2022-2023学年广西钦州市灵山县八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年广西钦州市灵山县八年级上学期期中数学试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5B．5，5，11C．6，8，10D．5，12，13
3．（3分）如图，木工师傅做窗框时，常常如图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短D．三角形的稳定性
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，5）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣4，5）B．（﹣4，﹣5）C．（4，5）D．（4，﹣5）
5．（3分）如图，∠CAB＝50°，∠CBD＝110°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
6．（3分）如图，△ABC≌△DEF．若BC＝5cm，BF＝7cm，则EC＝（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
7．（3分）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
8．（3分）选用下列某一种形状的瓷砖密铺地面，不能做到无缝隙且不重叠要求的是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
9．（3分）若一个多边形的每个内角都是140度，那么它的边数是（ ）
A．5B．7C．9D．11
10．（3分）如图，要用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件（ ）
A．∠BAE＝∠DACB．∠B＝∠DC．∠C＝∠ED．∠1＝∠2
11．（3分）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8
12．（3分）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，∠ADP+∠ABC＝180°，则下列结论中正确的个数（ ）
①AD平分∠MAC；
②S△DAB：S△DBC＝AB：BC；
③若∠BDC＝31°，则∠DAM＝59°；
④BP﹣2AE＝AB．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）在△ABC中，AB＝AC＝7，∠C＝60°，则BC的长为 ．
14．（2分）如图，一块三角形玻璃被摔成三块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，只需带一块去即可，则这块玻璃的编号是 ．（填序号）
15．（2分）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，∠A＝50°，∠F＝20°，则∠B的度数为 °．
16．（2分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，F是AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为 ．
17．（2分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A5B5A6的边长为 ．
18．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，求出图形中x的值．
20．用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
（1）请用含x的式子表示第三条边的长度．
（2）若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝60°，
（1）尺规作图：求作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；
（2）求∠BDC的度数．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（3，1），C（4，4）．请解答下列问题：
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PC最小．
23．在湖的两岸A，B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离．某数学兴趣小组采用以下方法进行测量：在湖岸上选一点O，连接BO并延长到点C，使得BO＝OC，连接AO并延长到点D，使OD＝AO，连接CD，则AB＝CD，测量DC的长度即为AB的长度．
（1）请根据题意，画出测量图案；
（2）该小组得出结论“CD的长度就是A，B两点间的距离”，请说明理由．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝FD，BE＝FC．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AC＝4，AB＝5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）如果只知道∠C﹣∠B＝20°，那么能得到∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
26．综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）．
[初步把握]如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，则有 ≌ ．
[深入研究]如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，求证：BE＝CD．
[拓展延伸]如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．
2022-2023学年广西钦州市灵山县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，注意：一个图形延一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形．
2．（3分）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5B．5，5，11C．6，8，10D．5，12，13
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析即可得出答案
【解答】解：A、3+4＞5，则3，4，5能组成三角形，不符合题意；
B、5+5＜11，则5，5，11不能组成三角形，符合题意；
C、6+8＞10，则6，8，10能组成三角形，不符合题意；
D、5+12＞13，则5，12，13能组成三角形，不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（3分）如图，木工师傅做窗框时，常常如图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短D．三角形的稳定性
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：这样做的数学原理是：三角形的稳定性．
故选：D．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，5）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣4，5）B．（﹣4，﹣5）C．（4，5）D．（4，﹣5）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可以直接得到答案．
【解答】解：∵点P（﹣4，5），
