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高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动2 简谐运动的描述学案
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物理观念：
1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.
2.知道简谐运动的数学表达式，知道描述简谐运动的基本物理量.
科学思维：
1.理解周期和频率的关系，能够结合简谐运动的图象进行有关判断.
科学探究：
1.观察简谐运动图象，结合数学知识，理解表达式中各物理量的含义.
一、描述简谐运动的物理量
1.振幅：振动物体离开平衡位置的 距离.
2.全振动(如图1所示)
图1
类似于O→B→O→C→O的一个 的振动过程.
3.周期和频率
(1)周期
①定义：做简谐运动的物体完成 所需要的时间.
②单位：国际单位是 .
(2)频率
①定义：单位时间内完成全振动的 .
②单位： .
(3)T和f的关系：T＝
4.相位
3.相位
(1)概念:简谐运动位移x的一般函数表达式可写为x=Asin(ωt+φ)。物理学中把 叫作相位。
(2)意义:描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态。
(3)初相位(或初相):t= 时的相位,即表达式中的φ。
二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x＝ .
1.x表示振动物体相对于平衡位置的 ；t表示 .
2.A表示简谐运动的 .
3.ω叫做简谐运动的“ ”，表示简谐运动的快慢，ω＝ ＝ (与周期T和频率f的关系).
4. 代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做 .
5.相位差
若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，则相位差为Δφ＝ － ＝ .
1.判断下列说法的正误.
(1)在机械振动的过程中，振幅是不断变化的.( )
(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量.( )
(3)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间. ( )
(4)按x＝5sin (8πt＋eq \f(1,4)π) cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25 s.( )
2.有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时(t＝0)具有正的最大位移，则它的振动方程是x＝__________________________ m.
一、描述简谐运动的物理量
如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称.
(1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
1.对全振动的理解
(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，称为一次全振动.
(2)全振动的四个特征：
①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.
②时间特征：历时一个周期.
③路程特征：振幅的4倍.
④相位特征：增加2π.
2.对周期和频率的理解
(1)周期(T)和频率(f)都是标量，反映了振动的快慢，T＝eq \f(1,f)，即周期越大，频率越小，振动越慢.
(2)一个振动系统的周期、频率由振动系统决定，与振幅无关.
3.对振幅的理解
(1)振动物体离开平衡位置的最大距离.
(2)振幅与位移的区别
①振幅等于最大位移的数值.
②对于一个给定的振动，振动物体的位移是时刻变化的，但振幅是不变的.
③位移是矢量，振幅是标量.
(3)路程与振幅的关系
①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅.
②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅.
③振动物体在eq \f(1,4)个周期内的路程不一定等于一个振幅.
4.振幅与周期的关系
在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关,振幅越大,振动过程中的最大位移越大,但周期为定值。
特别提示 振幅大,振动物体的位移不一定大,但其最大位移一定大。
例1 一个做简谐运动的质点,它的振幅是4 cm,频率是2.5 Hz,该质点从平衡位置开始经过2.5 s后,位移的大小和经过的路程为( )
A.4 cm,10 cmB.4 cm,100 cm
C.0,24 cmD.0,100 cm
计算位移时一定注意,不管从哪个地方开始振动,位移为0的位置是平衡位置;路程是运动轨迹的长度,随着时间的增加,路程在不断增大。
例2 (多选)(2023海南嘉积中学高二期中)如图所示,一个轻质弹簧下端挂一质量为m的小球,小球静止时,轻质弹簧的伸长量为x1,现将小球向下拉动x2后由静止释放,并开始计时,小球在竖直方向做简谐运动,周期为T,重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
A.轻质弹簧的劲度系数为mgx1
B.释放瞬间,小球的加速度大小为x1+x2x1g
C.小球运动的振幅为x2-x1
D. 18T~58T时间内,小球通过的路程为2x2
二、简谐运动表达式的理解
有两个简谐运动: x1=3asin4πbt+π4和x2=9asin8πbt+π2,它们的振幅之比是多少?频率各是多少?
