2024年浙江省杭州市西湖区+中考二模数学试卷+

这是一份2024年浙江省杭州市西湖区+中考二模数学试卷+，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列数中，属于负数的是（ ）
A．2024B．﹣2024C．12024D．1
2．如图所示的四个几何体中，俯视图不是矩形的是（ ）
A．圆锥B．圆柱
C．长方体D．三棱柱
3．2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到4015.1亿元。数据4015.1亿用科学记数法可以表示为（ ）
A．40.151×1012B．4.0151×1012
C．4.0151×1011D．0.40151×1013
4．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会.如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为（ ）
A．90°B．72°C．54°D．20°
5．如图，在△ABC中，AB＝30，∠A＝37°，∠C＝33°，则点A到直线BC的距离为（ ）
A．30sin70°B．30cs70°C．30tan70°D．30sin70°
6．实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ）
A．2aB．1aC．a-1D．a+1
7．利用尺规作图，过直线AB外一点P作已知直线AB的平行线．下列作法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8．为抬高水平放置的长方体木箱ABCD的一侧（其中AB=23m），在下方垫入扇形木块，其中木块的横截面是圆心角为60°的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置，AO=2m，则此时木箱B点距离地面高度为（ ）
A．πmB．2mC．433mD．3m
9．在平面直角坐标系中有A（a,b）与B（b,a）两点(a、b≠0)，关于过A、B两点的直线l与二次函数y=ax2+bx+1图象的交点个数判定，哪项为真命题（ ）
A．只有b>0，才一定有两交点B．只有b<0，才一定有两交点
C．只有a<0，才一定有两交点D．只有a>0，才一定有两交点
10．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，CD=10且tanB=3，将其沿着直线EF折叠使得点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，且满足AE:DE=2:1.问：ΔCEF与平行四边形ABCD的面积比为（ ）
A．411B．512C．23D．10
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．化简：3a﹣a＝ ．
12．在一个不透明的袋子里装有4个白球和2个黄球，每个球除颜色外均相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率为 ．
13．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为 ．
14．如图，以正六边形ABCDEF的边CD为边向内作等边△CDG，连结EC，则∠GCE＝ °．
15．如图，在RtΔABC中，∠A=90°，AB=6，AC=3，D为边AB上一点，且AD=2BD，过点D作DE⊥DC，交BC于点F，连结CE，若∠DCE=∠B，则EFDF的值为 .
16．借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数y1=x+1与y2=4x+1性质的基础上，进一步探究函数y=y1+y2的性质，以下结论：①当x＞-1时，y存在最小值；②当x＜-3时，y随x的增大而增大；③当y≥5时，自变量的取值范围是x≥3；④若点(a,b)在y的图象上，则点(-a-2,-b)也必定在y的图象上.其中正确结论的序号有 .
三、解答题（本题共有8小题，共72分）
17．解不等式：5x﹣3＜3（1+x）．小州同学在数学课上给了如下的解题过程，他做对了吗？若不对，请你帮助他写出正确的解题过程。
18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC中点，分别过点A，D作BC，BA的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连结CE．AD.
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若tan∠B=43，AB=3，求四边形ADCE的面积．
19．已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝-1和x＝5时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴；
（2）若二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，求b的值．
20．某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为100分，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）求乙得分的方差；
（3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．
21．始建于唐中和四年的湖州“飞英塔”，至今已有千年的历史，曾有“舍利石塔”之称．某校九年级数学实践活动小组计划采用无人机辅助的方法测量铁塔AB的高度，小组方案如下：无人机在距地面120米的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为37°，到点D处测得塔尖A的俯角为45°，测得飞行距离CD为140米．
请根据测得的数据，求出铁塔AB的高度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73）
22．概念阐述：
在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积为S.
（1）定量研究：
填表：观察图①~④，当我们规定多边形内的格点数a为4时，统计各多边形边界上的格点数为b和格点多边形的面积为S.
①②③④
（2）描点：建立直角坐标系，将表格中所得数据画在坐标系中，判断S关于b的函数类型，并求出表达式.
（3）结论应用：
结合你所得到的结论，探索是否存在面积最小的多边形，满足多边形内的格点数a=4，若存在，请画出图形；若不存在，请说明理由.