∴关于y轴的对称点坐标为（4，5），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．（3分）如图，∠CAB＝50°，∠CBD＝110°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根据三角形的外角性质，三角形的外角等于不相邻的两内角之和，求解即可．
【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠CBD＝110°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝110°﹣50°＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的外角性质，能够熟练应用外角性质是解决本题的关键．
6．（3分）如图，△ABC≌△DEF．若BC＝5cm，BF＝7cm，则EC＝（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【分析】求出CF，根据全等三角形的性质得出EF＝BC＝5cm，即可求出答案．
【解答】解：∵BC＝5cm，BF＝7cm，
∴CF＝BF﹣BC＝2cm，
∵△ABC≌△DEF，
∴FE＝BC＝5cm，
∴EC＝EF﹣CF＝5cm﹣2cm＝3cm，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】根据线段中点的定义可得AC＝4，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得EA＝EC，然后根据△ABE​的周长为12，可得AB+BC＝12，从而求出△ABC​的周长，即可解答．
【解答】解：∵点D​是AC​的中点，
∴AC＝2AD＝4，
由题意得：
ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ABE​的周长为12，
∴AB+BE+AE＝12，
∴AB+BE+EC＝12，
∴AB+BC＝12，
∴△ABC​的周长＝AB+BC+AC＝12+4＝16，
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．（3分）选用下列某一种形状的瓷砖密铺地面，不能做到无缝隙且不重叠要求的是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
【分析】看哪个正多边形的一个内角的度数不是360°的约数，就不能密铺平面．
【解答】解：A、正三角形的一个内角为60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
B、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4＝90°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
C、正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5＝108°，不是360°的约数，不能密铺平面，符合题意；
D、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6＝120°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
9．（3分）若一个多边形的每个内角都是140度，那么它的边数是（ ）
A．5B．7C．9D．11
【分析】先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数．
【解答】解：∵多边形的每个内角都等于140°，
∴多边形的每个外角都等于180°﹣140°＝40°，
∴边数n＝360°÷40°＝9，
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角与内角，知道多边形的外角和等于360°是解题的关键．
10．（3分）如图，要用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件（ ）
A．∠BAE＝∠DACB．∠B＝∠DC．∠C＝∠ED．∠1＝∠2
【分析】根据题目中给出的条件AB＝AD，AC＝AE，要用“SAS”还缺少条件是夹角：∠BAC＝∠DAE，则可得出答案．
【解答】解：还需条件∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，
即：∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：SSS，SAS，AAS，ASA．
11．（3分）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，先证△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，
在△ACE中，由三角形的三边关系得：CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
即2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质等知识；遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
12．（3分）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，∠ADP+∠ABC＝180°，则下列结论中正确的个数（ ）
①AD平分∠MAC；
②S△DAB：S△DBC＝AB：BC；
③若∠BDC＝31°，则∠DAM＝59°；
④BP﹣2AE＝AB．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由角平分线的性质可得DE＝DF＝DH，可得AD平分∠MAC；故①正确；由面积公式可判断②，由“AAS”可证△ADE≌△PDF，可得AE＝PF，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△BDF，可得BE＝BF，由线段的和差关系可得BP﹣2AE＝AB，故④正确，由角平分线的性质可求∠DAM＝59°；故③正确，即可求解．
【解答】解：过D作DH⊥AC于H，
∵∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴DE＝DF，DH＝DF，
∴DE＝DH，
∴AD平分∠MAC；故①正确；
∵S△DAB：S△DBC＝＝，故②正确；
∵∠ABC+∠DEF+∠DFE+∠EDF＝360°，
∴∠ABC+∠EDF＝180°，
∵∠ADP+∠ABC＝180°，
∴∠EDF＝∠ADP，
∴∠EDA＝∠PDF，
在△ADE和△PDF中，
，
∴△ADE≌△PDF（AAS），
∴AE＝PF，
在Rt△BDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），
∴BE＝BF，
∴BP﹣AB＝BF+PF﹣AB＝BE+AE﹣AB＝AE+AB+AE﹣AB＝2AE，
∴BP﹣2AE＝AB，故④正确，
∵AD平分∠MAC，DC平分∠ACN，BD平分∠ABC，
∴∠DAC＝∠MAC，∠DCA＝∠ACN，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝90°﹣∠ABC，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABC﹣31°，
∴∠DAE＝∠ABD+∠ADB＝59°，故③正确，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）在△ABC中，AB＝AC＝7，∠C＝60°，则BC的长为 7 ．
【分析】根据“有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形”可以推知△ABC是等边三角形，然后由等边三角形的三条边相等的性质来求BC的长度．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝7，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝7；
