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人教版八年级上册13.1.1 轴对称精品习题
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这是一份人教版八年级上册13.1.1 轴对称精品习题，文件包含第十三章《轴对称》基础训练试卷解析版docx、第十三章《轴对称》基础训练试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
1．下列图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解:A、不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
故选D．
已知点A与点(-4,5)关于y轴对称,则A点坐标是（ ）
A．(4,-5)B．(-4,-5)C．(-5,-4)D．(4,5)
【答案】D
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】由点A与点（-4，5）关于y轴对称，则A点坐标是（4，5），
故选D．
如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（ ）
A．13B．15C．18D．21
【答案】A
【详解】根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，得到AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．
故选A．
4 . 如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，
BC、DE垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为（ ）
A．8 mB．4 mC．2 mD．6 m
【答案】B
【分析】先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半进行求解．
【详解】解：∵∠A=30°，AB=16m，∠ACB=90°，
∴BC=AB=×16=8m，
∵BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC//DE，
∵点D是斜梁AB的中点，
∴AE=CE
∴DE=BC=×8=4m．
故选：B．
5．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20°B．60°C．50°D．40°
【答案】D
【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，进而可得∠PAQ的大小．
【详解】∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴BP=AP，AQ=CQ，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°．
故选D．
如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，
点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，
当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒
A．2.5B．3C．3.5D．4
【答案】D
【分析】设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设运动的时间为x秒，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x，
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4
故选：D．
如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，
如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则点C的个数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
解：如上图：分情况讨论
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选C．
考点：等腰直角三角形；勾股定理．
本题考查等边三角形的判定和性质．掌握等边三角形的判定条件是解答本题的关键．
8 . 如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．
若△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（ ）
A．10B．16C．8D．4
【答案】C
【分析】由BO为角平分线，得到一对角相等，再由MN平行于BC，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出∠MBO=∠MOB，利用等角对等边得到MO=MB，同理得到NO=NC，而三角形ABC的周长等于三边相加，即AB+BC+AC，其中AB=AM+MB，AC=AN+NC，等量代换后可得出三角形ABC的周长等于三角形AMN的周长与BC的和，即BC等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出BC的长．
【详解】解：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO=∠OBC，
又MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MOB=∠MBO，
∴MB=MO，同理可得∠NOC=∠NCO，
∴NO=NC，
∴（AB+AC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MB+AN+NC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MO+AN+NO+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+AN+MN+BC）-（AM+AN+MN）
=BC，
又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC=20，AM+AN+MN=12，
则BC=20-12=8．
故选C．
9 . 如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．
若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A．15°B．25°C．30°D．45°
【答案】C
【分析】可以取AB的中点G，连接CG交AD于点F，根据等边△ABC的边长为4，AE=2，可得点E是AC的中点，点G和点E关于AD对称，此时EF+FC=CG最小，根据等边三角形的性质即可得∠DCF的度数．
【详解】解：如图，
取AB的中点G，连接CG交AD于点F，
∵等边△ABC的边长为4，AE=2，
∴点E是AC的中点，
所以点G和点E关于AD对称，
此时EF+FC=CG最小，
根据等边三角形的性质可知：
∠ECF=∠ACB=30°．
所以∠ECF的度数为30°．
故选：C．
10 . 如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，
AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连按PQ．下列结论：
①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°；⑤DE＝DP．
其中正确的有（ ）
A．2个B．3个
C．4个D．5个
【答案】C
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；
④利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知④正确；
⑤根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知⑤错误.
【详解】①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
故①正确；
②∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ；
故②正确；
③∵△ACP≌△BCQ，
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故③正确；
④∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
故④正确；
⑤∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE；
故⑤错误；
综上所述，正确的结论有：①②③④，
故选C．
二、细心填一填（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，与关于直线l对称，则∠的度数为 ．
【答案】/20度
【分析】根据轴对称的性质求出，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解．
【详解】解：∵与关于直线l对称，
∴，
在中，
．
故答案为．
12．等腰三角形的顶角为76°，则底角等于__________．
【答案】52°
【分析】
根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，进行计算即可.
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为76°，
∴底角为：，
故答案为：52°.
13．平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为 ．
【答案】（﹣2，0）
【详解】解：关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，
从而点A（2，0）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
14 .如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，
若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为 ．
【答案】2
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求出△ABD的面积，再根据点E、F是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ABD的面积的，依此即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABD＝6，
∵点E、F是AD的三等分点，
∴S△BEF＝S△ABD＝2．
故答案为2.
