初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定多媒体教学ppt课件

这是一份初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定多媒体教学ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了课前预习，互相垂直，互相垂直平分，典例讲练，AB＝CD，－2t等内容，欢迎下载使用。
数学 九年级上册 BS版
菱形的判定.（1）定义法：有一组 相等的平行四边形是菱形.（2）判定定理：①对角线 的平行四边形是菱形；②四条边 的四边形是菱形.（3）其他：对角线 的四边形是菱形.
已知四边形 ABC D为平行四边形，有下列条件：① AC ⊥ B D； ②∠ BA D＝90°；③ AB ＝ BC ；④ AC ＝ B D. 其中能使▱ ABC D 为菱形的有 （填序号）.【思路导航】根据菱形的判定定理对各个条件进行逐一判断 即可.
【解析】根据菱形的判定定理和定义：对角线互相垂直的平行 四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知① ③符合，②④不符合.故答案为①③.
【点拨】菱形的判定方法有多种：①一组邻边相等的平行四边 形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相 等的四边形是菱形；④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 菱形是特殊的平行四边形，判定四边形是菱形时，常在平行四 边形的基础上加上菱形独有的条件.
1. 下列说法中，正确的是（　B　）
2. 如图，在四边形 ABC D中，已知点E，F分别是线段 A D， BC 的中点，点G，H分别是线段 B D， AC 的中点.当四边形 ABC D的 边满足 时，则四边形EGFH是菱形.
如图，在▱ ABC D中， BC ＝2 AB ， AB ⊥ AC ，分别在边 BC ， A D上的点E与点F关于 AC 对称，连接EF， A E， C F，DE.
（1）试判断四边形 A E C F的形状，并说明理由；
（2）求证： A E⊥DE. 【思路导航】（1）由对角线互相垂直平分可得到四边形 A E C F 的形状；（2）先求得∠ A E C 的度数，进而可求得∠ C ED的度 数，即可得到∠ A ED的度数.
（1）解：四边形 AECF 为菱形.理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥ BC ，
∴∠ CAF ＝∠ ACE .
如图，设 AC 与 EF 相交于点 O .
∵点 E 与点 F 关于 AC 对称，
∴ OE ＝ OF 且 EF ⊥ AC .
∴△ AOF ≌△ COE （ AA S）.
∴ OA ＝ OC .
又∵ OE ＝ OF ， EF ⊥ AC ，
∴四边形 AECF 为菱形.
（2）证明：∵ BC ＝2 AB ， AB ⊥ AC ，∴∠ ACB ＝30°.∴∠ B ＝60°.∵四边形 AECF 为菱形，∴ AE ＝ CE . ∴∠ EAC ＝∠ ACB ＝30°.∴∠ BAE ＝60°＝∠ B . ∴ AE ＝ BE ＝ AB ，∠ AEB ＝60°.∴∠ AEC ＝120°.
【点拨】菱形的判定方法可以从边和对角线两个方面去探寻， 若已知对角线互相垂直，则可以考虑证明四边形是平行四边 形，解决问题的关键是要熟悉菱形的各种判定方法.
1. 如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°，∠ A ＝30°， BC ＝ 6，点D为斜边 AB 上一点，以 C D， CB 为边作▱ C DE B . 当 A D ＝ 时，则▱ C DE B 为菱形.
2. （2023·张家界）如图，已知点 A ，D， C ， B 在同一条直线 上，且 A D＝ BC ， A E＝ B F， C E＝DF. （1）求证： A E∥ B F；
（2）若DF＝F C ，求证：四边形DE C F是菱形.
证明：（2）由（1）知，△ AEC ≌△ BFD ，∴∠ ECA ＝∠ FDB . ∴ CE ∥ DF . 又∵ CE ＝ DF ，∴四边形 DECF 是平行四边形.又∵ DF ＝ FC ，∴▱ DECF 是菱形.
已知△ ABC 是等边三角形，点D是射线 BC 上的一个动点（点D 不与点 B ， C 重合），△ A DE是以 A D为边的等边三角形，过点 E作 BC 的平行线，分别交射线 AB ， AC 于点F，G，连接 B E.
（1）如图1，当点D在线段 BC 上时，求证：△ A E B ≌△ A D C .
（2）如图2，当点D在 BC 的延长线上时，探究四边形 BC GE是 怎样特殊的四边形，并说明理由.
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形 BC GE是菱形？并说明理由.
【思路导航】（1）根据△ ABC ，△ A DE都为等边三角形寻找 等量关系，利用“SAS”证明全等即可；（2）利用（1）中的 方法得到△ A E B ≌△ A D C ，再判断出∠DEG＝∠ B DE，进而 求出∠ B EG的度数，即可得出结论；（3）由菱形的性质得出 B E＝ BC ，进而得出 BC ＝ C D，即可得出结论.
（1）证明：∵△ ABC 是等边三角形，∴ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝60°.∵△ ADE 是等边三角形，∴ AE ＝ AD ，∠ DAE ＝60°.∴∠ BAC ＝∠ DAE . ∴∠ BAC －∠ BAD ＝∠ DAE －∠ BAD ，即∠ DAC ＝∠ EAB . ∴△ AEB ≌△ ADC （S A S）.
（2）解：四边形 BCGE 是平行四边形.理由如下：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ACB ＝60°.∴∠ BCG ＝180°－∠ ACB ＝120°.∵△ ADE 是等边三角形，∴∠ AED ＝∠ ADE ＝60°.∵ FG ∥ BC ，∴∠ EGC ＝∠ ACB ＝60°，∠ DEG ＝∠ BDE . 同（1）的方法，得△ AEB ≌△ ADC （S A S），
∴∠ AEB ＝∠ ADC . ∴∠ AEB ＋∠ DEG ＝∠ ADC ＋∠ BDE ＝∠ ADE ＝60°.∴∠ BEG ＝∠ AEB ＋∠ DEG ＋∠ AED ＝60°＋60°＝120°.∴∠ BEG ＋∠ EGC ＝180°.∴ BE ∥ CG . 又∵ FG ∥ BC ，∴四边形 BCGE 是平行四边形.
（3）解：当 CD ＝ BC 时，四边形 BCGE 是菱形.理由如下：由（2）知，四边形 BCGE 是平行四边形，△ AEB ≌△ ADC （S A S），∴ BE ＝ CD . 又∵ CD ＝ BC ，∴ BE ＝ BC . ∴▱ BCGE 是菱形.
【点拨】动态过程的探究问题，只需抓住变化过程中的不变 量，如图形的形状、点的运动轨迹等.在本题中只需抓住共顶点 的三角形旋转前后全等，即变化中永远相等的量.
如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝20，∠ A ＝60°.点 P 从 点 B 出发沿 BA 方向以每秒2个单位长度的速度向点 A 匀速运动， 同时点Q从点 A 出发沿 AC 方向以每秒1个单位长度的速度向点 C 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运 动.设点 P ，Q运动的时间是t s .过点 P 作 PM ⊥ BC 于点 M ，连接 P Q，Q M . （1）请用含有t的式子填空： A Q＝ ， AP ＝ ， PM ＝ ⁠；
（2）是否存在某一时刻使四边形 A Q MP 为菱形？如果存在， 求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由.