故答案为：7．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质．由已知判定三角形为等边三角形是解答本题的关键．
14．（2分）如图，一块三角形玻璃被摔成三块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，只需带一块去即可，则这块玻璃的编号是 ③ ．（填序号）
【分析】显然第③中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等．
【解答】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块．
故答案为：③．
【点评】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题数学化石正确解答本题的关键．
15．（2分）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，∠A＝50°，∠F＝20°，则∠B的度数为 110 °．
【分析】利用轴对称的性质求出∠C，再利用三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠C＝∠F＝20°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝110°，
故答案为：110．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（2分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，F是AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为 4 ．
【分析】求出AD＝BD，求出∠ADC＝∠ADB＝90°，∠CAD＝∠FBD，根据ASA证△BDF≌△BDC，根据全等三角形的性质推出DF＝DC即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠ADB＝∠BEA＝90°，
∴∠CAD+∠AFE＝90°，∠BFD+∠DBF＝90°，
∵∠AFE＝∠DFB，
∴∠CAD＝∠FBD，
∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
在△BDF和△BDC中
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF＝DC＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了垂直定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，定义三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
17．（2分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A5B5A6的边长为 16 ．
【分析】先根据已知证明ΔOA1B1，ΔOA2B2，ΔOA3B3是等腰三角形，求出A1B1，A2B2，A3B3，然后从数字找规律即可解答．
【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝60°，A1B1＝A1A2，A2B3＝A2B2，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝30°，
∠OB2A2＝∠B2A2A3﹣∠MON＝30°，
∠OB3A3＝∠B3A3A4﹣∠MON＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
OA2＝A2B2＝1+1＝2，
OA3＝A3B3，＝OA2+A2A3＝2+2＝4，
∴△A1B1A2的边长为：1＝20，
△A2B2A3的边长为：2＝21，
△A3B3A4的边长为：4＝22，
…
∴△A5B5A6的边长为：24＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，规律型：图形的变化类，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
18．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是 9.6 ．
【分析】连接CP，依据轴对称的性质，即可得到线段P1P2的长等于2CP，依据CP的最小值即可得出线段P1P2的长的最小值．
【解答】解：如图，连接CP，
∵点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2，
∴∠ACP＝∠ACP1，∠BCP＝∠BCP，
∵∠ACB＝90°，
∴∠P1CP2＝180°，
∴P2，C，P1共线，
∴P1C＝PC＝P2C，
∴线段P1P2的长等于2CP，
如图所示，当CP⊥AB时，CP的长最小，此时线段P1P2的长最小，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴CP＝＝4.8，
∴线段P1P2的长的最小值是9.6，
故答案为：9.6．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三、解答题（本大题共8题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，求出图形中x的值．
【分析】直接根据四边形内角和是360度列方程计算即可．
【解答】解：四边形内角和是360度，且图中有一个角是直角，
故可列方程：x+x+20+60+90＝360，
解得：x＝95．
【点评】本题考查了多边形内角和和一元一次方程的应用，解题时注意x＝95而非x＝95°．
20．用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
（1）请用含x的式子表示第三条边的长度．
（2）若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．
【分析】（1）依据三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm，即可用含x的式子表示第三条边的长度．
（2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，即可得到这个等腰三角形的三边长．
【解答】解：（1）∵三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
∴第二条边是（3x﹣4）cm，
∴第三条边的长度为41﹣x﹣（3x﹣4）＝45﹣4x（cm）；
（2）若x＝3x﹣4，则x＝2，不能组成三角形；
若x＝45﹣4x，则x＝9，不能组成三角形；
若3x﹣4＝45﹣4x，则x＝7，
∴3x﹣4＝45﹣4x＝17，符合题意，
∴该等腰三角形的三边长分别为：17cm、17cm和7cm．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，在解题时根据三角形的三边关系进行判断是本题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝60°，
（1）尺规作图：求作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；
（2）求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据作角平分线的作法作出角平分线即可；
（2）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，根据角平分线定义得到∠CBD＝∠ABD＝ABC＝25°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；
