北师版高中数学必修第一册2.2对函数的进一步认识2.2.2（二）~2.3（课件）

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第二章　§2　对函数的进一步认识2.2　函数的表示法(二)2.3　映　射1.会用解析法及图像法表示分段函数；2.给出分段函数，能研究有关性质；3.了解映射的概念.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　分段函数思考　设集合A＝R，B＝[0，＋∞).对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x；若x<0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对应算不算函数？答案　算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应.(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 .(3)作分段函数图像时，应在同一坐标系内分别作出每一段的图像.答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实对应关系并集空集知识点二　映射思考　设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？答案　因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”.映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有 的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.函数一定是映射，映射不一定是函数.答案返回唯一解析答案反思与感悟题型探究 　　　　重点难点 个个击破类型一　分段函数模型例1　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图像.解　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，解析答案反思与感悟反思与感悟图像如图所示.当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图像也需要分段画.解析答案跟踪训练1　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像.解　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20].函数图像如图所示：解析答案类型二　研究分段函数的性质例2　已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.(1)求f(x)的值域；(2)解不等式：f(x)>0；(3)若直线y＝a与f(x)的图像无交点，求实数a的取值范围.反思与感悟解　若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；若－10，f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；若x>3，则x－3>0，x＋1>0，f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.(1)－10的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1).(3)f(x)的图像如右：由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图像无交点.反思与感悟研究分段函数，要牢牢抓住两个要点：(1)分段研究.(2)合并表达.因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体.解析答案(1)画出f(x)的图像；解　利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示.(3)求f(x)的值域.解　由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1.所以f(x)的值域为[0,1].解析答案类型三　映射的概念例3　以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；解　按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.解析答案(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；解　按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；解　由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.解析答案(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.解　新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射.反思与感悟　映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.反思与感悟解析答案返回跟踪训练3　设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是(　　)A.f：x→y＝x2 B.f：x→y＝3x－2C.f：x→y＝－x＋4 D.f：x→y＝4－x2解析　对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.D123达标检测41.如图中所示的对应：其中构成映射的个数为(　　)A.3 B.4 C.5 D.65答案A2.f(x)的图像如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是(　　)12345B答案3.函数y＝|x＋1|的图像是(　　)12345A答案12345答案C12345答案B返回1.对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.2.函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的数集”，其值域也是数集.于是，函数是数集到数集的映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.本课结束