2025年高考数学一轮复习-4.4.2-导数的函数零点问题【课件】

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【命题分析】函数零点问题在高考中占有很重要的地位,主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查基本初等函数、三次函数与复合函数的零点问题,以及函数零点与其他知识的交汇问题,一般作为解答题的压轴题出现.
解题技法利用导数确定函数零点或方程的根的个数的方法(1)构造函数:构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.(2)应用定理:利用零点存在定理,先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.
对点训练(2023·郑州质检)已知函数f(x)=ex-ax+2a,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;【解析】(1)f(x)=ex-ax+2a,定义域为R,且f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0,则f(x)在R上单调递增;当a>0时,令f'(x)=0,则x=ln a,当x0,f(x)单调递增.综上所述,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
(2023·郑州质检)已知函数f(x)=ex-ax+2a,a∈R.(2)求函数f(x)的零点个数.
【加练备选】　　 已知函数f(x)=xex+ex.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=(x+2)ex,令f'(x)=0得x=-2,则f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
　　 已知函数f(x)=xex+ex.(2)讨论函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数.
考点二利用函数零点问题求参数范围[例2]已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;【解析】(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.当x0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
[例2]已知函数f(x)=ex-a(x+2). (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
【解析】(2)f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意;当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)0,解得x>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
　　 (一题多法)(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2). (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
考点三与函数零点相关的综合问题[例3](2024·锦州模拟)设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;
解题技法1.证明与零点有关的不等式,函数的零点本身就是一个条件,即零点对应的函数值为0;2.证明的思路一般对条件等价转化,构造合适的新函数,利用导数知识探讨该函数的性质(如单调性、极值情况等),再结合函数图象来解决.
　已知函数f(x)=ln x-x+2sin x,f'(x)为f(x)的导函数.(2)求证:f(x)有且仅有两个不同的零点.