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高中人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案及答案
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这是一份高中人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案及答案，文件包含空间中的点线面位置关系-讲义教师版docx、空间中的点线面位置关系-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共42页， 欢迎下载使用。
空间中的点线面位置关系
一、 课堂目标
1．理解平面的概念和平面的性质．
2．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．
二、 知识讲解
1. 平面
知识精讲
（1）平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
立体几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的（没有大小，不可度量），并且它没有厚度．
（2）平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，如下图（左），平行四边形的锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如下图（右）．
（3）平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母 ， ， 等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如上图中的平面
、平面 ；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个
平面的名称，例如上图中的平面 也可以表示为：平面、平面 或者平面 ．
区别于平面的表示方法，我们通常用大写英文字母 、 、 表示点，用小写英文字母 、 、 表示直
线．
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．如下图：点 在平面 内，记作
；点 在平面 外，
记作．
2. 平面的性质
知识精讲
基本事实1：
①内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
②作用：刻画了平面特有的基本性质，它给出了确定一个平面的依据.
不在一条直线上（简称为“不共线”）的三个点 ， ， 可以确定一个平面，并且此平面可以记成“平面”，如下图：
基本事实2：
①内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（见下图）．
②作用：此公理的作用时可以判断直线是否在平面内．
③符号表示：点动成线、线动成面．因此直线、平面都可以看成以点为元素的集合．点 在直线 上，记
作；点 在直线 外，记作．如果直线 上的所有点都在平面 内，就说直线 在平面 内，或者
说平面 经过直线 ，记作；否则，就说直线 在平面 外，记作．
这样，基本事实2可以用下面的符号语言简化表示：
．
基本事实3：
①内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
②作用：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共
点．也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面
的两个公共点，就找出了它们的交线．
平面 与 相交于直线 ，记作，如下图．
③符号表示：．
知识点睛
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
经典例题
1. 下列说法正确的是（ ）．
A. 三点确定一个平面B. 四边相等的四边形是菱形
C. 梯形一定是平面图形D. 两平面有不同在一条直线上的三个交点
巩固练习
2. 下列说法中正确的是（ ）．
A. B. C. D.
相交直线上的三个点可以确定一个平面
空间中两两相交的三条直线确定一个平面
空间中有三个角为直角的四边形一定是平面图形
和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平 面内
经典例题
3. 如图，在正方体
（ 1 ） ， ， ， 四点共面．
中， 是 的中点， 是
的中点，求证．
（ 2 ）直线 ，， 三线共点．
巩固练习
4. 已知正方体， ， 分别是，的中点，，
，平面.
（ 1 ）求证： ， ， 三点共线；
（ 2 ）求证： ， ， 三线共点．
5. 如图，在底面是平行四边形的四棱锥中， 为 ， 的交点， ， 分别为，
的重心．求证： ， ， ， 四点共面．
3. 空间中点、直线、平面之间的位置关系
知识精讲
（一）空间中直线与直线的位置关系
（1）异面直线的定义
不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．
（2）理解异面直线的定义要注意的问题
①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不
平行．要注意把握异面直线的不共面性．
②不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．
（3）异面直线的画法
画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不共面的特点，常常需要辅助平面作为衬托，以加强直观性，如图1所示．若将其画成如图2所示的情形，就很容易误以为两条直线是相交的，所以千万不能画成如图2所示的图形．
图图
画平面衬托时，通常画成如图3所示中的情形．
图
（4）空间中两条直线的位置关系：
位置关系
共面情况
公共点个数
相交
在同一平面内
有且只有一个
平行
在同一平面内
没有
异面
不同在任何一个平面内
没有
知识点睛
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：
（1）从有无公共点的角度分类：
两条直线有且仅有一个公共点：相交直线直线
直线平行直线
两条直线无公共点
异面直线
（2）从是否共面的角度分类：
相交直线
共面直线
直线
平行直线不共面直线：异面直线
知识精讲
（二）空间中直线与平面的位置关系
位置关系图形表示符号表示公共点
直线 在平面α内α有无数个公共点
直线 与平面α相交Aα有且只有一个公共点
直线 与平面α平行α没有公共点
知识点睛
直线与平面的位置关系的分类如下：
①按公共点个数分类：
有无数个公共点直线在平面内
有且只有一个公共点直线与平面相交
没有公共点直线与平面平行
②按是否平行分类：
直线与平面平行
直线与平面不平行
直线与平面相交直线在平面内
③按直线是否在平面内分类：
直线在平面内
直线不在平面内（直线在平面外）
直线与平面相交直线与平面平行
知识精讲
（三）空间中平面与平面的位置关系
位置关系图形表示符号表示公共点
两个平面平行αβ无
斜交αβ有一条公共直线
两个平面相交
垂直αβ ， αβ有一条公共直线
知识点睛
平面划分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?
