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辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测数学试卷（Word版附解析）
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这是一份辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数 学
满分：150分 考试时间：120分钟
命题人：赵立强 刘甫春 审题人：孙爽
一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有1顶是符合题目要求的．
1. 求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（ ）
A. ﹣2020B. ﹣1010C. ﹣505D. 1010
2. 等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在等比数列中，则为（ ）
A. B. C. D.
5. 设等差数列的前n项和为，若，则( )
A 3B. 4C. 5D. 6
6. 已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知数列满足，，且（，），设（表示不超过实数最大整数），又，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. ，D.
11. 对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（ ）
A. 若数列单调递增，则数列单调递增
B. 若数列是常数列，，则数列是周期数列
C 若，则数列没有最小值
D 若，则数列有最大值
三、填空题：本题共3小题，满分15分．
12. 已知，则__________．
13. 已知，记，，，，则______．
14. 数列满足，前16项和为540，则 ______________.
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15 已知函数.
（1）分别求出和的导数；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
16. 已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
17. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加．
（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，）
18. 过点作曲线（，常数，）的切线．切点为，点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，点在x轴上的投影是点；……依此类推，得到一系列点，，…，，设点的横坐标为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）求证：．
19. 已知数列的前项和为，且
（）求数列的通项公式；
（）若数列满足，求数列的通项公式；
（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
沈阳市第120中学2003—2024学年度下学期
高二年级第二次质量监测试题
数 学
满分：150分 考试时间：120分钟
命题人：赵立强 刘甫春 审题人：孙爽
一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有1顶是符合题目要求的．
1. 求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（ ）
A. ﹣2020B. ﹣1010C. ﹣505D. 1010
【答案】B
【解析】
【分析】分组求和，奇数项和相邻的偶数和均为-2，即可求出结果.
【详解】
.
故选:B
【点睛】本题考查分组并项求和，考查计算能力，属于基础题.
2. 等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列下标和的性质可得，进而代值计算即可得解.
【详解】因为，所以.
故选：D.
3. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可.
【详解】因为在上为递增函数，
由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率，
所以，
又由斜率定义可以，表示割线的斜率，
所以，
故选：A.
4. 在等比数列中，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据基本量运算求出等比数列中，从而判断是等比数列，最后应用求和公式计算即可.
【详解】令的公比为，因为，所以，解得.
根据等比数列的性质可知，数列是公比为首项为的等比数列，
所以.
故选：B.
5. 设等差数列的前n项和为，若，则( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由又，可得公差，从而可得结果.
【详解】是等差数列
又，
∴公差，
，故选C．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
6. 已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】数列是公比为2的等比数列，可得，则有，累加法结合等比数列求和公式，计算.
【详解】，数列是公比为2的等比数列，则，
即，
.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列的通项得到，用累加法即可计算.
7. 已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式和求和公式，根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】因为是公比不为1的等比数列的前项和，所以若成等差数列，则，
从而，结合化简得，
若成等差数列，则，即，所以，
故当时，有，
即“成等差数列”能推出“存在不相等的正整数，使得成等差数列”；
反之，满足不一定是，如，，，
满足，但不满足，
即“存在不相等的正整数，使得成等差数列”推不出“成等差数列”；
所以“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的充分不必要条件.
故选：A
8. 已知数列满足，，且（，），设（表示不超过实数的最大整数），又，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由经过因式分解后得到递推关系，从而得到数列的通项公式，进而得到； 可以表示为两点之间的距离的平方，根据和满足的关系式，通过求距离最小值得到的最小值.
详解】
因为，所以，所以，
左右两边同时减得，即，
左右两边同时除以得， ，
所以，，则，
设是抛物线上的整点，为直线上的任意一点，
则，
点到直线的距离为，
当即时，，
故，当且仅当，时，等号成立，
从而的最小值为.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】设过点的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出，即可得解.
【详解】设过点的切线与曲线相切于点，
因为，则曲线在点处切线斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，解得或，
故切线方程为或.
故选：BC.
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C ，D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案.
【详解】根据题意，，
则有，
当时，
，
也满足，所以.