23．问题：如何设计击球路线？
情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，击球点P在y轴上.
击球方案：
探究：
（1）求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式；
（2）①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少；
②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离；
（3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网4m处，他可前后移动各1m，接球的高度为2.8m，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围.
24．如图，在Rt△ABC中，AB=4，AC=6，以C为圆心，22为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M.
（1）当∠PDQ=50°时，求劣弧PQ的度数；
（2）当CE=CF时，求AD的长；
（3）连结CM，BM.
①证明：ME⋅CA=CM⋅AD.
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
浙江省杭州市西湖区2024年中考二模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列数中，属于负数的是（ ）
A．2024B．﹣2024C．12024D．1
【答案】B
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：2024和1均为正整数，12024是正分数，以上均为正数，不符合题意，
﹣2024 为负整数，符合题意，
故答案为：B.
【分析】由数的认识与分类对数逐一判断找出符合题意的负数即可.
2．如图所示的四个几何体中，俯视图不是矩形的是（ ）
A．圆锥B．圆柱
C．长方体D．三棱柱
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：（圆锥）的俯视图为圆，不符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据俯视图的定义和观察角度进行观察判断即可.
3．2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到4015.1亿元。数据4015.1亿用科学记数法可以表示为（ ）
A．40.151×1012B．4.0151×1012
C．4.0151×1011D．0.40151×1013
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 4015.1亿 =401510000000=4.0151×1011.
故答案为：C.
【分析】按照科学记数法的形式进行表示，其中对单位亿进行化简，即亿为9位数，可快速判断原数为几位数进行表示.
4．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会.如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为（ ）
A．90°B．72°C．54°D．20°
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于0.2，
以频率估计概率，即P优胜奖=0.2，
∴优胜奖区域的圆心角∠AOB=0.2×360°=72°，
故答案为：B.
【分析】根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可.
5．如图，在△ABC中，AB＝30，∠A＝37°，∠C＝33°，则点A到直线BC的距离为（ ）
A．30sin70°B．30cs70°C．30tan70°D．30sin70°
【答案】A
【知识点】解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：依题意，过点A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，
∵∠BAC=37°，∠C=33°，
∴∠ABD=∠BAC+∠C=70°，
在Rt△ADB中，
sin∠ABD=ADAB，
∴AD=AB×sin∠ABD=30sin70°.
故答案为：A.
【分析】根据题意为求点A到直线BC的距离，即求△ABC中BC边上的高，构造直角三角形，利用已知信息结合三角函数值解之即可.
6．实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ）
A．2aB．1aC．a-1D．a+1
【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，-1对于A，-2<2a<0，此时2a为负数，不符合题意；
对于B，1a<-1，此时1a为负数，不符合题意；
对于C，-2对于D，0故答案为：D.
【分析】根据数轴及不等式的性质逐一分析判断得出对应选项的范围即可.
7．利用尺规作图，过直线AB外一点P作已知直线AB的平行线．下列作法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：对于A，根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，符合题意；
对于B，此时作∠PAB的角平分线及作等腰PQ=PA，故∠PAQ=∠BAQ=∠PQA，即内错角相等，两直线平行，符合题意；
对于C，以P为圆心PA为半径，交AB于点C、交AP延长线于点D，此时AP=PC=PD，再分别以C和D为圆心作出∠DPC角平分线，
故∠DPC=∠DPQ+∠CPQ=∠PAC+∠PCA，易得∠PAB=∠DPQ，即同位角相等，两直线平行，符合题意；
对于D，以C为圆心，CP为半径作弧交AB于点D，即有CD=CP，再分别以D和P为圆心作出线段DP的垂直平分线交弧于点G，易得PQ=DQ，但无法证明此时PQ=CP，即无法得证菱形，故无法证明平行，不符合题意
故答案为：D.
【分析】由作图痕迹结合平行线的判定分析，痕迹为作等角判断A，痕迹为等腰与角平分线角度转换判断B，同理进行角度转换判断C，利用圆的对称性及垂直平分线的性质检验D.