（1）两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图（1）所示；②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图（2）所示．
（ ）（ ）
（2）三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图（1）所示；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图（2）所示；③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图（3）所示；
④当三个平面两两相交，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图（4）所示；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图（5）所示．
（ ）（ ）（ ）
（ ）（ ）
经典例题
6. 如图，在正方体
中， ， 分别为棱
，
的中点，有以下四个结论：
①直线 与 是相交直线；
②直线 与 是平行直线；
③直线 与是异面直线；
④直线 与是异面直线．
其中正确的结论为．
巩固练习
7. 如图，点 、 、 、 分别在正方形的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 与直线 异面
的是（ ）．
A.B.
C.D.
8. 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形， 是 的中点，则下列叙述正
确的是（ ）．
A.
B.
与
与
是异面直线
是异面直线
C.与 是共面直线
D.与是共面直线
经典例题
9. 如图所示，用符号语言可表达为（ ）．
A. B. C. D.
，，，，
，，，，
，
，
巩固练习
10. 已知 ， ， 表示不同的点， 表示直线， ， 表示不同的平面，则下列推理错误的是
（填
序号）．
①，，，；
②，，，；
③，．
经典例题
11. 已知下列说法：
①若两个平面
，
，
，则
；
②若两个平面，，，则 与 是异面直线；
③若两个平面，，，则 与 一定不相交；
④若两个平面，，，则 与 平行或异面；
⑤若两个平面，，则 与 一定相交．
其中正确的序号是（将你认为正确的说法的序号都填上）．
巩固练习
12. 若直线 不平行于平面 ，且，则（ ）．
A.内的所有直线与 异面B.内不存在与 平行的直线
C. 内存在唯一的直线与 平行D. 内的直线与 都相交
经典例题
13. 一个平面将空间划分成
部分；两个平面可以将空间划分成
部分；三个平面可以将空
间划分成部分．
巩固练习
14. 一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是（ ）．
A.B.C.D.
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
15. “直线 经过平面 外一点 ”用符号表示为（ ）．
A.，B.
C.，D.，
16. 下列各图都是正方体， 、 、 、 分别都是它们所在棱的中点，则 、 、 、 四点共面的
是（ ）．
A.B.
C.D.
17. 如图，正方体的棱 ， ， ， 所在的直线中，与直线 成异面
直线的是（ ）．
C
AB
A. 直线B. 直线
C. 直线D. 直线
18. 下列命题中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
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空间中的点线面位置关系
一、 课堂目标
1．理解平面的概念和平面的性质．
2．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．
二、 知识讲解
1. 平面
知识精讲
（1）平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
立体几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的（没有大小，不可度量），并且它没有厚度．
（2）平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，如下图（左），平行四边形的锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如下图（右）．
（3）平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母 ， ， 等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如上图中的平面
、平面 ；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个
平面的名称，例如上图中的平面 也可以表示为：平面、平面 或者平面 ．
区别于平面的表示方法，我们通常用大写英文字母 、 、 表示点，用小写英文字母 、 、 表示直
线．
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．如下图：点 在平面 内，记作
；点 在平面 外，
记作．
2. 平面的性质
知识精讲
基本事实1：
①内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
②作用：刻画了平面特有的基本性质，它给出了确定一个平面的依据.
不在一条直线上（简称为“不共线”）的三个点 ， ， 可以确定一个平面，并且此平面可以记成“平面”，如下图：
基本事实2：
①内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（见下图）．
②作用：此公理的作用时可以判断直线是否在平面内．
③符号表示：点动成线、线动成面．因此直线、平面都可以看成以点为元素的集合．点 在直线 上，记
作；点 在直线 外，记作．如果直线 上的所有点都在平面 内，就说直线 在平面 内，或者
说平面 经过直线 ，记作；否则，就说直线 在平面 外，记作．
这样，基本事实2可以用下面的符号语言简化表示：
．
基本事实3：
①内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
②作用：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共
点．也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面
的两个公共点，就找出了它们的交线．
平面 与 相交于直线 ，记作，如下图．
③符号表示：．
知识点睛
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
经典例题
1. 下列说法正确的是（ ）．
A. 三点确定一个平面B. 四边相等的四边形是菱形
C. 梯形一定是平面图形D. 两平面有不同在一条直线上的三个交点
巩固练习
2. 下列说法中正确的是（ ）．
A. B. C. D.
相交直线上的三个点可以确定一个平面
空间中两两相交的三条直线确定一个平面
空间中有三个角为直角的四边形一定是平面图形
和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平 面内
经典例题
3. 如图，在正方体
（ 1 ） ， ， ， 四点共面．
中， 是 的中点， 是
的中点，求证．
（ 2 ）直线 ，， 三线共点．
巩固练习
4. 已知正方体， ， 分别是，的中点，，
，平面.