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E，交BC 于点D，
若CD=3，则BC的长为
【答案】9
【详解】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC＝∠DAE＋∠B =60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=2DC=6，即BD=6，
∴BC=9．
16 .如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F． 若则 ．
【答案】
【分析】由在中，的垂直平分线分别交于E、F，易得，，又由，可求得的度数，继而求得答案．
【详解】解：∵在中，的垂直平分线分别交于E、F，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17 .如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，
并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，
碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，
若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________．
【答案】674
【分析】
根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解．
【详解】
解：根据题意可得如图所示：
由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次，
∴，
∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）；
故答案为674．
如图所示，矩长方形中，，将长方形沿直线折叠，
使直线两侧的部分能够完全重合，点在边上，且，在直线上有一个动点，
连接，则周长的最小值是______．
【答案】32
【分析】
连接交直线于点，则此时，可知的周长最小，求出，，则可得出答案．
【详解】
解：将长方形沿直线折叠，使直线两侧的部分能够完全重合，
点与点关于直线对称，
连接交直线于点，则此时，，
的周长最小．
，，
，，
长方形中，，，，
，
的周长．
即周长的最小值是32．
故答案为：32．
三、用心做一做（本题共6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。）
19．如图，在中，，，求和的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【答案】解：在中，，
，在三角形中，
，
又，在三角形中，
．
20 . 如图所示，点M是BC的中点，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为点E、点F，ME＝MF．
求证：△BEM≌△CFM．
【答案】见解析
【分析】
利用HL定理证明△BEM≌△CFM．
【详解】
解：证明：∵点M是BC的中点，
∴MB=MC，
在Rt△BEM和Rt△CFM中，
，
∴Rt△BEM≌Rt△CFM（HL）．
如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，
点、的坐标分别是，，关于轴对称的图形为．
画出并写出点的坐标为 ；
写出的面积为 ；
点在轴上，使的值最小，写出点的坐标为 ．
【答案】 ； 3.5 ．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B关于y轴的对称点A1、B1的位置，再与O顺次连接即可，然后根据平面直角坐标系写出点B1的坐标；
（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解；
（3）找出点A关于x轴的对称点A′位置，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题与x轴的交点即为所求的点P．
【详解】（1）△A1OB1如图所示，
B1（−1，3）；
（2）△A1OB1的面积＝3×3−×1×2−×2×3−×1×3＝9−1−3−1.5＝9−5.5＝3.5；
（3）如图所示，点P的坐标为（2.2，0）．
故答案为（1）（−1，3）；（2）3.5；（3）（2.2，0）．
如图1，若点是线段上的动点（不与，重合），
分别以、为边向线段的同一侧作等边和等边.
图1中，连接、，相交于点，设，那么 ；
（2） 如图2，若点固定，将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于），
此时的大小是否发生变化？请说明理由.
【答案】（1）；（2）此时的大小不会发生改变，始终等于，理由见解析
【分析】
（1）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）旋转的过程中，（1）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化．
【详解】
（1），理由：
∵△APC是等边三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°；
（2）此时的大小不会发生改变，始终等于.
理由：∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形
∴，
∴
∴
∴≌
∴
∵
∴
∴
23．如图所示,以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,DC、BE相交于点O.
(1) 求证:DC=BE；
(2) 求∠BOC的度数；
(3) 当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数是否变化?
若不变化,请求出∠BOC的度数;若发生变化,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析； (2)∠BOC=120°；(3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数不变.∠BOC=120°.