，A选项错误；
，B选项正确；
，， C选项正确；
，
，D选项正确.
故选：BCD
11. 对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（ ）
A. 若数列单调递增，则数列单调递增
B. 若数列是常数列，，则数列是周期数列
C. 若，则数列没有最小值
D. 若，则数列有最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】可通过反例说明A错误；令，可推导得到，由此整理得，知B正确；分别在为偶数和为奇数两种情况下，根据的单调性可确定的单调性和正负，由此确定最大值和最小值，知CD的正误.
详解】对于选项：例如，则，，
可知，故错误；
对于选项：因为是常数列，可设，
则，
可得，
又因为不是常数列，则，
可得，整理得：，
所以，可知数列是以为周期的周期数列，故B正确；
对于选项CD：若，则，
①当为偶数时，且单调递增，则，
所以且单调递增，此时；
②当为奇数时，且单调递减，则，
所以且单调递减，此时；
综上所述：既有最大值，又有最小值，C错误；D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，满分15分．
12. 已知，则__________．
【答案】1024
【解析】
【分析】对等式两边同时求导可得：，令即可得结果.
【详解】因为，
两边同时求导可得：，
令，可得.
故答案为：1024.
13. 已知，记，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】多列几项，可以发现计算规律，每四项组合一起求和为，然后每四项组合在一起来求和.
【详解】解：，，，
，，则
所以
，
故答案为：
14. 数列满足，前16项和为540，则 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.
【详解】，
当为奇数时，；当为偶数时，.
设数列的前项和为，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）分别求出和的导数；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）应用导数运算律及复合函数求导即可；
（2）先分别求出切线斜率再根据平行线斜率相等求参.
【小问1详解】
由导数公式得，
由复合函数求导法则得；
【小问2详解】
由可得曲线在点处的切线的斜率
，
从而切线方程为，即.
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得，
从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意.
16. 已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解.
（2）直接由等比数列公式法、错位相减法求和运算即可得解.
【小问1详解】
由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为，
则由题意有，解得，
所以和的通项公式分别为.
【小问2详解】
设数列的前n项和为，由（1）可得，
所以，，
两式相减得，
所以数列的前n项和为.
17. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加．
（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，）
【答案】（1），
（2）至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入
【解析】
【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；
(2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果.
【小问1详解】
由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列，
所以，.
【小问2详解】
设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，
令，，则上式化为，即，
解得，即，所以，，
即，所以，
所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入．
18. 过点作曲线（，常数，）的切线．切点为，点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，点在x轴上的投影是点；……依此类推，得到一系列点，，…，，设点的横坐标为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义和数列的递推关系即可求解；
（2）由（1）可得，利用二项式定理放缩即可求解；
（3）由（1）可得，利用裂项相消法分析证明；
【小问1详解】
因为，则，
若切点是，则切线斜率，
则切线方程为.
①当时，切线过点，
即，得；
②当时，切线过点，
即，得.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
【小问2详解】
因为，可知，
所以
.
【小问3详解】
因为，
可得
，
又因为，则，可得，
所以，即.
19. 已知数列的前项和为，且
（）求数列的通项公式；
（）若数列满足，求数列的通项公式；
（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴；⑵.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由递推关系式消去，可得，数列为等比数列，且首项为，公比，所以．（2）由递推得：
两式相减得：又
当时,所以
（3） 因为
所以当时,
依据题意,有即
分类讨论，为奇数或偶数，分离参数即可求出的取值范围是
试题解析：⑴ 由得两式相减,得
所以由又得
所以数列为等比数列，且首项为，公比，所以．
⑵ 由 ⑴ 知
由
得
故即
当时,所以
⑶ 因为
所以当时,
依据题意,有即
①当为大于或等于的偶数时,有恒成立．
又随增大而增大,
则当且仅当时,故的取值范围为
②当为大于或等于的奇数时,有恒成立,且仅当时,
故的取值范围为
又当时,由
得
综上可得,所求的取值范围是
点睛：本题考查了数列的递推公式，数列求和及与数列有关的含参问题，涉及分类讨论，属于难题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及的数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．
数 学
满分：150分 考试时间：120分钟
命题人：赵立强 刘甫春 审题人：孙爽
一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有1顶是符合题目要求的．
1. 求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（ ）
A. ﹣2020B. ﹣1010C. ﹣505D. 1010
2. 等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在等比数列中，则为（ ）
A. B. C. D.
5. 设等差数列的前n项和为，若，则( )
A 3B. 4C. 5D. 6
6. 已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知数列满足，，且（，），设（表示不超过实数最大整数），又，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. ，D.
