初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明授课ppt课件

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数学 九年级上册 BS版
三角形相似的判定定理.（1）定理一： ⁠；（2）定理二： ⁠；（3）定理三： ⁠.
两角分别相等的两个三角形相似　
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似　
三边成比例的两个三角形相似　
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.③ 三边对应成比例，两三角形相似.
证明相似三角形的判定定理
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明．
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'．
证明：在 △ABC 的边 AB (或它的延长线) 上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则∠1=∠B，∠2 =∠C，
我们来证明一下前面得出的结论：
证明：在△A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
证明：在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′，过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
如图，在等边三角形 ABC 中，点 D ， E ， F 分别是三边上的点，且 AE ＝BF ＝CD ，那么△ ABC 与△ DEF 相似吗？请说明理由.
【点拨】在等边三角形三边上取三点，截取三条相等线段，无论三截点怎么变化，截出的含顶角的三个小三角形都全等，中间小三角形一定是等边三角形.特别地，若截点是各边中点，则四个三角形都是等边三角形.
如图，在Rt△ ABC 中,已知∠ACB ＝90°,CD⊥AB 于点 D ,分别以 AC , BC 为边向三角形外部作等边三角形 ACE 和等边三角形 BCF ，连接 DE , DF . 证明：△ ADE ∽△ CDF .
∵∠ EAD ＝∠ EAC ＋∠ CAD ＝60°＋∠ CAD ，∠ FCD ＝∠ BCF ＋∠ BCD ＝60°＋∠ BCD ，∴∠ EAD ＝∠ FCD . ∴△ ADE ∽△ CDF .
【点拨】当无法证明“比例式”或“等积式”线段所在的两个三角形相似时，可以考虑“等线段替换”或者“等比替换”，将问题进行转化.
如图，在菱形 ABCD 中，已知∠ ABC ＝60°，点 E 是射线 CB 上一点，点 F 是线段 CD 上一点，且∠ EAF ＝120°，求证： AE · CF ＝ AF · BC .
证明：如答图，连接 AC . ∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝ BC ， AD ∥ BC . ∵∠ ABC ＝60°，∴△ ABC 是等边三角形. ∴∠ ACB ＝∠ BAC ＝60°， AC ＝ BC . ∵ AD ∥ BC ，∠ ABC ＝60°，∴∠ BAD ＝120°，∠ CAD ＝∠ ACB ＝∠ ACF ＝60°.又∵∠ EAF ＝120°，∴∠ EAB ＝∠ FAD .设∠ EAB ＝∠ FAD ＝α，则∠ E ＝∠ ABC －α＝60°－α. ∵∠ CAF ＝∠ CAD －∠ FAD ＝60°－α，∴∠ E ＝∠ CAF .
已知点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，连接 AE ，过点 E 作 EF ⊥ AE 于点 E ，分别交 AC ,CD 于点 M , F . 过点 B 作 BG ⊥ AC 于点 G ，交 AE 于点 H .
（1）如图1，求证：△ ABE ∽△ ECF ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ ABE ＝∠ ECF ＝90°.∵ EF ⊥ AE ，∴∠ AEB ＋∠ FEC ＝90°.又∵∠ AEB ＋∠ BAE ＝90°，∴∠ BAE ＝∠ CEF . ∴△ ABE ∽△ ECF .
（2）如图1，找出与△ ABH 相似的三角形，并证明；
（2）解：△ ECM ∽△ ABH . 证明如下：∵ BG ⊥ AC ，∴∠ ABG ＋∠ BAG ＝90°.∵∠ ACB ＋∠ BAC ＝90°，∴∠ ECM ＝∠ ABH . 由（1）知，∠ CEM ＝∠ BAH ，∴△ ECM ∽△ ABH .
（3）如图2，若点 E 是 BC 的中点， BC ＝2 AB ， AB ＝2，求 EM 的长.
【点拨】注意数形结合思想的应用，以及有两组角对应相等的 两个三角形相似的判定定理的应用.
如图，在平面直角坐标系中，已知点 A ， C 分别在 x 轴和 y 轴上，四边形 AOCB 为矩形， AB ＝16， BC ＝12，点 D 与点 A 关于 y 轴对称.点 E ， F 分别是线段 AD ， AC 上的动点（点 E 不与点 A ， D 重合），且∠ CEF ＝∠ ACB .
（1）求 AC 的长与点 D 的坐标；（2）说明△ AEF 与△ DCE 相似；（3）若△ EFC 为等腰三角形，且 EF ＝ FC ，求点 E 的坐标.
（2）说明△ AEF 与△ DCE 相似；
解：（2）∵点 D 与点 A 关于 y 轴对称，∴∠ CDE ＝∠ CAO . ∵∠ CEF ＝∠ ACB ，∠ ACB ＝∠ CAO ，∴∠ CDE ＝∠ CEF . 又∵∠ AEC ＝∠ AEF ＋∠ CEF ＝∠ CDE ＋∠ DCE ，∴∠ AEF ＝∠ DCE . ∵∠ EAF ＝∠ CDE ，∠ AEF ＝∠ DCE ，∴△ AEF ∽△ DCE .
（3）若△ EFC 为等腰三角形，且 EF ＝ FC ，求点 E 的坐标.