湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题，共8页。试卷主要包含了设复数z满足z﹣3＝3+4i，已知z＝2﹣i，则z，已知z，已知函数f，已知A，若a＞b＞1，x＝ln，y＝，已知定义在R上的偶函数f等内容，欢迎下载使用。
1．设复数z满足z﹣3＝3+4i（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．﹣1B．﹣iC．1D．i
2．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（ ）
A．6﹣2iB．4﹣2iC．6+2iD．4+2i
3．已知z（1﹣i）2＝2﹣3i，则z＝（ ）
A．B．1+2iC．D．2+i
4．已知函数f（x）＝2cs2x﹣sin2x+2，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
5．已知A（1，2），B（2，5），，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．若a＞b＞1，x＝ln，y＝（lna+lnb），z＝，则（ ）
A．x＜z＜yB．y＜z＜xC．z＜x＜yD．z＜y＜x
7．已知三棱锥V﹣ABC的外接球的体积为平面，则三棱锥V﹣ABC的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（0）＝1且f（x）+f（2﹣x）＝4，则＝（ ）
A．4049B．2025C．4048D．2024
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．已知不相等的复数z1，z2，则下列说法正确的是（ ）
A．若z2＜0，则z是纯虚数
B．若|z1|＝|z2|，则
C．若，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若，则
（多选）10．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（ ）
A．该圆锥的体积为π
B．该圆锥的侧面积为4π
C．AC＝2
D．△PAC的面积为
（多选）11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，AC1交平面A1BD于点E，点F为棱CD的中点，则（ ）
A．A1，E，O三点共线
B．三棱锥A1﹣BCD的外接球的表面积为3π
C．直线A1C与平面A1BD所成的角为45°
D．过点A1，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为
（多选）12．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）在[0，π]上有且只有三个零点，则下列说法中正确的有（ ）
A．在（0，π）上存在x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|＝2
B．ω的取值范围为[）
C．f（x）在（0，）上单调递增
D．f（x）在（0，π）上有且只有一个最大值点
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；
则肯定进入夏季的地区的有 ．
14．已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为3π，则该圆锥的体积为 ．
15．如图，△A'B'C'是△ABC的直观图（斜二测画法），其中A'与O'重合，C'在y'轴上，且B'C'∥x'轴，A'C'＝2，B'C'＝3，则△ABC的最长边长为 ．
16．如图所示，三个边长为4的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有100个不同的点D1，D2，D3，…D100，记，i＝1，2，…，100，则＝ ．
四．解答题（共5小题，共70分）
17．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7．
记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码
（Ⅰ）求甲、乙二人都破译密码的概率；
（Ⅱ）求恰有一人破译密码的概率；
（Ⅲ）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：
请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．
18．先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）写出三次结果对应数字之和为1这个事件所对应的子集；
（3）求三次结果对应数字之和不小于2的概率．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若△ABC的中线BD长为，求△ABC面积的最大值．
20．已知函数f（x）＝msinx+csx，（m＞0）的最大值为2．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的值域；
（Ⅱ）已知△ABC外接圆半径R＝，f（A﹣）+f（B﹣）＝4sinAsinB，角A，B所对的边分别是a，b，求+的值．
21．函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师JhanJensen在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数f（x）的定义域为[a，b]（或开区间（a，b）或a＝﹣∞，或b＝+∞都可以），若对于区间[a，b]上任意两个数x1，x2，均有成立，则称f（x）为区间[a，b]上的凸函数．
容易证明诸如：；y＝sinx（x∈（0，π））等函数都是凸函数．JhanJensen在1906年将上述不等式推广到了n个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数f（x）为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意n个数x1，x2，…，xn，均有成立，当且仅当x1＝x2＝…＝xn时等号成立．
（1）除上述给出的凸函数外，请再写出一个凸函数并利用凸函数的定义证明；
（2）若函数f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0）为R上的凸函数，求a的取值范围；
（3）在△ABC中，求的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：CCCBA 6-8:DAA
二．多选题（共4小题）
9：AC．
10：AC．
11：ABD．
12：ABC
三．填空题（共4小题）
13：①③．
14：．
15：5．
16：7200．
四．解答题（共5小题）
17．
【解答】解：（Ⅰ）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7．
记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码，
则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，
甲、乙二人都破译密码的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.7＝0.56．
（Ⅱ）恰有一人破译密码的概率为：
P（）＝P（A）P（）+P（）P（B）＝0.8×0.3+0.2×0.7＝0.38．
（Ⅲ）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，
∵A和B不是互斥事件，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），
小明求解时没有减掉甲、乙同时破译的概率，
正确解法为：
P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.8+0.7﹣0.8×0.7＝0.94．
18解：（1）先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0．其样本空间为{（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0）}；
（2）三次结果对应数字之和为1的样本点为（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），共3个；
（3）三次结果对应数字之和不小于2的样本点为（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）共4个，故．
19解：（1）因为，由正弦定理可得sinBcsA+sinBsinA＝sinA+sinC，
在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，sinA≠0，
可得sinB﹣csB＝2sin（B﹣）＝1，所以sin（B﹣）＝
即B﹣＝或，而B∈（0，π），
解得B＝；
（2）因为△ABC的中线BD长为，B＝，
可得＝（+），
可得||2＝（2+2+2•）＝（c2+a2+2accsB）＝（a2+c2+ac）
即12≥（2ac+ac），可得ac≤16，当且仅当a＝c＝4时取等号，
所以△ABC面积的S＝acsinB≤×16×＝4，
所以△ABC面积的最大值4．
20．解：（Ⅰ）由题意，f（x）的最大值为＝2．
而m＞0，于是m＝，f（x）＝2sin（x+）．
由于函数在[0，]上递增，在[，π]递减，
故当x＝时，函数取得最大值为2；当x＝π时，函数取得最小值为﹣，
∴函数f（x）在[0，π]上的值域为[﹣，2]．
（Ⅱ）∵f（A﹣）+f（B﹣）＝4sinAsinB，由正弦定理，可得2R（a+b）＝2ab，
∵△ABC的外接圆半径为R＝，∴a+b＝ab，∴＝．
21解：（1）函数f（x）＝﹣x2为凸函数，证明如下：
证明：对任意x1，x2∈R，
有[﹣2f（）＝﹣﹣﹣2[﹣（）2]
＝﹣﹣+（++2x1x2）
＝﹣（x1﹣x2）2≤0，
故，
即，
所以函数f（x）＝﹣x2是凸函数；
（2）由于函数f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0）为R上的凸函数，
所以对任意的x1，x2∈R，有，
故[﹣2f（）＝a+x1+a+x2﹣2[a（）2+（（）]
＝a+a﹣a（++2x1x2）
＝a（x1﹣x2）2，
因此，
结合a∈R，a≠0，故a＜0，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）；
（3）由基本不等式有，
当且仅当时取等号，
由Jensen不等式有，
从而有，当且仅当时取等号．
故的最小值为．
解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”
所以随机事件“密码被破译”可以表示为A+B
所以P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.8+0.7＝1.5