初中数学人教版九年级上册21.2.3 因式分解法练习题

这是一份初中数学人教版九年级上册21.2.3 因式分解法练习题，共16页。试卷主要包含了求解等内容，欢迎下载使用。

用因式分解一元二次方程的一般步骤：
1、将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
2、将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3、令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4、求解
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解典例及变式
典例1．（2024·江苏苏州市九年级期中）方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【提示】
利用因式分解法解方程即可
【详解】
解：∵，
∴，
∴x=0或x-2=0，
∴x1=0，x2=2，
故选：C
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
变式1-1．（2024·辽宁锦州市·九年级期中）下列一元二次方程最适合用分解因式法解的是( )
A．（x-1）（x-2）=3B．x2 +4x=23
C．x2+2x-1=0D．（x-3）2=x2-9
【答案】D
【提示】
先观察每个方程的特点，根据方程的特点逐个判断即可．
【详解】
解：A、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；
B、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；
C、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；
D、最适合用分解因式解方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．
变式1-2．（2024·浙江宁波市·八年级期中）方程(x﹣1)(x+2)＝x﹣1的解是( )
A．x＝﹣2B．x1＝1，x2＝﹣2C．x1＝﹣1，x2＝1D．x1＝﹣1，x2＝3
【答案】C
【提示】
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】
解：方程整理得：(x﹣1)(x+2)﹣(x﹣1)＝0，
分解因式得：(x﹣1)(x+1)＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝1，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程解法，熟练利用因式分解法解一元二次方程是关键，注意不要两边同时除以(x﹣1)，因为(x﹣1)可能为0．
变式1-3．（2024·山东威海市·九年级期中）已知则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
x2－3x－4=0，(x－4)(x+1)=0，解得x1=4，x2=－1，
∴当x=4时，=；当x=－1时，=.
故选D.
名师点拨：本题在解出x代入分式的时候一定要考虑分式有意义的条件即分母不为0.
典例2．（2024·浙江八年级期中）已知实数满足，则代数式的值是( )
A．7B．-1C．7或-1D．-5或3
【答案】A
【提示】
将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可.
【详解】
∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，
∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解；
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，
故选A．
【名师点拨】
本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．
变式2-1．（2024·四川省内江市九年级期中）已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3＝0，那么x2+y2的值是( )
A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或3
【答案】B
【详解】
试题解析：∵（x2＋y2）(x2＋y2＋2)－3=0，
∴（x2＋y2）2+2(x2＋y2)－3=0，
解得：x2＋y2=-3或x2＋y2=1
∵x2＋y2>0
∴x2＋y2=1
故选B.
变式2-2．（2024·山东威海市·八年级期中）已知，则的值是（ ）
A．－2B．3C．－2或3D．－2且3
【答案】B
【详解】
试题提示：根据题意，先移项得，即，然后根据“十字相乘法”可得 ，由此解得=-2（舍去）或.
故选B.
名师点拨：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.
变式2-3．（2024·安徽合肥市·八年级期末）如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（ ）
A．1B．﹣4C．1或﹣4D．﹣1或3
【答案】C
【提示】
在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把当成一个整体进行考虑.
【详解】
设，则原方程变形为，解得或.
故选：.
【名师点拨】
此题主要是把当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解.
典例3．（2024·浙江宁波市期末）若关于x的方程kx2-（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【提示】
当k=0时，可求出x的值，根据x的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x的值，再根据x的值为整数结合k的值为整数即可得出k的值．综上即可得出结论．
【详解】
当k=0时，原方程为-x+1=0，
解得：x=1，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，kx2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=，
∵方程的根是整数，
∴为整数，k为整数，
∴k=±1．
综上可知：满足条件的整数k为0、1和-1．
故选C．
【名师点拨】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
变式3-1．（2024·衡水市九年级期末）一元二次方程的两根为、，那么二次三项式可分解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】
只有把等号左边的二次三项式分解为(x－x1)(x－x2)，它的根才可能是x1，x2．
【详解】
若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为3、4，
那么有：(x－3)(x－4)＝0，
∴x2＋px＋q＝(x－3)(x－4)．
故选C.
【名师点拨】
本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为(x－x1)(x－x2)＝0．
变式3-2．（2024·江苏八年级期末）若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（ ）
A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x+5）（x+6）D．（x﹣5）（x﹣6）
【答案】B
【提示】
根据题意，把x=5和x=-6分别代入方程，构成含m、n的二元一次方程组，解出m、n的值，然后可得二次三项式，再根据“十字相乘法”因式分解即可.
