2025年高考数学一轮复习-9.5-离散型随机变量及其分布列、数字特征【课件】

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1. 袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球 且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量 X ，则 X 的可能取值为（　　）
解析：　因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次 就取到了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才 取到白球.所以取球次数可以是1，2，3，…，7.
3. 设随机变量 X 的概率分布如表所示，且 E （ X ）＝2.5，则 a － b ＝ （　　）
1. 若 Y ＝ aX ＋ b ，其中 a ， b 是常数， X 是随机变量，则
（1） E （ k ）＝ k ， D （ k ）＝0，其中 k 为常数；
（2） E （ aX ＋ b ）＝ aE （ X ）＋ b ， D （ aX ＋ b ）＝ a 2 D （ X ）；
（3） E （ X 1＋ X 2）＝ E （ X 1）＋ E （ X 2）；
（4） D （ X ）＝ E （ X 2）－（ E （ X ））2；
（5）若 X 1， X 2相互独立，则 E （ X 1· X 2）＝ E （ X 1）· E （ X 2）.
2. 若随机变量 X 服从两点分布，则 E （ X ）＝ p ， D （ X ）＝ p （1－p ）.
1. 已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且 E （η）＝34，若ξ的分布列 如下表，则 m ＝（　　）
2. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球 命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分 X 的均值为 ⁠.
解析：由结论2易得 E （ X ）＝0.8.
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2. （2024·云南一中检测）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示， 则下列各式正确的是（　　）
3. 已知随机变量 X 的分布列为
其中 a ， b ， c 成等差数列，则 P （｜ X ｜＝1）＝ ，公差 d 的 取值范围是 ⁠.
练后悟通离散型随机变量分布列性质的应用（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内 各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
离散型随机变量的均值与方差
考向1　均值与方差的性质【例1】　（多选）设离散型随机变量 X 的分布列为
若离散型随机变量 Y 满足 Y ＝2 X ＋1，则下列结果正确的有（　　）
解析：　因为 q ＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以 q ＝0.1，故A正 确；由已知可得 E （ X ）＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝ 2， D （ X ）＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3 －2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为 Y ＝2 X ＋ 1，所以 E （ Y ）＝2 E （ X ）＋1＝5， D （ Y ）＝4 D （ X ）＝7.2，故 D正确.
解题技法与均值、方差的性质有关问题的解题思路　　若给出的随机变量 Y 与 X 的关系为 Y ＝ aX ＋ b ， a ， b 为常数，一 般思路是先求出 E （ X ）， D （ X ），再利用公式 E （ aX ＋ b ）＝ aE （ X ）＋ b ， D （ aX ＋ b ）＝ a 2 D （ X ）求 E （ Y ）， D （ Y ）；也可 以利用 X 的分布列得到 Y 的分布列，关键是由 X 的取值计算 Y 的取 值，对应的概率相等，再由定义法求得 E （ Y ）或 D （ Y ）.
考向2　离散型随机变量的均值与方差【例2】　在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（编号为1至5号）登台 演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众必须彼此独 立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1 号，不选2号，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，可以在1至5号 中随机选3名歌手.
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）设 X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布 列和期望.
解题技法求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤（1）理解 X 的意义，写出 X 可能的全部值；（2）求 X 取每个值的概率；（3）写出 X 的分布列；（4）由均值、方差的定义求 E （ X ）， D （ X ）.
1. 已知ξ的分布列如表所示：
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布 列与均值 E （ξ），方差 D （ξ）.
均值与方差在决策中的应用
【例3】　（2021·新高考Ⅰ卷18题）某学校组织“一带一路”知识竞 赛，有 A ， B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类 并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回 答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与 否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得 0分； B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答 A 类问题的概率为0.8，能正确回答 B 类问题的概 率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分 布列；
解：由题意得， X 的所有可能取值为0，20，100， P （ X ＝0）＝1－0.8＝0.2， P （ X ＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32， P （ X ＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以 X 的分布列为
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说 明理由.