做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式为x=Asin(ωt+φ)。
1.式中x表示振动质点相对平衡位置的位移;t表示振动的时间。
2.式中(ωt+φ)表示相位,描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。
3.式中φ表示t=0时简谐运动质点所处的状态,称为初相位或初相。
4.相位差:即某一时刻两个振动的相位之差。
(1)两个具有相同ω的简谐运动,设其初相位分别为φ1和φ2,其相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。
(2)①当Δφ=0时,两质点振动步调一致,称为同相;
②当Δφ=π时,两质点振动步调完全相反,称为反相;
③当Δφ=φ2-φ1>0但Δφ≠π时,质点2相位比质点1超前Δφ,或质点1的相位比质点2落后Δφ。
5.从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性.当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝eq \f(2nπ,ω)＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动.
6.从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会特殊点的值.当(ωt＋φ)等于2nπ＋eq \f(π,2)时，sin (ωt＋φ)＝1，即x＝A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋eq \f(3π,2)时，sin (ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ时，sin (ωt＋φ)＝0，即x＝0.
例3 (多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA=3sin100t+π2 m,物体B做简谐运动的振动方程是xB=5sin100t+π6 m。比较A、B的运动( )
A.振幅是矢量,A的振幅是6 m,B的振幅是10 m
B.周期是标量,A、B周期相等,都为100 s
C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D.A的相位始终超前B的相位π3
简谐运动的表达式
(1)简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成x=Acsπ2-(ωt+φ0),同一振动用不同函数表示时相位不同,而且相位是随时间变化的一个变量。
(2)比较相位或计算相位差时,要用同种函数来表示振动方程,否则就会出错。
针对训练1 一质点沿水平方向的振动方程为x=10sin(5πt+π)cm,取水平向右为位移的正方向,则在t=0.25 s时,下列说法正确的是( )
A.质点在平衡位置的右方,水平向左运动
B.质点在平衡位置的右方,水平向右运动
C.质点在平衡位置的左方,水平向右运动
D.质点在平衡位置的左方,水平向左运动
三、简谐运动的周期性和对称性
如图所示,弹簧振子在A、B间以O为平衡位置做简谐运动,周期为T,C、D两点关于O点对称。
(1)物体经过C、D两点时的位移有什么特点?
(2)物体经过C、D两点时的速度、加速度有什么特点?
(3)物体经C点开始,再过T、2T时间,物体的位置、速度有何变化?
1.对称性
如图4所示
图4
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反.
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反.
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同.
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反.
2.周期性
(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。
(2)若t2-t1=nT+12T,则t1、t2两时刻,描述运动的物理量(x,F,a,v)均大小相等,方向相反。
(3)若t2-t1=nT+14T或t2-t1=nT+34T,则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;若t1时刻物体在其他位置,t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。
例4 如图所示,一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点,历时0.5 s,过B点后再经过t=0.5 s,质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点,O为AB的中点,则质点从离开O点到再次回到O点历时( )
A.0.5 sB.1.0 s
C.2.0 sD.4.0 s
针对训练2 (2023湖北鄂州高二阶段训练)一质点做简谐运动,先后以相同的速度依次通过A、B两点,历时1 s;质点通过B点后再经过1 s又第二次通过B点。在这2 s内质点通过的总路程为12 cm,则质点的振动周期和振幅分别是( )
A.3 s,6 cmB.4 s,6 cm
C.4 s,9 cmD.2 s,8 cm
1、(简谐运动的图像)如图所示,一个弹簧振子沿x轴做简谐运动,其平衡位置在x轴坐标原点O处。从某时刻开始计时,经过四分之一周期,物体具有沿x轴正方向的最大速度,图中能正确反映该弹簧振子的位移x与时间t关系的图像是( )
2、(简谐运动的图像、表达式)(2023江苏南通学情检测)一个质点以O点为平衡位置,在A、B间做简谐运动,如图甲所示,它的振动图像如图乙所示,设向右为正方向,下列说法正确的是( )
A.该质点的振动方程为x=0.05sin 2.5πt m
B.0.2 s末质点的速度方向向右
C.0.2~0.3 s质点做加速运动
D.0.7 s时质点的位置在O与B之间
3、(简谐运动的对称性)(2023江苏苏州高二期中)弹簧振子做简谐运动,若从平衡位置O开始计时,经过4 s小球第一次经过P点,又经过了1 s,小球第二次经过P点,则该简谐运动的周期可能是( )
A.5 sB.6 s
C.14 sD.16 s
4、(简谐运动的表达式)一物体沿x轴做简谐运动,振幅为8 cm,频率为0.5 Hz,在t=0时位移是4 cm,且向x轴负向运动,试写出用正弦函数表示的振动方程。
题组一 描述简谐运动的物理量
