[数学]浙江省杭州市“桐·浦·富·兴”教研联盟2023-2024学年高二下学期期末调研测试试题(解析版)

这是一份[数学]浙江省杭州市“桐·浦·富·兴”教研联盟2023-2024学年高二下学期期末调研测试试题(解析版)，共12页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，15B等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 36B. 48C. 96D. 24
【答案】B
【解析】等差数列中，由得.
故选：B
2. 某校一次数学考试成绩服从正态分布，已知，则（ ）
A. 0.15B. 0.25C. 0.3D. 0.2
【答案】C
【解析】由服从正态分布，，
得.故选：C
3. 已知随机变量的分布列如下，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由分布列的性质知，所以，
所以.
故选：B
4. 已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得：，
即，
根据导数的定义可知：，
又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率，
所以过点处的切线方程为：，即，
故选：A.
5. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，由对立事件概率计算公式可得：，
则，
故选：D.
6. 某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲､乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（ ）
A. 24B. 12C. 48D. 36
【答案】A
【解析】先将甲乙捆绑看做一个元素，那么就变成共有4个不同元素参与站成一排，
由于丙不站在两端，特殊元素优先，先安排丙共有种排法；
然后其他三个不同元素全排，共有种排法；
接着再捆绑的甲乙两人内部全排共有种排法，
因此总共满足条件的不同排法有种，
故选：A.
7. 已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，，
显然，则有，于是，
令，求导得，
当，即时，，函数在上单调递增，
，即；
当，即时，
当时，，函数在上单调递减，
，，此时，不符合题意，
所以实数的取值范围为.
故选：C
8. 记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ）
A. 23B. 22C. 24D. 25
【答案】D
【解析】由于，
而，
故.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对两个变量和进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. 在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数越大，拟合效果越好
B. 若变量和具有线性相关关系，则回归直线方程至少经过样本点的其中一个点
C. 建立两个回归模型，模型1的线性相关系数，模型2的线性相关系数，则模型1的线性相关性更强
D. 残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，模型的拟合效果越好
【答案】ACD
【解析】对于A：在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数越大，即残差平方和越小，所以拟合效果越好，故A正确；
对于B：回归直线方程不一定过样本点，故B错误；
对于C：因为，，即，所以模型1的线性相关性更强，故C正确；
对于D：残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，说明预测值与实际值越接近，所以模型的拟合效果越好，故D正确.
故选：ACD
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】令，代入，
得：，故选项A正确的；
由得：
，
所以，，
即，，由于，所以，故选项B是错误的；
由两边求导得：
，
再令，代入上式得：，故选项C是正确的；
再令，代入可得：
，
因为，所以，故选项D是错误的；
故选：AC.
11. 已知函数，其中，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B
C. ，使有两解，则
D. 有最大值
【答案】BD
【解析】对于A选项，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，无法判断的大小关系，故A错误；
对于B选项，，记，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
故B正确；
对于C选项，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，因此当时，仅有一解，故C错误；
对于D选项，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故D正确，
故选：BD.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足，且，则__________.
【答案】1
【解析】由可得：，两式相减得：
，由此可得：，
故答案为：1.
13. 已知盒子内有大小相同，质地均匀2个红球和3个白球，现从中取两个球，记随机变量为取出的红球的个数，则__________.
【答案】
【解析】由题意可得，随机变量的所有可能取值为0,1,2，
，
，
因此的分布列为：
,
故答案为：.
14. 已知函数满足，且，当时，，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】因为，
所以为奇函数，故为偶函数.
当时，，令，
故当时，，且为偶函数.
由，
故，
即.
而，
所以.
由上知在上递减，上递增.
因此，即.故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处的切线与直线垂直.
（1）求；
（2）求的极值.
解：（1）由可得，
则.因为切线与直线垂直，
所以，解得.
（2）由（1）知，
令得，或，
当时，，
所以的递增区间为；
当时，，所以的递减区间为.
因此当时，取得极大值1；当时，取得极小值.
16. 为贯彻落实《健康中国行动（2023-2030年）》､《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，其中男生与女生人数之比为，并对他们进行了“是否喜欢体育运动”的问卷调查，得到如下统计结果：
（1）请根据要求完成列联表，并根据独立性检验，判断是否有把握认为“是否喜欢体育运动”与性别有关；
（2）为了了解学生不喜欢体育运动的原因，从上述不喜欢体育运动的同学中随机选3位同学进行咨询，所选的3人中已知至少有两位是男生的条件下，求另外一位是女生的概率.
参考公式：.
解：（1）根据题意完成如下列联表，
假设：“是否喜欢体育运动”与性别无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即可以认为“是否喜欢体育运动”与性别无关.
（2）记事件：“所选3人中至少有两位是男生”，“所选3人中有女生”
则
所以.
17. 已知数列的前项和为，且，数列为等比数列，且.
（1）求数列通项公式；
（2）若数列满足，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.
解：（1）∵数列的前项和为，且，
∴当时，，当时，，故，
又数列为等比数列，设公比为，
则，所以，
所以.
（2），
∴，
故，
而，故，
由于当时，，故，
所以.
18. 有一款闯关游戏，其规则如下：一颗棋子位于数轴原点处，若掷出的骰子大于或者等于3，则棋子向右移动一个单位（从0移动到1），若掷出的骰子小于或者等于2，则棋子向右移动两个单位（从0移动到2），若棋子移动到99处，则“闯关失败”，若棋子移动到100处，则“闯关成功”，无论“闯关失败”或者“闯关成功”都将停止游戏，记棋子在坐标处的概率为.
（1）求；
（2）求证：为等比数列（其中），并求出；
（3）若有5人同时参加此游戏，记随机变量为“闯关成功”的人数，求（结果保留两位有效数字）.
解：（1）由题意，向右移动一步的概率为，向右移动两步的概率为，
由此得.
（2）由题意，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，故，
所以累加可得，
所以.
（3）由（2）可知，，所以，
而随机变量服从的二项分布，所以.
19. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若关于的方程有两根（其中），
①求的取值范围；
②当时，求的取值范围.
解：（1）当时，，所以，
由解得，由解得，
故的单调递增区间为的单调递减区间为.
（2）①由，
即，
即，
令，上式为，因为，
所以在上单调递增，故等价于，
即在上有两根，
令，则，
由解得，由解得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以有极大值，且当时，，
其图象如图所示：

所以的取值范围为.
②由①得在上有两根，所以，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，所以，
可得，所以，所以.
1
2
3
0
1
2
性别
体育运动
合计
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不喜欢
男生
50
女生
15
合计
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
体育运动
合计
喜欢
不喜欢
男生
50
10
60
女生
25
15
40
合计
75
25
100