（ 1 ）求证： ， ， 三点共线；
（ 2 ）求证： ， ， 三线共点．
5. 如图，在底面是平行四边形的四棱锥中， 为 ， 的交点， ， 分别为，
的重心．求证： ， ， ， 四点共面．
3. 空间中点、直线、平面之间的位置关系
知识精讲
（一）空间中直线与直线的位置关系
（1）异面直线的定义
不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．
（2）理解异面直线的定义要注意的问题
①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不
平行．要注意把握异面直线的不共面性．
②不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．
（3）异面直线的画法
画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不共面的特点，常常需要辅助平面作为衬托，以加强直观性，如图1所示．若将其画成如图2所示的情形，就很容易误以为两条直线是相交的，所以千万不能画成如图2所示的图形．
图图
画平面衬托时，通常画成如图3所示中的情形．
图
（4）空间中两条直线的位置关系：
位置关系
共面情况
公共点个数
相交
在同一平面内
有且只有一个
平行
在同一平面内
没有
异面
不同在任何一个平面内
没有
知识点睛
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：
（1）从有无公共点的角度分类：
两条直线有且仅有一个公共点：相交直线直线
直线平行直线
两条直线无公共点
异面直线
（2）从是否共面的角度分类：
相交直线
共面直线
直线
平行直线不共面直线：异面直线
知识精讲
（二）空间中直线与平面的位置关系
位置关系图形表示符号表示公共点
直线 在平面α内α有无数个公共点
直线 与平面α相交Aα有且只有一个公共点
直线 与平面α平行α没有公共点
知识点睛
直线与平面的位置关系的分类如下：
①按公共点个数分类：
有无数个公共点直线在平面内
有且只有一个公共点直线与平面相交
没有公共点直线与平面平行
②按是否平行分类：
直线与平面平行
直线与平面不平行
直线与平面相交直线在平面内
③按直线是否在平面内分类：
直线在平面内
直线不在平面内（直线在平面外）
直线与平面相交直线与平面平行
知识精讲
（三）空间中平面与平面的位置关系
位置关系图形表示符号表示公共点
两个平面平行αβ无
斜交αβ有一条公共直线
两个平面相交
垂直αβ ， αβ有一条公共直线
知识点睛
平面划分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?
（1）两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图（1）所示；②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图（2）所示．
（ ）（ ）
（2）三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图（1）所示；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图（2）所示；③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图（3）所示；
④当三个平面两两相交，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图（4）所示；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图（5）所示．
（ ）（ ）（ ）
（ ）（ ）
经典例题
6. 如图，在正方体
中， ， 分别为棱
，
的中点，有以下四个结论：
①直线 与 是相交直线；
②直线 与 是平行直线；
③直线 与是异面直线；
④直线 与是异面直线．
其中正确的结论为．
巩固练习
7. 如图，点 、 、 、 分别在正方形的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 与直线 异面
的是（ ）．
A.B.
C.D.
8. 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形， 是 的中点，则下列叙述正
确的是（ ）．
A.
B.
与
与
是异面直线
是异面直线
C.与 是共面直线
D.与是共面直线
经典例题
9. 如图所示，用符号语言可表达为（ ）．
A. B. C. D.
，，，，
，，，，
，
，
巩固练习
10. 已知 ， ， 表示不同的点， 表示直线， ， 表示不同的平面，则下列推理错误的是
（填
序号）．
①，，，；
②，，，；
③，．
经典例题
11. 已知下列说法：
①若两个平面
，
，
，则
；
②若两个平面，，，则 与 是异面直线；
③若两个平面，，，则 与 一定不相交；
④若两个平面，，，则 与 平行或异面；
⑤若两个平面，，则 与 一定相交．
其中正确的序号是（将你认为正确的说法的序号都填上）．
巩固练习
12. 若直线 不平行于平面 ，且，则（ ）．
A.内的所有直线与 异面B.内不存在与 平行的直线
C. 内存在唯一的直线与 平行D. 内的直线与 都相交
经典例题
13. 一个平面将空间划分成
部分；两个平面可以将空间划分成
部分；三个平面可以将空
间划分成部分．
巩固练习
14. 一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是（ ）．
A.B.C.D.
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
15. “直线 经过平面 外一点 ”用符号表示为（ ）．
A.，B.
C.，D.，
16. 下列各图都是正方体， 、 、 、 分别都是它们所在棱的中点，则 、 、 、 四点共面的
是（ ）．
A.B.
C.D.
17. 如图，正方体的棱 ， ， ， 所在的直线中，与直线 成异面
直线的是（ ）．
C
AB
A. 直线B. 直线
C. 直线D. 直线
18. 下列命题中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
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