解：当小明先回答 A 类问题时，由（1）可得 E （ X ）＝0×0.2＋ 20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答 B 类问题时，记 Y 为小明的累计得分，则 Y 的所有可能取值为0，80，100， P （ Y ＝0）＝1－0.6＝0.4， P （ Y ＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12， P （ Y ＝100）＝0.6×0.8＝0.48，
E （ Y ）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6＞54.4，即 E （ Y ）＞ E （ X ），所以为使累计得分的 期望最大，小明应选择先回答 B 类问题.
解题技法利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键（1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各 种概率模型的差异性，不能混淆；（2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参 数；
（3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字 特征；（4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优 方案，做出决策.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并 说明理由.
解：若按“项目一”投资，设获利为 X 1万元，则 X 1的所有可能取 值为300，－150，分布列为
2. 近年来，全国旅游业蓬勃发展.某景区有一个自愿消费的项目：在参 观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后， 在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带 走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来 统一销毁.该项目运营一段时间后，统计出平均只有30％游客会选择 带走照片.为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关 系做了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统 计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能 性平均增加0.05.假设平均每天约有5 000人参观该特色景点，每张照 片的综合成本为5元，假设每位游客是否购买照片相互独立.
（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比 调整前多还是少？
解：当收费为20元时，每张照片被带走的概率为0.3，不 被带走的概率为0.7，设此时每张照片的利润为 Y 1元，则 Y 1的 分布列为
E （ Y 1）＝15×0.3－5×0.7＝1，则每天的平均利润为5 000元.当收费为10元时，每张照片被带走的概率为0.3＋0.05×10＝ 0.8，不被带走的概率为0.2，设每张照片的利润为 Y 2元，则 Y 2 的分布列为
E （ Y 2）＝5×0.8－5×0.2＝3，则每天的平均利润为5 000×3＝15 000（元）.调整价格后，该项目每天的平均利润比调整前多10 000元.
（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
解：设在20元/张基础上降价 x 元，则0≤ x ＜15，照片被带走 的可能性为0.3＋0.05 x ，不被带走的可能性为0.7－0.05 x .设每张照片的利润为 Y 元，则 Y 的分布列为
E （ Y ）＝（15－ x ）（0.3＋0.05 x ）－5（0.7－0.05 x ）＝ 0.05[69－（ x －7）2]，当 x ＝7时， E （ Y ）有最大值3.45，故当定价为13元时，日平均利润取最大值，为5 000×3.45＝17 250（元）.
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1. 设随机变量ξ的分布列如下表，则 P （｜ξ－3｜＝1）＝（　　）
2. （2024·宁波模拟）随机变量 X 的分布列为
若 E （ X ）＝1.1，则 D （ X ）＝（　　）
4. （2024·合肥模拟）小林从 A 地出发去往 B 地，1小时内到达的概率 为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现 规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分 钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为 X 元，则 E （ X ）＝（　　）
解析：　依题意可得 X 的所有可能取值为200，180，160. P （ X ＝ 200）＝0.4， P （ X ＝180）＝0.3， P （ X ＝160）＝0.3， X 的分布 列如下，
则 E （ X ）＝200×0.4＋（180＋160）×0.3＝182，故选B.
5. （多选）已知随机变量 X ， Y 的分布列如下 ，则（　　）
解析：　 E （ X ）＝1×0.6＋2×0.4＝1.4， E （ Y ）＝1×0.5－ 2×0.5＝－0.5， D （ X ）＝（1－1.4）2×0.6＋（2－1.4）2×0.4＝ 0.24， D （ Y ）＝（1＋0.5）2×0.5＋（－2＋0.5）2×0.5＝2.25，所 以 D （ Y ）≠9 D （ X ）， E （1－ X ）＝－ E （ X ）＋1＝－0.4， D （1－ Y ）＝（－1）2 D （ Y ）＝2.25， E （ X ＋ Y ）＝ E （ X ）＋ E （ Y ）＝0.9，故选C、D.
7. 若离散型随机变量 X 服从两点分布，且 P （ X ＝1）＝ p ，4－5 P （ X ＝0）＝ p ，则 p ＝ ⁠.