1.(2024湖南长沙高二月考)在1 min内甲振动30次,乙振动75次,则( )
A.甲的周期为0.5 s,乙的周期为1.25 s
B.甲的周期为0.8 s,乙的周期为2 s
C.甲的频率为0.5 Hz,乙的频率为1.25 Hz
D.甲的频率为0.5 Hz,乙的频率为0.8 Hz
2.(多选)(2024湖南益阳高二阶段练习)关于简谐运动的各物理量,下列说法正确的是( )
A.振幅越大,周期越大
B.振幅越小,频率越小
C.振幅等于位移大小的最大值
D.周期和频率的乘积为一常数
3.(2024广东梅州高二月考)周期为2 s的简谐运动,在半分钟内振子通过的路程是60 cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )
A.15次,2 cmB.30次,1 cm
C.15次,1 cmD.60次,2 cm
4.关于弹簧振子的位置和路程，下列说法中正确的是( )
A.运动一个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的4倍
B.运动半个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的2倍
C.运动eq \f(3,4)个周期，位置可能不变，路程一定等于振幅的3倍
D.运动一段时间位置不变时，路程一定等于振幅的4倍
5.如图3所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则( )
图3
A.从O→B→O振子做了一次全振动
B.振动周期为2 s，振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s，振子处在平衡位置
6.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图4所示，由图可知( )
图4
A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B.质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C.0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D.t＝3 s时，质点的振幅为零
题组二 相位 简谐运动的表达式
7.(多选)(2024江西九江高二月考)质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=Asin π4t,则质点( )
A.第1 s末与第3 s末的位移相同
B.第1 s末与第3 s末的速度相同
C.第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D.第3 s末与第5 s末的速度方向相同
8.(多选)(2024河南安阳高二月考)如图所示,A、B为两个简谐运动的振动图像,下列说法正确的是( )
A.A、B之间的相位差是π2
B.A、B之间的相位差是π
C.B比A超前T4
D.A比B超前T4
9.(多选)(2024湖北武汉高二月考)如图所示,轻弹簧上端固定,下端连接一物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为y=0.1sin 2.5πt m。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是( )
A.h=1.7 m
B.物块做简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t=0.4 s时,物块与小球运动方向相反
10.(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin eq \f(π,4)t，则质点( )
A.第1 s末与第3 s末的位移相同
B.第1 s末与第3 s末的速度相同
C.第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D.第3 s末与第5 s末的速度方向相同
11.(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100t＋\f(π,2))) m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100t＋\f(π,6))) m.比较A、B的运动( )
A.振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B.周期是标量，A、B周期相等，都为100 s
C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D.A的相位始终超前B的相位eq \f(π,3)
12.(多选)如图6所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin(2.5πt) m.t＝0时刻，一小球从距物块平衡位置h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )
图6
A.h＝1.7 m
B.简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
题组三 简谐运动的周期性与对称性
13.(2024湖南张家界高二月考)如图所示,弹簧振子在d、c间振动,振子从a运动到b需要0.2 s,振子经过a、b两点时速度大小相同,若它从b再回到a的最短时间为0.4 s,则该振子的振动周期为( )
A.0.6 sB.0.8 s
C.1.0 sD.1.2 s
14.(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为0.1 m,则下列说法正确的是( )
A.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为23 s
B.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为45 s
C.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为4 s
D.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为6 s
15.(2018·沈阳市郊联体高二上学期期末)弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3 s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则到该振子第三次经过P点可能还需要多长时间( )