8．为抬高水平放置的长方体木箱ABCD的一侧（其中AB=23m），在下方垫入扇形木块，其中木块的横截面是圆心角为60°的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置，AO=2m，则此时木箱B点距离地面高度为（ ）
A．πmB．2mC．433mD．3m
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥ON，
∵∠BOC=60°，
∴∠OBE=180°-∠BOC-∠BEO=30°，
设OE=x，则OB=2x，
在Rt△BEO中，BE2=OB2-OE2=3x2，即BE=3x
在Rt△AEB中，有AE2+BE2=AB2，即(2+x)2+3x2=232，
解得x=1(负值舍去)，
∴BE=3x=3
故答案为：D.
【分析】由特殊角即目标距离构造直角三角形，利用含30°特殊角中边的比例关系设元表示，利用勾股定理建立等量关系解之即可.
9．在平面直角坐标系中有A（a,b）与B（b,a）两点(a、b≠0)，关于过A、B两点的直线l与二次函数y=ax2+bx+1图象的交点个数判定，哪项为真命题（ ）
A．只有b>0，才一定有两交点B．只有b<0，才一定有两交点
C．只有a<0，才一定有两交点D．只有a>0，才一定有两交点
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：设经过A（a,b）与B（b,a）两点的直线l的解析式为y=k(x-a)+b，
代入B（b,a）得，a=k(b-a)+b，解得k=-1，
∴直线l的解析式为y=-x+a+b，
与二次函数联立则有：-x+a+b=ax2+bx+1，
整理得：ax2+(b+1)x+(1-a-b)=0，
∴∆=b+12-4a(1-a+b)=b2+2(2a+1)b+(2a+1)2-8a=b+2a+12-8a，
∴当且仅当-8a>0时，∆>0，
即a<0时，∆>0，直线l与二次函数有两个交点.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件用ab表示直线l的解析式，将交点个数问题转化为联立方程组后解的个数问题，即判别式正负问题，其中为判断判别式的正负故采用主元配方法进行配凑分析得出结果.
10．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，CD=10且tanB=3，将其沿着直线EF折叠使得点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，且满足AE:DE=2:1.问：ΔCEF与平行四边形ABCD的面积比为（ ）
A．411B．512C．23D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CG⊥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，BC=AD=4，
在Rt△CGD中，
设DG=x，∵tanB=tanD=CGDG=3，
∴DG=3x，
又∵CG2+DG2=CD2，即9x2+x2=102，解得x=1(负值舍去)，
∴DG=1，CG=3，AG=AD-DG=3，
∴Rt△ACG是等腰直角三角形，
∴∠OAE=∠OCB=45°，AC=AG2+CG2=32，
由折叠可知，AA'⊥EF，
∴△AOE和△COF均为等腰直角三角形，
又∵AE：DE=2：1，
∴AE=23AD=83，
cs∠OAE=AOAE，
∴AO=cs∠OAE×AE=22×83=423，
∴OC=AC-AO=523，
同理CF=COcs∠OCF=52322=103，
∴S△CEFS四边形ABCD=12×EF×CGBC×CG=1032×4=512.
故答案为：B.
【分析】由几何构图分析，所有线段组成均为定线段，即所有线段在一定条件下均可求，逐一分析为求出目标线段的比值，需求出CF长，先利用tanB=3构造直角并分析对应边角关系得出特殊直角三角形，利用特殊直角三角形逐一往目标线段靠拢求解即可.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．化简：3a﹣a＝ ．
【答案】2a
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解： 3a﹣a =2a.
故答案为：2a.
【分析】合并同类项即可得出结果.
12．在一个不透明的袋子里装有4个白球和2个黄球，每个球除颜色外均相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率为 ．
【答案】23
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：P摸到白球=44+2=23.
故答案为：23.
【分析】由简单概率计算公式代入即可.
13．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为 ．
【答案】9x-11=y6x+16=y
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
9x-11=y6x+16=y ，
故答案是： 9x-11=y6x+16=y ．
【分析】设人数为x，买鸡的钱数为y，根据“ 每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱”列出方程组即可.
