＝∠1，∠2＝∠ B ，∠ B ＝∠ ACB ，求∠ ACB 的度数.
解：设∠ A ＝∠1＝ x ，则∠ ADC ＝180－∠ A －∠1＝180°－2 x .∴∠2＝180°－∠ ADC ＝180°－[180°－（∠1＋∠ A ）]＝2 x .又∵∠2＝∠ B ，∠ B ＝∠ ACB ，∴∠ B ＝∠ ACB ＝2 x .∵∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB ＝180°，∴ x ＋2 x ＋2 x ＝180°，解得 x ＝36°.∴∠ ACB ＝2 x ＝2×36°＝72°.
（1）如图，在△ ABC 中，已知∠ B ＝46°，∠ C ＝54°， AD 平分∠ BAC ，交 BC 于点 D ， DE ∥ AB ，交 AC 于点 E ，则∠ ADE 的度数为 ⁠.
【思路导航】利用三角形内角和定理，结合平行线的性质求解 即可.
【点拨】对于求角的问题，需要综合运用已学定理和性质，如 三角形内角和定理、平行线的性质等，达到由已知推导未知的 目的.
（2）如图，将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，使点 C 落在点C'处. 若EC'恰好与 BC 平行，且∠ C ＝80°，则∠ BDE ＝ ⁠.
【思路导航】由折叠的性质得到相等的角，再利用三角形内角 和定理计算即可.
【解析】∵△ CED 沿 DE 折叠后得到△ C ' ED ，∴△ CED ≌△ C ' ED . ∴∠ CED ＝∠ C ' ED . ∵ EC '∥ BC ，∴∠ AEC '＝∠ C ＝80°.∵∠ AEC '＋∠ C ' ED ＋∠ CED ＝180°，∴∠ CED ＝ 50°.∴∠ CDE ＝180°－∠ C －∠ CED ＝180°－80°－50° ＝50°.∴∠ BDE ＝180°－∠ CDE ＝180°－50°＝130°.故 答案为130°.
【点拨】折叠前后的两个三角形全等，从而得到对应角相等， 再利用三角形内角和定理求解角度.熟练掌握折叠的性质及三角 形内角和定理是解决此类问题的关键.
1. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 是 BC 上的点，∠ BAD ＝∠ B ＝40°，将△ ABD 沿着 AD 翻折得到△ AED ，则∠ CDE 的度数 为 ⁠.
2. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E ， F ， G 分别在边 BC ， AC ， AC ， AB 上，且 DE ∥ BF ， FG ∥ BC ，∠ AGF ＝75°，∠ ABF ＝45°.
解：（1）∵ FG ∥ BC ，∠ AGF ＝75°，∴∠ ABC ＝∠ AGF ＝75°.又∵∠ ABF ＝45°，∴∠ CBF ＝∠ ABC －∠ ABF ＝75°－45°＝30°.∵ DE ∥ BF ，∴∠ CDE ＝∠ CBF ＝30°.∴∠ BDE ＝180°－∠ CDE ＝180°－30°＝150°.
（1）求∠ BDE 的度数；
（2）∵ DE ∥ BF ，∴∠ AFB ＝∠ AED . ∵∠ AFB ＝∠ CED ，∴∠ AED ＝∠ CED . ∴∠ AED ＋∠ CED ＝2∠ CED ＝180°.∴∠ CED ＝90°.由（1），得∠ CDE ＝30°，∴∠ C ＝180°－∠ CED －∠ CDE ＝180°－90°－30°＝60°.
（2）若∠ AFB ＝∠ CED ，求∠ C 的度数.
在△ ABC 中，已知 AD 平分∠ BAC ，∠ B ＜∠ C .
（1）如图1，若 AE ⊥ BC 于点 E ，∠ B ＝50°，∠ C ＝70°，求 ∠ DAE 的度数；
（2）如图2，若点 E 在 AD 上， EF ⊥ BC 于点 F ，试探究∠ DEF 与∠ B ，∠ C 的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点 E 在 AD 的延长线上， EF ⊥ BC 于点 F ，则∠ DEF 与∠ B ，∠ C 的数量关系是 ⁠. ⁠.
【思路导航】（1）根据三角形内角和定理、角平分线等分别求 出∠ CAD ，∠ CAE 的度数，即可解答；（2）过点 A 作 BC 的垂 线，与（1）同理，可求得∠ DEF ；（3）结合（1）（2）中的 结论，利用平行线的性质即可得出结论.
如图1，过点 A 作 AG ⊥ BC 于点 G .
∵ EF ⊥ BC ，∴ AG ∥ EF . ∴∠ DEF ＝∠ DAG .
【点拨】在求角的关系的问题中，需要灵活运用三角形内角和 定理、角平分线、平行线的性质等，通过等量代换得到结论.解 题时需认真分析，避免思路混乱.
如图，在△ ABC 中，已知 AD 平分∠ BAC ，点 P 为线段 AD 上的 一点，过点 P 作 PE ⊥ AD 交直线 BC 于点 E . （1）若∠ B ＝35°，∠ ACB ＝85°，求∠ E 的度数；
（2）试猜想∠ E 与∠ B ，∠ ACB 之间的数量关系，并证明你的 猜想.