A.1.2 s B.1.0 s C.0.4 s D.1.4 s
16.(多选)(2018·天津卷)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点.t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则( )
A.若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(2,3) s
B.若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(4,5) s
C.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
17.(2024浙江温州高二月考)某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=3sin 2π3t+π2 cm,则( )
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为23 s
C.t=0.75 s时,质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s内的位移为-4.5 cm
18.(多选)(2024山东济宁高二月考)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法正确的是( )
A.质点振动的频率为4 Hz
B.在10 s内质点经过的路程为20 cm
C.第5 s末,质点的速度为零,加速度最大
D.t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等,都是2 cm
19.(多选)(2024湖北黄冈高二月考)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其位移x=Asin ωt,振动图像如图所示,则( )
A.弹簧在第1 s末与第5 s末的长度相同
B.简谐运动的频率为18 Hz
C.第3 s末,弹簧振子的位移大小为22A
D.弹簧振子在第3 s末与第5 s末的速度方向相同
20.(2024山东济南高二月考)如图所示,m为在光滑水平面上的弹簧振子,弹簧形变的最大限度为20 cm,图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置,若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放,经过0.5 s后振子m第一次回到P位置,关于该弹簧振子,下列说法正确的是( )
A.该弹簧振子的振动频率为1 Hz
B.在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度,只要最大位移不超过20 cm,振子m总是经过0.5 s速度就降为0
C.若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放,振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 s
D.若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放,经过1 s振子m第一次回到P位置
物理观念：
1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.
2.知道简谐运动的数学表达式，知道描述简谐运动的基本物理量.
科学思维：
1.理解周期和频率的关系，能够结合简谐运动的图象进行有关判断.
科学探究：
1.观察简谐运动图象，结合数学知识，理解表达式中各物理量的含义.
一、描述简谐运动的物理量
1.振幅：振动物体离开平衡位置的 距离.
2.全振动(如图1所示)
图1
类似于O→B→O→C→O的一个 的振动过程.
3.周期和频率
(1)周期
①定义：做简谐运动的物体完成 所需要的时间.
②单位：国际单位是 .
(2)频率
①定义：单位时间内完成全振动的 .
②单位： .
(3)T和f的关系：T＝
4.相位
3.相位
(1)概念:简谐运动位移x的一般函数表达式可写为x=Asin(ωt+φ)。物理学中把 叫作相位。
(2)意义:描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态。
(3)初相位(或初相):t= 时的相位,即表达式中的φ。
二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x＝ .
1.x表示振动物体相对于平衡位置的 ；t表示 .
2.A表示简谐运动的 .
3.ω叫做简谐运动的“ ”，表示简谐运动的快慢，ω＝ ＝ (与周期T和频率f的关系).
4. 代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做 .
5.相位差
若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，则相位差为Δφ＝ － ＝ .
1.判断下列说法的正误.
(1)在机械振动的过程中，振幅是不断变化的.( )
(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量.( )
(3)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间. ( )
(4)按x＝5sin (8πt＋eq \f(1,4)π) cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25 s.( )
2.有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时(t＝0)具有正的最大位移，则它的振动方程是x＝__________________________ m.
一、描述简谐运动的物理量
如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称.
(1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
1.对全振动的理解
(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，称为一次全振动.
(2)全振动的四个特征：
①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.
②时间特征：历时一个周期.
③路程特征：振幅的4倍.
④相位特征：增加2π.