14．如图，以正六边形ABCDEF的边CD为边向内作等边△CDG，连结EC，则∠GCE＝ °．
【答案】30
【知识点】含60°角的菱形；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，构造等边△CDG，连接EC，GE，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠CDE=6-2×180°6=120°，CD=DE，
又∵△CDG为等边三角形，
∴CD=DG=CG=DE，∠CDG=∠DCG=60°，
∴∠EDG=∠CDE-∠CDG=120°-60°=60°，
∴△DEG为等边三角形，
∴GE=DE=CD=CG，
∴四边形CDEG是菱形，
∴∠GCE=∠DCE=12×∠DCG=30°.
故答案为：30.
【分析】根据正六边形特殊角分析得出等边三角形，由特殊角分析得出菱形即分析得出目标角.
15．如图，在RtΔABC中，∠A=90°，AB=6，AC=3，D为边AB上一点，且AD=2BD，过点D作DE⊥DC，交BC于点F，连结CE，若∠DCE=∠B，则EFDF的值为 .
【答案】74
【知识点】解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB，
∵AD=2BD，
∴AD=23AB=4，BD=AB-AD=2，
在Rt△ACD中，
CD=AC2+AD2=5，
∵ ∠DCE=∠B ，
∴tan∠B=tan∠DCE=DECD=ACAB=12，
∴DE=12CD=52，
∵∠A=∠CDF=90°，
∴∠ACD+∠ADC=∠ADC+∠EDG=90°，
∴∠ACD=∠FDG，
∵tan∠ACD=tan∠FDG，即ADAC=FGDG=43，
设DG=3t，则FG=4t，
在Rt△DGF中，DF=DG2+FG2=5a，
同理，tan∠B=FGBG=ACAB=12，
∴BG=2FG=8t，
∴BD=DG+BG=11t=2，解得t=211.
∴DF=5t=1011，
∴EF=DE-DF=52-1011=3522，
∴EFDF=35221011=74.
故答案为：74.
【分析】由已知定三角形读题标量得出线段，先利用勾股定理得出CD，进而结合 ∠DCE=∠B 得出DE的长，故将目标线段的比值转化为求DF长即可，分析可知在△BDF中，∠B和∠BDF均为定角，BD为定长，故构造直角三角形解之即可.
16．借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数y1=x+1与y2=4x+1性质的基础上，进一步探究函数y=y1+y2的性质，以下结论：①当x＞-1时，y存在最小值；②当x＜-3时，y随x的增大而增大；③当y≥5时，自变量的取值范围是x≥3；④若点(a,b)在y的图象上，则点(-a-2,-b)也必定在y的图象上.其中正确结论的序号有 .
【答案】①②④
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=y1+y2=x+1+4x+1，
随着描点的数量不断增加，其草图如下，
不妨令x+1=t，
当x>-1时，即t>0时，y=x+1+4x+1=t+4t=t-2t2+4≥4，
当且仅当t-2t=0，ymax=4，即t=2，x=1，故①正确，符合题意；
同理，结合图象分析可知，当x=-3时，y=-4，即在x<-1时，y存在最大值-4，此时结合草图分析 当x＜-3时，y随x的增大而增大，故②正确，符合题意；
由草图可知，当y>5时，-12，故③错误，不符合题意；
由描点可知，其图形关于(-1，0)对称，即当x=a时，y=b，b=a+1+4a+1，
则有x=-a-2，y=-b，-a-2+1+4-a-2+1=-a-1+4-a-1=-b.
故④正确，符合题意.
故答案为：①②④.
【分析】根据题意描点画出函数大致草图，连线过程需注意图象走势并结合完全平方公式得出其最值，最后根据图象和取点算法大致分析其性质作进一步判断.
三、解答题（本题共有8小题，共72分）
17．解不等式：5x﹣3＜3（1+x）．小州同学在数学课上给了如下的解题过程，他做对了吗？若不对，请你帮助他写出正确的解题过程。
【答案】解：小州同学的解题过程是错误的．
5x﹣3＜3（1+x），
5x﹣3＜3+3x，
5x﹣3x＜3+3，
2x＜6，
∴x＜3．
【知识点】解一元一次不等式；去括号法则及应用
【解析】【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤及不等式的性质逐步判断计算过程找出错误并修正即可.
18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC中点，分别过点A，D作BC，BA的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连结CE．AD.
