数学必修 第二册6.4 平面向量的应用教学ppt课件

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余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即
a²=b²+c²-2|b||c|csb²=a²+c²-2|a||c|cs c²=a²+b²-2|a||b|cs
复习思考：余弦定理及其推论能解决哪些条件类型的解三角形问 题?已知三角形两边及夹角，求第三边(SAS)已知三角形三边，求角 (SSS)类比思考：若已知AAS或ASA类型的条件，能否解三角形呢? 如果能，是否也有相应的直接解三角形的公式?
在初中，我们有三角形中等边对等角的理论
问题1:通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间的联系.
根据锐角三角函数，在Rt△ABC中，有：则：
又因为sin C=sin 90° =1, 所 以
,sin B=,
问题2:对锐角三角形和钝角三角形， 关系式 是否仍成立? 锐角三角形 钝角三角形
asinB=bsinA即：
asinB=bsinA
jAB=j:(AC+CB)=j.AC+j.CB j·AB=j:(AC+CB)=jAC+j:CB
问题2:通你能用其他方法证明关系 成立吗?
→csinA=asinC
在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a、b、c, 求证：向量法2 作BC边上的高线AD
|ADI|AC|cs ∠CAD=ADI|AB|cs∠BAD
AD ·(AC-AB)=0 AD●AC=AD●AB
当该三角形为锐角三角形时
在△ABC 中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,求证：向 量 法 2
|ADI|AC|cs ∠CAD=ADI|AB |cs ∠BAD
AD ·(AC-AB)=0AD·AC=AD·AB
当该三角形为钝角三角形时
作BC 边上的高线AD
在等腰△OBC 中，∠BOD=∠A在Rt△OBD中
在△ABC 中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,求证：
(R 为△ABC 外接圆半径)
连接CO并延长，交三角形的外接圆于点A', 连接A'B,易知，∠A'BC=90°,CD=2R, 且∠A=∠A'
外接圆法2 如图，△ ABC的外接圆为圆0,其半径为R,
在Rt△A'BC中，∵
新知探究正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： R(R 为△ABC 外接圆半径).思考：利用正弦定理及其推论能解决哪种类型的解三角形问 题?是如何解决的?
新知探究正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： (R 为△ABC 外接圆半径).推论2 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin Ca:b:c=sin A:sin B:sin C推论3 a>b>c⇔A>B>C⇔sinA>sinB>sinC推论4
思考：若r为三角形内切圆半径，则三角形的面积与周长间有什么关系?
思考：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,各边上的高分别是h,h,,hc,
(r 为内切圆的半径)
则 S△ABC 能如何表示?
R为外接圆半径 r 为内切圆半径
解：由正弦定理，得：因为c>b,B=30°, 所以30°B, 所 以A=60° 或120°.
分别为 a,b,c. 向 量 m=(a,√3b) 与(cs A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=√7,b=2, 求sinC 的值. 解：(1)∵m//n,
所 以 sin C=sin(A+B)=sin Acs B+cs Asin B
n=(2)由正弦定理：
例3 △ABC 的内角A,B,C 所对的边
例 1 在△ABC 中，角A,B,C 所对边分别为a,b,c,m=(cs B,cs C),n=(c,b),且 m//n,判断△ABC 的形状.解：由共线定理 由正弦定理得
进 而 sin 2B=sin 2C,所以2B=2C 或 2B+2C=180°,即 B=C 或 B+C=90°,故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
课堂小结
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
课后作业·导学大书P33-P35 剩余例题·导数活页P28-P30 《 正弦定理》·《专题与测试卷》 专题—每一份付出都是成功的基石在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。 罗素
∵sin²A=sin²B+sin²C, ∴a²=b²+c²,∴A是直角，B +C=90°,∴2sin Bcs C=2sin Bcs(90°-B)=2sin²B=sin A=1,. ∵0°