【分析】（1）易证∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，即可求得∠DAC=∠BAE，即可证明△DAC≌△BAE；
（2）根据（1）中结论可得∠ADC=∠ABE，即可求得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，根据三角形外角性质即可解题；
（3）由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，因此可以判定∠BOC和∠BAC大小无关．
【详解】（1）证明：∵△ADB和△AEC都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
∴DC=BE
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠ODB+∠OBD=∠ADB-∠ADC+∠ABD+∠ABE=∠ADB+∠ABD=120°，
∴∠BOC=∠ODB+∠OBD=120°，
（3）解：∵由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，
∴∠BOC和∠BAC大小无关．
如图，已知△ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点D为AB 的中点．
如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．
设运动时间为t．
（1）当点P运动t秒时CP的长度为 （用含t的代数式表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】（1）；（2）全等，理由见解析；（3）厘米/秒．
【解析】
（1）先表示出BP，根据PC=BC-BP，可得出答案；
（2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
（3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度．（1）BP=2t，则PC=BC-BP=6-2t；
故答案为：(6-2t)cm．
（2）当t=1时，BP=CQ=2×1=2厘米，
∵AB=8厘米，点D为AB的中点，
∴BD=4厘米．
又∵PC=BC-BP，BC=6厘米，
∴PC=6-2=4厘米，
∴PC=BD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
③∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，
∴点P，点Q运动的时间(秒)，
∴VQ=（厘米/秒）．
1．下列图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解:A、不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
故选D．
已知点A与点(-4,5)关于y轴对称,则A点坐标是（ ）
A．(4,-5)B．(-4,-5)C．(-5,-4)D．(4,5)
【答案】D
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】由点A与点（-4，5）关于y轴对称，则A点坐标是（4，5），
故选D．
如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（ ）
A．13B．15C．18D．21
【答案】A
【详解】根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，得到AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．
故选A．
4 . 如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，
BC、DE垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为（ ）
A．8 mB．4 mC．2 mD．6 m
【答案】B
【分析】先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半进行求解．
【详解】解：∵∠A=30°，AB=16m，∠ACB=90°，
∴BC=AB=×16=8m，
∵BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC//DE，
∵点D是斜梁AB的中点，
∴AE=CE
∴DE=BC=×8=4m．
故选：B．
5．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20°B．60°C．50°D．40°
【答案】D
【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，进而可得∠PAQ的大小．
【详解】∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴BP=AP，AQ=CQ，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°．
故选D．
如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，
点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，
当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒
A．2.5B．3C．3.5D．4
【答案】D
【分析】设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设运动的时间为x秒，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x，
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4
故选：D．
如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，
如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则点C的个数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
解：如上图：分情况讨论
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选C．
考点：等腰直角三角形；勾股定理．
本题考查等边三角形的判定和性质．掌握等边三角形的判定条件是解答本题的关键．
8 . 如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．
若△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（ ）
A．10B．16C．8D．4
【答案】C
【分析】由BO为角平分线，得到一对角相等，再由MN平行于BC，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出∠MBO=∠MOB，利用等角对等边得到MO=MB，同理得到NO=NC，而三角形ABC的周长等于三边相加，即AB+BC+AC，其中AB=AM+MB，AC=AN+NC，等量代换后可得出三角形ABC的周长等于三角形AMN的周长与BC的和，即BC等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出BC的长．
【详解】解：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO=∠OBC，
又MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MOB=∠MBO，
∴MB=MO，同理可得∠NOC=∠NCO，
∴NO=NC，
∴（AB+AC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MB+AN+NC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MO+AN+NO+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+AN+MN+BC）-（AM+AN+MN）
=BC，
又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC=20，AM+AN+MN=12，
则BC=20-12=8．
故选C．
9 . 如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．
若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A．15°B．25°C．30°D．45°
【答案】C
【分析】可以取AB的中点G，连接CG交AD于点F，根据等边△ABC的边长为4，AE=2，可得点E是AC的中点，点G和点E关于AD对称，此时EF+FC=CG最小，根据等边三角形的性质即可得∠DCF的度数．
【详解】解：如图，
取AB的中点G，连接CG交AD于点F，
∵等边△ABC的边长为4，AE=2，
∴点E是AC的中点，
所以点G和点E关于AD对称，
此时EF+FC=CG最小，
根据等边三角形的性质可知：
∠ECF=∠ACB=30°．
所以∠ECF的度数为30°．
故选：C．
10 . 如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，
AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连按PQ．下列结论：
①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°；⑤DE＝DP．
其中正确的有（ ）
A．2个B．3个
C．4个D．5个
【答案】C
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；
④利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知④正确；
⑤根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知⑤错误.
【详解】①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
故①正确；
②∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ；
故②正确；
③∵△ACP≌△BCQ，
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故③正确；
④∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
故④正确；
⑤∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE；
故⑤错误；
综上所述，正确的结论有：①②③④，
故选C．
二、细心填一填（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，与关于直线l对称，则∠的度数为 ．
【答案】/20度
【分析】根据轴对称的性质求出，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解．
【详解】解：∵与关于直线l对称，
∴，
在中，
．
故答案为．
12．等腰三角形的顶角为76°，则底角等于__________．
【答案】52°
【分析】
根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，进行计算即可.
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为76°，
∴底角为：，
故答案为：52°.
13．平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为 ．
【答案】（﹣2，0）
【详解】解：关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，
从而点A（2，0）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
14 .如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，
若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为 ．
【答案】2
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求出△ABD的面积，再根据点E、F是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ABD的面积的，依此即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABD＝6，
∵点E、F是AD的三等分点，
∴S△BEF＝S△ABD＝2．
故答案为2.