8. （2022·全国甲卷19题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设 三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目 比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获 胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
解：设甲学校获得冠军的事件为 A ，则甲学校必须获胜 2场或者3场. P （ A ）＝0.5×0.4×0.8＋（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－ 0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.6.故甲学校获得冠军的概率为0.6.
（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望.
解：X 的取值可以为0，10，20，30. P （ X ＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P （ X ＝10）＝（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋ 0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44， P （ X ＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）×（1 －0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34， P （ X ＝30）＝（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06.
所以 E （ X ）＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
9. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中 随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则 E （ξ）＝ （　　）
10. 已知随机变量 X 的分布列为
12. （2022·北京高考18题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学 参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上（含9.50 m）的同学将获 得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、 丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30， 9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
解：设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件 A . 因为比赛成绩达到9.50 m以上（含9.50 m）的同学将获得优 秀奖，甲以往的10次比赛成绩中达到9.50 m以上（含9.50 m）的有9.80 m，9.70 m，9.55 m，9.54 m，共4次，所以甲 在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率 P （ A ）＝0.4.
（2）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人 数，估计 X 的数学期望 E （ X ）；
解：X 的所有可能取值为0，1，2，3.由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率 P （ A ） ＝0.4.设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件 B ， C ，则 P （ B ）＝0.5， P （ C ）＝0.5. P （ X ＝0）＝（1－0.4）×（1－0.5）×（1－0.5）＝0.15，
P （ X ＝1）＝0.4×（1－0.5）×（1－0.5）＋（1－0.4）×0.5×（1 －0.5）＋（1－0.4）×（1－0.5）×0.5＝0.4，P （ X ＝2）＝0.4×0.5×（1－0.5）＋0.4×（1－0.5）×0.5＋（1－ 0.4）×0.5×0.5＝0.35， P （ X ＝3）＝0.4×0.5×0.5＝0.1，所以 E （ X ）＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4.
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计 值最大？（结论不要求证明）
解：在校运动会铅球比赛中，按以往比赛成绩的平均数、方 差来看，甲获得冠军的概率估计值最大；按以往比赛的最好 成绩来看，丙获得冠军的概率估计值最大.
13. （多选）已知随机变量 X 的取值为不大于 n （ n ∈N*）的非负整 数，它的概率分布列为
其中 pi （ i ＝0，1，2，3，…， n ）满足 pi ∈[0，1]，且 p 0＋ p 1＋ p 2＋…＋ pn ＝1.定义由 X 生成的函数 f （ x ）＝ p 0＋ p 1 x ＋ p 2 x 2＋ p 3 x 3＋…＋ pixi ＋…＋ pnxn ， g （ x ）为函数 f （ x ）的导函数， E （ X ）为随机变量 X 的期望.现有一枚质地均匀的正四面体形骰子，四个面分别标有1，2，3，4四个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为 X ，此时由 X 生成的函数为 f 1（ x ），则（　　）
解析：　因为 f （ x ）＝ p 0＋ p 1 x ＋ p 2 x 2＋ p 3 x 3＋…＋ pixi ＋… ＋ pnxn ，则 g （ x ）＝f'（ x ）＝ p 1＋2 p 2 x 1＋3 p 3 x 2＋…＋ ipixi －1 ＋…＋ npnxn －1， E （ X ）＝ p 1＋2 p 2＋3 p 3＋…＋ ipi ＋…＋ npn ， 当 x ＝1时， E （ X ）＝ p 1＋2 p 2＋3 p 3＋…＋ ipi ＋…＋ npn ＝ g （1），故选项A错误，选项C正确；连续抛掷两次骰子，向下点 数之和为 X ，则 X 的分布列为
14. 根据社会人口学研究发现，若一个家庭有 X 个孩子，则 X 的概率分 布列如下表所示（取一个家庭有4个及以上孩子的概率为0）.
其中0＜α＜ p ＜1.为了调控未来人口结构，需要对参数 p 进行宏观 调控，研究表明 p 的值受到各种因素的影响（例如生育保险的增 加，教育、医疗福利的增加等）.
（1）若希望 P （ X ＝2）增大，如何调控 p 的值？