【详解】
根据题意可得
解得
所以二次三项式为x2+x-30
因式分解为x2+x-30=（x﹣5）（x+6）
故选B.
【名师点拨】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程的应用，关键是利用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行解答.
变式3-3．（2024·江苏淮安市·九年级期末）若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b之值为何？（ ）
A．﹣25B．﹣19C．5D．17
【答案】D
【解析】
提示：先利用因式分解法解方程得到a=11，b=﹣3，然后计算代数式a﹣2b的值．
详解：（x﹣11）（x+3）=0，
x﹣11=0或x﹣3=0，
所以x1=11，x2=﹣3，
即a=11，b=﹣3，
所以a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17．
故选D．
名师点拨：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
1．（2024·山东滨州市·九年级期末）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3D．x1＝2，x2＝3
【答案】D
【提示】
利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
2．（2024·江苏宿迁市·九年级期末）一元二次方程的解是（ ）
A．x＝2B．x＝0C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝2，x2＝0
【答案】D
【提示】
首先移项，将方程右边2x移到左边，再提取公因式x，可得，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．
【详解】
解：原方程移项得：
，
∴，
∴，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查提公因式法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．（2024·山东潍坊市·九年级期末）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．12B．16C．l2或16D．15
【答案】B
【提示】
利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．
【详解】
解：∵x2-8x+15=0，
∴（x-3）（x-5）=0，
则x-3=0或x-5=0，
解得x1=3，x2=5，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，
故选：B．
【名师点拨】
本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．（2024·河南南阳市·九年级期末）关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（ ）
A．0B．1C．-2D．1或-2
【答案】C
【提示】
把x=0代入方程，得到，解得k值后，验证二次项系数不为零，判断即可．
【详解】
∵x的一元二次方程有一个根是0，
∴，且k-1≠0，
解得k= -2或k=1，且k≠1，
∴k= -2，
故选C．
【名师点拨】
本题考查了已知一元二次方程的一个根探解字母系数问题，熟练运用根的定义，一元二次方程的定义是解题的关键．
5．（2024·河北沧州市·九年级期末）如果（x﹣y﹣2）（x﹣y＋1）＝0，那么x﹣y＝（ ）
A．2B．﹣1C．2或﹣1D．﹣2或1
【答案】C
【提示】
由可得：或 从而可得答案．
【详解】
解：
或
或
故选：
【名师点拨】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键．
6．（2024·湖南怀化市·九年级期末）请你判断，的实根的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【提示】
利用绝对值的几何意义，假设x＞0或x＜0，分别提示得出即可．
【详解】
解：当x＞0时，，
解得：x1＝1；x2＝2；
当x＜0时，，
解得：x1＝（不合题意舍去），x2＝，
∴方程的实数解的个数有3个．
故选：C．
【名师点拨】
此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，理解绝对值的意义是关键．
7．（2024·辽宁锦州市·九年级期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．1或4B．-1或-4C．-1或4D．1或-4
【答案】B
【提示】
把代入关于x的方程，得到，解关于m的方程即可．
【详解】
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴
解得
故选B．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m的方程是解题关键．
8．（2024·四川资阳市·九年级期末）若实数满足方程，那么的值为（ ）
A．-2或4B．4C．-2D．2或-4
【答案】B
【提示】
设=a，将原方程变形解方程即可得到答案.
【详解】
设=a，则原方程化为：，
∴，
（a-4）（a+2）=0，
解得，，
∴=4或-2，
当=-2时，方程无解，故舍去，
∴=4，
故选：B.
【名师点拨】
此题考查换元法解一元二次方程，正确计算是解题的关键，注意验根.
9．（2024·山东威海市·九年级期中）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1
【答案】D
【提示】
设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．
【详解】
解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故选：D．
【名师点拨】
此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.
10．（2024·湖北黄石市·九年级期中）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可转化为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
解：原方程可以化为，令，则原式可化为
故选：C
【名师点拨】
还原法是要将相同的复杂多项式或者单项式化为一个简单的字母符号来表示，此类题目难度一般不大，不仅可以应用与选择题，还可以应用于解答题
11．（2024·湖南张家界市·九年级期中）一元二次方程的根是_____.
【答案】x1=1, x2=2.
【提示】
整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.
【详解】
x(x-2)-(x-2)=0，
，
x-1=0或x-2=0，
所以x1=1， x2=2，
故答案为x1=1， x2=2.
【名师点拨】
本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.
12．（2024·四川省九龙县九年级期中）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．
【答案】17
【提示】
先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．
【详解】
解：解方程得x1=2，x2=6，
当x=2时，2+4=6