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E，交BC 于点D，
若CD=3，则BC的长为
【答案】9
【详解】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC＝∠DAE＋∠B =60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=2DC=6，即BD=6，
∴BC=9．
16 .如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F． 若则 ．
【答案】
【分析】由在中，的垂直平分线分别交于E、F，易得，，又由，可求得的度数，继而求得答案．
【详解】解：∵在中，的垂直平分线分别交于E、F，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17 .如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，
并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，
碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，
若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________．
【答案】674
【分析】
根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解．
【详解】
解：根据题意可得如图所示：
由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次，
∴，
∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）；
故答案为674．
如图所示，矩长方形中，，将长方形沿直线折叠，
使直线两侧的部分能够完全重合，点在边上，且，在直线上有一个动点，
连接，则周长的最小值是______．
【答案】32
【分析】
连接交直线于点，则此时，可知的周长最小，求出，，则可得出答案．
【详解】
解：将长方形沿直线折叠，使直线两侧的部分能够完全重合，
点与点关于直线对称，
连接交直线于点，则此时，，
的周长最小．
，，
，，
长方形中，，，，
，
的周长．
即周长的最小值是32．
故答案为：32．
三、用心做一做（本题共6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。）
19．如图，在中，，，求和的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【答案】解：在中，，
，在三角形中，
，
又，在三角形中，
．
20 . 如图所示，点M是BC的中点，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为点E、点F，ME＝MF．
求证：△BEM≌△CFM．
【答案】见解析
【分析】
利用HL定理证明△BEM≌△CFM．
【详解】
解：证明：∵点M是BC的中点，
∴MB=MC，
在Rt△BEM和Rt△CFM中，
，
∴Rt△BEM≌Rt△CFM（HL）．
如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，
点、的坐标分别是，，关于轴对称的图形为．
画出并写出点的坐标为 ；
写出的面积为 ；
点在轴上，使的值最小，写出点的坐标为 ．
【答案】 ； 3.5 ．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B关于y轴的对称点A1、B1的位置，再与O顺次连接即可，然后根据平面直角坐标系写出点B1的坐标；
（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解；
（3）找出点A关于x轴的对称点A′位置，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题与x轴的交点即为所求的点P．
【详解】（1）△A1OB1如图所示，
B1（−1，3）；
（2）△A1OB1的面积＝3×3−×1×2−×2×3−×1×3＝9−1−3−1.5＝9−5.5＝3.5；
（3）如图所示，点P的坐标为（2.2，0）．
故答案为（1）（−1，3）；（2）3.5；（3）（2.2，0）．
如图1，若点是线段上的动点（不与，重合），
分别以、为边向线段的同一侧作等边和等边.
图1中，连接、，相交于点，设，那么 ；
（2） 如图2，若点固定，将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于），
此时的大小是否发生变化？请说明理由.
【答案】（1）；（2）此时的大小不会发生改变，始终等于，理由见解析
【分析】
（1）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）旋转的过程中，（1）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化．
【详解】
（1），理由：
∵△APC是等边三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°；
（2）此时的大小不会发生改变，始终等于.
理由：∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形
∴，
∴
∴
∴≌
∴
∵
∴
∴
23．如图所示,以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,DC、BE相交于点O.
(1) 求证:DC=BE；
(2) 求∠BOC的度数；
(3) 当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数是否变化?
若不变化,请求出∠BOC的度数;若发生变化,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析； (2)∠BOC=120°；(3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数不变.∠BOC=120°.
【分析】（1）易证∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，即可求得∠DAC=∠BAE，即可证明△DAC≌△BAE；
（2）根据（1）中结论可得∠ADC=∠ABE，即可求得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，根据三角形外角性质即可解题；
（3）由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，因此可以判定∠BOC和∠BAC大小无关．
【详解】（1）证明：∵△ADB和△AEC都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
∴DC=BE
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠ODB+∠OBD=∠ADB-∠ADC+∠ABD+∠ABE=∠ADB+∠ABD=120°，
∴∠BOC=∠ODB+∠OBD=120°，
（3）解：∵由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，
∴∠BOC和∠BAC大小无关．
如图，已知△ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点D为AB 的中点．
如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．
设运动时间为t．
（1）当点P运动t秒时CP的长度为 （用含t的代数式表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】（1）；（2）全等，理由见解析；（3）厘米/秒．
【解析】
（1）先表示出BP，根据PC=BC-BP，可得出答案；
（2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
（3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度．（1）BP=2t，则PC=BC-BP=6-2t；
故答案为：(6-2t)cm．
（2）当t=1时，BP=CQ=2×1=2厘米，
∵AB=8厘米，点D为AB的中点，
∴BD=4厘米．
又∵PC=BC-BP，BC=6厘米，
∴PC=6-2=4厘米，
∴PC=BD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
③∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，
∴点P，点Q运动的时间(秒)，
∴VQ=（厘米/秒）．
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