2.对周期和频率的理解
(1)周期(T)和频率(f)都是标量，反映了振动的快慢，T＝eq \f(1,f)，即周期越大，频率越小，振动越慢.
(2)一个振动系统的周期、频率由振动系统决定，与振幅无关.
3.对振幅的理解
(1)振动物体离开平衡位置的最大距离.
(2)振幅与位移的区别
①振幅等于最大位移的数值.
②对于一个给定的振动，振动物体的位移是时刻变化的，但振幅是不变的.
③位移是矢量，振幅是标量.
(3)路程与振幅的关系
①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅.
②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅.
③振动物体在eq \f(1,4)个周期内的路程不一定等于一个振幅.
4.振幅与周期的关系
在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关,振幅越大,振动过程中的最大位移越大,但周期为定值。
特别提示 振幅大,振动物体的位移不一定大,但其最大位移一定大。
例1 一个做简谐运动的质点,它的振幅是4 cm,频率是2.5 Hz,该质点从平衡位置开始经过2.5 s后,位移的大小和经过的路程为( )
A.4 cm,10 cmB.4 cm,100 cm
C.0,24 cmD.0,100 cm
计算位移时一定注意,不管从哪个地方开始振动,位移为0的位置是平衡位置;路程是运动轨迹的长度,随着时间的增加,路程在不断增大。
例2 (多选)(2023海南嘉积中学高二期中)如图所示,一个轻质弹簧下端挂一质量为m的小球,小球静止时,轻质弹簧的伸长量为x1,现将小球向下拉动x2后由静止释放,并开始计时,小球在竖直方向做简谐运动,周期为T,重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
A.轻质弹簧的劲度系数为mgx1
B.释放瞬间,小球的加速度大小为x1+x2x1g
C.小球运动的振幅为x2-x1
D. 18T~58T时间内,小球通过的路程为2x2
二、简谐运动表达式的理解
有两个简谐运动: x1=3asin4πbt+π4和x2=9asin8πbt+π2,它们的振幅之比是多少?频率各是多少?
做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式为x=Asin(ωt+φ)。
1.式中x表示振动质点相对平衡位置的位移;t表示振动的时间。
2.式中(ωt+φ)表示相位,描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。
3.式中φ表示t=0时简谐运动质点所处的状态,称为初相位或初相。
4.相位差:即某一时刻两个振动的相位之差。
(1)两个具有相同ω的简谐运动,设其初相位分别为φ1和φ2,其相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。
(2)①当Δφ=0时,两质点振动步调一致,称为同相;
②当Δφ=π时,两质点振动步调完全相反,称为反相;
③当Δφ=φ2-φ1>0但Δφ≠π时,质点2相位比质点1超前Δφ,或质点1的相位比质点2落后Δφ。
5.从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性.当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝eq \f(2nπ,ω)＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动.
6.从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会特殊点的值.当(ωt＋φ)等于2nπ＋eq \f(π,2)时，sin (ωt＋φ)＝1，即x＝A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋eq \f(3π,2)时，sin (ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ时，sin (ωt＋φ)＝0，即x＝0.
例3 (多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA=3sin100t+π2 m,物体B做简谐运动的振动方程是xB=5sin100t+π6 m。比较A、B的运动( )
A.振幅是矢量,A的振幅是6 m,B的振幅是10 m
B.周期是标量,A、B周期相等,都为100 s
C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D.A的相位始终超前B的相位π3
简谐运动的表达式
(1)简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成x=Acsπ2-(ωt+φ0),同一振动用不同函数表示时相位不同,而且相位是随时间变化的一个变量。
(2)比较相位或计算相位差时,要用同种函数来表示振动方程,否则就会出错。
针对训练1 一质点沿水平方向的振动方程为x=10sin(5πt+π)cm,取水平向右为位移的正方向,则在t=0.25 s时,下列说法正确的是( )
A.质点在平衡位置的右方,水平向左运动
B.质点在平衡位置的右方,水平向右运动
C.质点在平衡位置的左方,水平向右运动
D.质点在平衡位置的左方,水平向左运动
三、简谐运动的周期性和对称性
如图所示,弹簧振子在A、B间以O为平衡位置做简谐运动,周期为T,C、D两点关于O点对称。
(1)物体经过C、D两点时的位移有什么特点?