11. 对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（ ）
A. 若数列单调递增，则数列单调递增
B. 若数列是常数列，，则数列是周期数列
C 若，则数列没有最小值
D 若，则数列有最大值
三、填空题：本题共3小题，满分15分．
12. 已知，则__________．
13. 已知，记，，，，则______．
14. 数列满足，前16项和为540，则 ______________.
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15 已知函数.
（1）分别求出和的导数；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
16. 已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
17. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加．
（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，）
18. 过点作曲线（，常数，）的切线．切点为，点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，点在x轴上的投影是点；……依此类推，得到一系列点，，…，，设点的横坐标为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）求证：．
19. 已知数列的前项和为，且
（）求数列的通项公式；
（）若数列满足，求数列的通项公式；
（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
沈阳市第120中学2003—2024学年度下学期
高二年级第二次质量监测试题
数 学
满分：150分 考试时间：120分钟
命题人：赵立强 刘甫春 审题人：孙爽
一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有1顶是符合题目要求的．
1. 求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（ ）
A. ﹣2020B. ﹣1010C. ﹣505D. 1010
【答案】B
【解析】
【分析】分组求和，奇数项和相邻的偶数和均为-2，即可求出结果.
【详解】
.
故选:B
【点睛】本题考查分组并项求和，考查计算能力，属于基础题.
2. 等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列下标和的性质可得，进而代值计算即可得解.
【详解】因为，所以.
故选：D.
3. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可.
【详解】因为在上为递增函数，
由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率，
所以，
又由斜率定义可以，表示割线的斜率，
所以，
故选：A.
4. 在等比数列中，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据基本量运算求出等比数列中，从而判断是等比数列，最后应用求和公式计算即可.
【详解】令的公比为，因为，所以，解得.
根据等比数列的性质可知，数列是公比为首项为的等比数列，
所以.
故选：B.
5. 设等差数列的前n项和为，若，则( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由又，可得公差，从而可得结果.
【详解】是等差数列
又，
∴公差，
，故选C．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
6. 已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】数列是公比为2的等比数列，可得，则有，累加法结合等比数列求和公式，计算.
【详解】，数列是公比为2的等比数列，则，
即，
.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列的通项得到，用累加法即可计算.
7. 已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式和求和公式，根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】因为是公比不为1的等比数列的前项和，所以若成等差数列，则，
从而，结合化简得，
若成等差数列，则，即，所以，
故当时，有，
即“成等差数列”能推出“存在不相等的正整数，使得成等差数列”；
反之，满足不一定是，如，，，
满足，但不满足，
即“存在不相等的正整数，使得成等差数列”推不出“成等差数列”；
所以“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的充分不必要条件.
故选：A
8. 已知数列满足，，且（，），设（表示不超过实数的最大整数），又，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由经过因式分解后得到递推关系，从而得到数列的通项公式，进而得到； 可以表示为两点之间的距离的平方，根据和满足的关系式，通过求距离最小值得到的最小值.
详解】
因为，所以，所以，
左右两边同时减得，即，
左右两边同时除以得， ，
所以，，则，
设是抛物线上的整点，为直线上的任意一点，
则，
点到直线的距离为，
当即时，，
故，当且仅当，时，等号成立，
从而的最小值为.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】设过点的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出，即可得解.
【详解】设过点的切线与曲线相切于点，
因为，则曲线在点处切线斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，解得或，
故切线方程为或.
故选：BC.
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C ，D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案.
【详解】根据题意，，
则有，
当时，
，
也满足，所以.
