[数学]四川省大数据精准教学联盟2024届高三第二次统一监测试题(文)(解析版)

这是一份[数学]四川省大数据精准教学联盟2024届高三第二次统一监测试题(文)(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，即，解得，
所以，又，
所以
故选：D
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令复数，则，
根据两个复数相等的条件有，解得，所以．
故选：A
3. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则；
甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则．
故选：A
4. 设，均为锐角，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，均为锐角，正弦函数在上单调递增，
因此，所以“”是“”的充要条件.
故选：C
5. 执行下图所示的程序框图，若输入N的值为5，则输出（ ）
A. 20B. 30C. 62D. 128
【答案】B
【解析】由，得，满足条件；，满足条件；
，满足条件；，满足条件；
，不满足条件，所以.
故选：B
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以由两角差的正弦公式得
，
所以.
故选：C.
7. 已知坐标原点在直线上的射影为点，则为，必然满足的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直线，即恒过定点，
由原点在直线上的射影点为，得，则点在以为直径的圆上，
该圆圆心为，半径为，
所以，满足的关系是.故选：B.
8. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，表现出鲜明的艺术特色，蕴涵着极致的数学美．现有一幅下图所示的正三角形剪纸设计图（图中的圆为三角形内切圆，设计图的三个角的阴影部分均为菱形）．若在该正三角形设计图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，设该正三角形边长为2，显然内切圆半径为，
易知是边长为1的正三角形，则，菱形的边长为，
则每个菱形的面积为，且设阴影部分面积为，
则，且设概率为，
由几何概型概率公式得，故A正确.
故选：A.
9. 已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，由于，，且，，
设，则，故，
所以，即，则，，，，
在中由余弦定理.
故选：B
10. 已知函数的最小正周期为，给出下列三个结论：
①；②函数在上单调递减；
③将的图象向左平移个单位可得到的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】因为函数的最小正周期为且，所以，解得，
所以；
则，故①正确；
当时，，因为在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故②正确；
将的图象向左平移个单位得到，
因为，所以结论③正确.
故选：D
11. 设球的直径为，球面上三个点，，确定的圆的圆心为，，，则面积的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】如图所示：为直角三角形，，则，又，
所以，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，所以，
所以是的中点，由，又，，
所以，又，
所以，当且仅当时取等号，
即面积的最大值为.
故选：B.
12. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又，
所以，解得，所以，则椭圆方程为，
当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
由，消去整理得，
在的条件下，可知，，
又，所以，即，
即，即，
所以，所以，所以，当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点，
又，根据对称性可知，
设，则（或），
所以，则，所以，
又，，所以，，
所以.
故选：D.
二、填空题
13. 已知向量，，，若，则______．
【答案】或
【解析】因为，，，
所以，，
因为，所以，即，
解得或.
故答案为：或.
14. 若，满足约束条件，则的最大值为______．
【答案】
【解析】因为，满足约束条件，作出可行域如下所示：
由，解得 ，由，解得，
由，解得，
所以约束条件表示的是以三点为顶点的三角形及其内部，
目标函数可化为，平移直线可知，
当直线经过点时，在轴上的截距最大，此时．
故答案为：
15. 已知的三内角，，满足，则的面积与外接圆的面积之比为______．
【答案】
【解析】由，
得，
即，
即，
所以的面积与外接圆的面积之比为，
故答案为：.
16. 已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】如图，因为是三棱锥外接球的直径，所以．
又，故平面，
因平面，则．又，所以面，
因平面，故．
于是，三棱锥的体积为．
因（当且仅当时等号成立），所以体积的最大值为，依题意，解得．因，故，
所以三棱锥的外接球的表面积为：．
故答案为：.
三、解答题
（一）必考题
17. 某公司为了解旗下的某产品的客户反馈情况，随机抽选了250名客户体验该产品并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理得到如下列联表：
（1）是否有99%的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系?
（2）公司为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取6人，收集对该产品改进建议．若在这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率．
附：，
解：（1）记事件“客户对该产品评价结果与性别因素没有关系”，
由列联表可得：，
依据，
所以有以上的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系.
（2）由题意：抽取的人中，有男性（名），
有女性（名），
设“在这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1名女性”为事件，
记名男性为，名女性为，
则从人中抽取人的所有可能结果为：
，
共种；
其中所抽取的人中至少有名女性的可能结果为：
，共种，
所以：.
18. 已知数列满足，．
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若数列满足，，求的前n项和．
解：（1）由，可得，
即，即，
故数列是等差数列，其首项为，公差为1，
则，解得；
（2）由可得，
则.
19. 如图，在三棱台中，与相交于点，平面，，，，，，且平面．
（1）求线段的长；
（2）求三棱锥的体积．
解：（1）连接，因为平面，平面，
平面平面，
所以，
由，有，
又，即，则，
所以.
（2）因为，，，
所以，则，
又，，所以，
又，所以，，
所以，
又平面，平面平面，
所以平面，
所以.
20. 已知函数．
（1）若有3个极值点，求a的取值范围；
（2）若，，证明：．
（1）解：由有3个极值点，
可得到具有3个变号零点，
当时不是的零点，
则可得在有3个交点，
构造函数，，
则，令，解得，
所以当，，单调递增，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以，
而当时，，当时，，当时，,
所以,
则的取值范围为.
（2）证明：构造函数
则，且，
构造函数，则，
再令，则，
因为时，则，在单调递增，
而，所以在单调递增，
所以，所以在单调递增，
故，即.
21. 已知与圆P：内切，且与直线：相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，延长AO，BO分别与直线：相交于点M，N．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点A作于，若，O，B三点共线，试探究线段MN的长度是否存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）依题意，动圆在圆外，设动圆的半径为，且，
由圆与圆内切，得，由圆与直线相切，
因此点到的距离等于点到直线的距离，
即曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
（2）线段MN的长度存在最小值，理由如下：
设，则，
由三点共线，得，解得，
直线的方程为，直线的方程为，则，
于是，则，
因此点在以为直径圆上，设直线与轴交于点，
由∽，得，
则
，
即，当且仅当取等号，
所以线段长度存在最小值，最小值为8.
（二）选考题
［选修4-4：坐标系与参数方程］
22. 在直角坐标系xOy中，图形的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，图形的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）已知点P的直角坐标为，图形与交于A，B两点，直线AB上异于点P的点Q满足，求点Q的直角坐标．
解：（1）因的极坐标方程为，将代入，
可得其直角坐标方程为，即．
（2）如图，可知点在图形上，则为参数，
将其代入，得．
设所对应参数分别为，则．
由，得，
即．
所以或，
即或．
易知，所以，
将其代入的参数方程为参数，
即可求得点的直角坐标为．
［选修4-5：不等式选讲］
23. 已知．
（1）设函数，若函数与的图象无公共点，求m的取值范围；
（2）令的最小值为T．若，证明：．
（1）解：依题意，，函数在上递减，在上递增，
函数是开口向下，对称轴为的抛物线，函数与的图象无公共点，
当且仅当方程在时无解，即在时无解，
因此在时无解，而，
当时，，
则当时，在时无解，
所以的取值范围是.
（2）证明：由（1）知，函数的最小值，
，当且仅当时等号成立，
所以.
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合计
男
50
100
150
女
50
50
100
合计
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0．10
0．05
0．010
0．001
k
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6．635
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