(2)物体经过C、D两点时的速度、加速度有什么特点?
(3)物体经C点开始,再过T、2T时间,物体的位置、速度有何变化?
1.对称性
如图4所示
图4
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反.
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反.
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同.
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反.
2.周期性
(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。
(2)若t2-t1=nT+12T,则t1、t2两时刻,描述运动的物理量(x,F,a,v)均大小相等,方向相反。
(3)若t2-t1=nT+14T或t2-t1=nT+34T,则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;若t1时刻物体在其他位置,t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。
例4 如图所示,一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点,历时0.5 s,过B点后再经过t=0.5 s,质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点,O为AB的中点,则质点从离开O点到再次回到O点历时( )
A.0.5 sB.1.0 s
C.2.0 sD.4.0 s
针对训练2 (2023湖北鄂州高二阶段训练)一质点做简谐运动,先后以相同的速度依次通过A、B两点,历时1 s;质点通过B点后再经过1 s又第二次通过B点。在这2 s内质点通过的总路程为12 cm,则质点的振动周期和振幅分别是( )
A.3 s,6 cmB.4 s,6 cm
C.4 s,9 cmD.2 s,8 cm
1、(简谐运动的图像)如图所示,一个弹簧振子沿x轴做简谐运动,其平衡位置在x轴坐标原点O处。从某时刻开始计时,经过四分之一周期,物体具有沿x轴正方向的最大速度,图中能正确反映该弹簧振子的位移x与时间t关系的图像是( )
2、(简谐运动的图像、表达式)(2023江苏南通学情检测)一个质点以O点为平衡位置,在A、B间做简谐运动,如图甲所示,它的振动图像如图乙所示,设向右为正方向,下列说法正确的是( )
A.该质点的振动方程为x=0.05sin 2.5πt m
B.0.2 s末质点的速度方向向右
C.0.2~0.3 s质点做加速运动
D.0.7 s时质点的位置在O与B之间
3、(简谐运动的对称性)(2023江苏苏州高二期中)弹簧振子做简谐运动,若从平衡位置O开始计时,经过4 s小球第一次经过P点,又经过了1 s,小球第二次经过P点,则该简谐运动的周期可能是( )
A.5 sB.6 s
C.14 sD.16 s
4、(简谐运动的表达式)一物体沿x轴做简谐运动,振幅为8 cm,频率为0.5 Hz,在t=0时位移是4 cm,且向x轴负向运动,试写出用正弦函数表示的振动方程。
题组一 描述简谐运动的物理量
1.(2024湖南长沙高二月考)在1 min内甲振动30次,乙振动75次,则( )
A.甲的周期为0.5 s,乙的周期为1.25 s
B.甲的周期为0.8 s,乙的周期为2 s
C.甲的频率为0.5 Hz,乙的频率为1.25 Hz
D.甲的频率为0.5 Hz,乙的频率为0.8 Hz
2.(多选)(2024湖南益阳高二阶段练习)关于简谐运动的各物理量,下列说法正确的是( )
A.振幅越大,周期越大
B.振幅越小,频率越小
C.振幅等于位移大小的最大值
D.周期和频率的乘积为一常数
3.(2024广东梅州高二月考)周期为2 s的简谐运动,在半分钟内振子通过的路程是60 cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )
A.15次,2 cmB.30次,1 cm
C.15次,1 cmD.60次,2 cm
4.关于弹簧振子的位置和路程，下列说法中正确的是( )
A.运动一个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的4倍
B.运动半个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的2倍
C.运动eq \f(3,4)个周期，位置可能不变，路程一定等于振幅的3倍
D.运动一段时间位置不变时，路程一定等于振幅的4倍
5.如图3所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则( )
图3
A.从O→B→O振子做了一次全振动
B.振动周期为2 s，振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s，振子处在平衡位置
6.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图4所示，由图可知( )
图4
A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B.质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C.0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D.t＝3 s时，质点的振幅为零
题组二 相位 简谐运动的表达式
7.(多选)(2024江西九江高二月考)质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=Asin π4t,则质点( )
A.第1 s末与第3 s末的位移相同
B.第1 s末与第3 s末的速度相同
C.第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D.第3 s末与第5 s末的速度方向相同
8.(多选)(2024河南安阳高二月考)如图所示,A、B为两个简谐运动的振动图像,下列说法正确的是( )
A.A、B之间的相位差是π2
B.A、B之间的相位差是π
C.B比A超前T4
D.A比B超前T4
9.(多选)(2024湖北武汉高二月考)如图所示,轻弹簧上端固定,下端连接一物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为y=0.1sin 2.5πt m。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是( )
A.h=1.7 m