，A选项错误；
，B选项正确；
，， C选项正确；
，
，D选项正确.
故选：BCD
11. 对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（ ）
A. 若数列单调递增，则数列单调递增
B. 若数列是常数列，，则数列是周期数列
C. 若，则数列没有最小值
D. 若，则数列有最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】可通过反例说明A错误；令，可推导得到，由此整理得，知B正确；分别在为偶数和为奇数两种情况下，根据的单调性可确定的单调性和正负，由此确定最大值和最小值，知CD的正误.
详解】对于选项：例如，则，，
可知，故错误；
对于选项：因为是常数列，可设，
则，
可得，
又因为不是常数列，则，
可得，整理得：，
所以，可知数列是以为周期的周期数列，故B正确；
对于选项CD：若，则，
①当为偶数时，且单调递增，则，
所以且单调递增，此时；
②当为奇数时，且单调递减，则，
所以且单调递减，此时；
综上所述：既有最大值，又有最小值，C错误；D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，满分15分．
12. 已知，则__________．
【答案】1024
【解析】
【分析】对等式两边同时求导可得：，令即可得结果.
【详解】因为，
两边同时求导可得：，
令，可得.
故答案为：1024.
13. 已知，记，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】多列几项，可以发现计算规律，每四项组合一起求和为，然后每四项组合在一起来求和.
【详解】解：，，，
，，则
所以
，
故答案为：
14. 数列满足，前16项和为540，则 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.
【详解】，
当为奇数时，；当为偶数时，.
设数列的前项和为，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）分别求出和的导数；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）应用导数运算律及复合函数求导即可；
（2）先分别求出切线斜率再根据平行线斜率相等求参.
【小问1详解】
由导数公式得，
由复合函数求导法则得；
【小问2详解】
由可得曲线在点处的切线的斜率
，
从而切线方程为，即.
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得，
从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意.
16. 已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解.
（2）直接由等比数列公式法、错位相减法求和运算即可得解.
【小问1详解】
由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为，
则由题意有，解得，
所以和的通项公式分别为.
【小问2详解】
设数列的前n项和为，由（1）可得，
所以，，
两式相减得，
所以数列的前n项和为.
17. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加．
（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，）
【答案】（1），
（2）至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入
【解析】
【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；
(2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果.
【小问1详解】
由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列，
所以，.
【小问2详解】
设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，
令，，则上式化为，即，
解得，即，所以，，
即，所以，
所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入．
18. 过点作曲线（，常数，）的切线．切点为，点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，点在x轴上的投影是点；……依此类推，得到一系列点，，…，，设点的横坐标为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义和数列的递推关系即可求解；
（2）由（1）可得，利用二项式定理放缩即可求解；
（3）由（1）可得，利用裂项相消法分析证明；
【小问1详解】
因为，则，
若切点是，则切线斜率，
则切线方程为.
①当时，切线过点，
即，得；
②当时，切线过点，
即，得.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
【小问2详解】
因为，可知，
所以
.
【小问3详解】
因为，
可得
，
又因为，则，可得，
所以，即.
19. 已知数列的前项和为，且
（）求数列的通项公式；
（）若数列满足，求数列的通项公式；
（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴；⑵.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由递推关系式消去，可得，数列为等比数列，且首项为，公比，所以．（2）由递推得：
两式相减得：又
当时,所以
（3） 因为
所以当时,
依据题意,有即
分类讨论，为奇数或偶数，分离参数即可求出的取值范围是
试题解析：⑴ 由得两式相减,得
所以由又得
所以数列为等比数列，且首项为，公比，所以．
⑵ 由 ⑴ 知
由
得
故即
当时,所以
⑶ 因为
所以当时,
依据题意,有即
①当为大于或等于的偶数时,有恒成立．
又随增大而增大,
则当且仅当时,故的取值范围为
②当为大于或等于的奇数时,有恒成立,且仅当时,
故的取值范围为
又当时,由
得
综上可得,所求的取值范围是
点睛：本题考查了数列的递推公式，数列求和及与数列有关的含参问题，涉及分类讨论，属于难题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及的数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．
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