2025年高考数学一轮复习-拓展拔高6-双变量问题【课件】

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【高考考情】近几年,在高考试题中常涉及“双变量”或“双参”问题,试题常常出现在“压轴题”的位置.这类试题不仅形式多样,而且联系的知识面较广,构造思维要求较高,因此具有很好的区分度.【解题关键】一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量满足的关系式,并把含双变量问题转化为含单变量的问题;二是巧妙构造函数,并借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.
思维升华当出现双变量时,若能将双变量中所有变量统一用一个变量来替换,这样就将双变量问题转化为我们熟知的单变量问题,从而为我们的解题带来方便.
视角三　分离构造法微切口1:若两个变量能分离[例3]已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1,若a<-1,对∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.【切入点】由|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|想到利用单调性去掉绝对值符号,分离两个变量,得到f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,根据特征构造函数g(x)=f(x)+4x,再利用导数求解.
微切口2:若两个变量不能分离[例4]已知函数f(x)=ln x,(1)求函数g(x)=(x2+1)f(x)-2x+2(x≥1)的最小值;
思维升华对于双变量问题,若两个变量地位均等,相互独立,能分离,则分离构造一元函数;如不能分离,则合二为一,构造一元函数.
思维升华当问题中含有变量较多且变量之间互不影响时,可以选择一个量作为主元,并以此为线索解决问题,这样的方法叫做主元法.对于含有参数的函数不等式证明,巧妙设置主元,将参数消掉,进而转化为单变量问题来处理,可以使问题化繁为简.
思维升华将不等式转化为两个函数的不等关系,辅助以几何关系,如常见的ex≥x+1,ln x≤x-1等,直观分析曲线间的位置关系,再利用切线解决问题.