B.物块做简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t=0.4 s时,物块与小球运动方向相反
10.(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin eq \f(π,4)t，则质点( )
A.第1 s末与第3 s末的位移相同
B.第1 s末与第3 s末的速度相同
C.第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D.第3 s末与第5 s末的速度方向相同
11.(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100t＋\f(π,2))) m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100t＋\f(π,6))) m.比较A、B的运动( )
A.振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B.周期是标量，A、B周期相等，都为100 s
C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D.A的相位始终超前B的相位eq \f(π,3)
12.(多选)如图6所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin(2.5πt) m.t＝0时刻，一小球从距物块平衡位置h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )
图6
A.h＝1.7 m
B.简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
题组三 简谐运动的周期性与对称性
13.(2024湖南张家界高二月考)如图所示,弹簧振子在d、c间振动,振子从a运动到b需要0.2 s,振子经过a、b两点时速度大小相同,若它从b再回到a的最短时间为0.4 s,则该振子的振动周期为( )
A.0.6 sB.0.8 s
C.1.0 sD.1.2 s
14.(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为0.1 m,则下列说法正确的是( )
A.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为23 s
B.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为45 s
C.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为4 s
D.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为6 s
15.(2018·沈阳市郊联体高二上学期期末)弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3 s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则到该振子第三次经过P点可能还需要多长时间( )
A.1.2 s B.1.0 s C.0.4 s D.1.4 s
16.(多选)(2018·天津卷)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点.t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则( )
A.若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(2,3) s
B.若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(4,5) s
C.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
17.(2024浙江温州高二月考)某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=3sin 2π3t+π2 cm,则( )
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为23 s
C.t=0.75 s时,质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s内的位移为-4.5 cm
18.(多选)(2024山东济宁高二月考)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法正确的是( )
A.质点振动的频率为4 Hz
B.在10 s内质点经过的路程为20 cm
C.第5 s末,质点的速度为零,加速度最大
D.t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等,都是2 cm
19.(多选)(2024湖北黄冈高二月考)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其位移x=Asin ωt,振动图像如图所示,则( )
A.弹簧在第1 s末与第5 s末的长度相同
B.简谐运动的频率为18 Hz
C.第3 s末,弹簧振子的位移大小为22A
D.弹簧振子在第3 s末与第5 s末的速度方向相同
20.(2024山东济南高二月考)如图所示,m为在光滑水平面上的弹簧振子,弹簧形变的最大限度为20 cm,图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置,若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放,经过0.5 s后振子m第一次回到P位置,关于该弹簧振子,下列说法正确的是( )
A.该弹簧振子的振动频率为1 Hz
B.在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度,只要最大位移不超过20 cm,振子m总是经过0.5 s速度就降为0
C.若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放,振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 s
D.若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放,经过1 s振子m第一次回到P位置
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