（2）∵∠BAC＝70°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠BAC+∠ABD＝70°+25°＝95°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（3，1），C（4，4）．请解答下列问题：
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PC最小．
【分析】（1）由已知△ABC的顶点坐标，根据对称性可求得△A1B1C1的顶点坐标，即可得到△A1B1C1；
（2）利用轴对称的性质，即可求得PA+PC的最小值时点P的位置．
【解答】解：（1）∵△ABC的三个顶点分别为：A（1，2），B（3，1），C（4，4），
∴关于y轴对称的点为：A1（﹣1，2），B1（﹣3，1），C1（﹣4，4），
依次连接顶点A1，B1，C1即可得到△A1B1C1．
（2）∵点C（4，4）关于x轴的对称点C'（4，﹣4），
连接AC'，AC'与x轴的交点即为点P（2，0）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．
23．在湖的两岸A，B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离．某数学兴趣小组采用以下方法进行测量：在湖岸上选一点O，连接BO并延长到点C，使得BO＝OC，连接AO并延长到点D，使OD＝AO，连接CD，则AB＝CD，测量DC的长度即为AB的长度．
（1）请根据题意，画出测量图案；
（2）该小组得出结论“CD的长度就是A，B两点间的距离”，请说明理由．
【分析】（1）先在湖岸上选一点O，连接BO、AO并延长，使得BO＝OC，OD＝AO，再连接CD即可
（2）利用BO＝OC，OD＝AO，证明△AOB≌△DOC，即可说明理由
【解答】解：（1）如图所示：在湖岸上选一点O，连接BO并延长到点C，使得BO＝OC，连接AO并延长到点D，使OD＝AO，连接CD，
（2）理由如下
∵BO＝OC，OD＝AO，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD，
即CD的长度就是A，B两点间的距离
【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝FD，BE＝FC．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AC＝4，AB＝5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
【分析】（1）根据题意先证明的Rt△BDE≌Rt△DFC，再根据角平分线的性质即可证明的AD平分∠BAC；
（2）利用S△ABC＝S△ACD+S△ABD可求得DE的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB
∴∠BED＝90°，且∠C＝90°，
又∵BD＝FD，BE＝FC，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），
∴DC＝DE，且DC⊥AD，DE⊥AB，
∴AD平分∠BAC
（2）解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
由（1）知DC＝DE，
∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD
∴，
∴．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理．
25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）如果只知道∠C﹣∠B＝20°，那么能得到∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【分析】（1）先利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义可求出∠CAE的度数．利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数，结合∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD可求出∠DAE的度数；
（2）设∠B＝x，则∠C＝20°+x，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，可用含x的代数式表示出∠CAE的度数，在Rt△ADC，用含x的代数式表示出∠CAD的度数，再结合∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD可求出∠DAE的度数．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
∵AE平分∠BAC，
∴．
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠C＝50°，
∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°；
（2）能，设∠B＝x，则∠C＝20°+x，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣x﹣20°﹣x＝160°﹣2x．
∵AE平分∠BAC，
∴．
在Rt△ADC，∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣（20°+x）＝70°﹣x，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（80°﹣x）﹣（70°﹣x）＝10°，
故如果只知道∠C﹣∠B＝20°，也能得到∠DAE＝10°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义．
26．综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）．
[初步把握]如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，则有 △ABD ≌ △ACE ．
[深入研究]如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，求证：BE＝CD．
[拓展延伸]如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．
【分析】[初步把握]易证∠BAD＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE（SAS）即可；
[深入研究]易证∠DAC＝∠BAE，再证△ABE≌△ADC（SAS），即可得出结论；
[拓展延伸]易证∠CAE＝∠BAD，再证△ABD≌△ACE（SAS），得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再由三角形的外角性质证出∠BPC＝∠BAC＝90°，则BD⊥CE即可．
【解答】[初步把握]解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案为：△ABD，△ACE；
[深入研究]证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD；
[拓展延伸]解：BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠BPC+∠ABD＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BPC＝∠BAC＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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