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若tan∠B=43，AB=3，求四边形ADCE的面积．
【答案】（1）解：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE∥BD，且AE=BD．
∴AE=CD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
在Rt△ABC中，AD为BC边上的中线，
∴AD=BD=CD．
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：Rt△ABC中，AD为BC边上的中线，tan∠B=43，AB=3，
∴AC=4．
∵四边形ABDE是平行四边形．
∴DE=AB=3
∴S菱形ADCE=12AC×DE=12×4×3=6
【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）结合已知直角三角形斜边中线及平行四边形的判定进而证出菱形；
（2）利用菱形的面积计算公式，由已知Rt△ABC中的三角函数值及一边解形，进而求出菱形ADCE的对角线，即其面积.
19．已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝-1和x＝5时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴；
（2）若二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，求b的值．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b在在x＝-1和x＝5函数值相等，
∴对称轴为直线x＝2．
（2）解：由（1）得，y=x2-4x+b
又因为二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点
所以，Δ=16-4b=0
解得，b=4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）依题意结合二次函数对称性可直接求出其对称轴；
（2）由函数与x轴只有一个交点，进而转化为一元二次方程判别式为0建立等量关系求出b.
20．某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为100分，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）求乙得分的方差；
（3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．
【答案】（1）85；77.5
（2）解：乙得分的方差S乙2＝18×[2×（75﹣75）2+2×（80﹣75）2+2×（70﹣75）2+（85﹣75）2+（65﹣75）2]＝37.5；
（3）解：①从平均数和方差相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的方差小于甲的方差，即乙的成绩比甲的成绩稳定，所以选乙参赛较好；
②从平均数和中位数相结合看，甲、乙的平均数相等，甲的中位数大于乙的中位数，所以选甲参赛较好．
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：对于甲，根据折线统计图可知，其八次模拟测试分数按小到大排列为：60，65，65，75，80，85，85，85.
故重复出现次数最多的分数为众数，即a=85，中位数b=75+802=77.5.
【分析】（1）由众数和中位数的定义，将数据重新按顺序整理得出结果；
（2）根据方差的计算公式及表格给出的平均分，代入计算即可；
（3）先根据平均数判断成绩差异，后根据方差判断成绩稳定性即可.
21．始建于唐中和四年的湖州“飞英塔”，至今已有千年的历史，曾有“舍利石塔”之称．某校九年级数学实践活动小组计划采用无人机辅助的方法测量铁塔AB的高度，小组方案如下：无人机在距地面120米的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为37°，到点D处测得塔尖A的俯角为45°，测得飞行距离CD为140米．
请根据测得的数据，求出铁塔AB的高度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73）
【答案】解：延长BA交CD于点E，
由题意得：BE⊥CD，BE＝120m，
设CE＝xm，
在Rt△ACE中，∠ACE＝37°，
∴AE＝CE•tan37°≈0.75x（m），
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
∴DE＝AEtan45°＝0.75x（m），
∵CE+DE＝CD，
∴x+0.75x＝140，
解得：x=80，
∴AE＝0.75x=60（m），
∴AB＝BE﹣AE＝120﹣60=60（m），
∴铁塔AB的高度约为60m．
【知识点】解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】由已知△ACD的两角及一边，过点A构造直角三角形利用三角函数值计算解形即可.
22．概念阐述：
在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积为S.
（1）定量研究：
填表：观察图①~④，当我们规定多边形内的格点数a为4时，统计各多边形边界上的格点数为b和格点多边形的面积为S.
①②③④
（2）描点：建立直角坐标系，将表格中所得数据画在坐标系中，判断S关于b的函数类型，并求出表达式.
（3）结论应用：
结合你所得到的结论，探索是否存在面积最小的多边形，满足多边形内的格点数a=4，若存在，请画出图形；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）9；6；6.5
（2）解：通过描点发现，S与b符合一次函数.
设S=kb+m(k≠0)，将(6，6)和(7，6.5)代入，解得k=0.5，m=3
所以S=0.5b+3（其中b为大于等于3的整数）
（3）解：存在，如图所示
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）对于图①，平行四边形的面积为：2×3=6；
对于图②，利用割补法将面积从上至下划分为三角形、长方形和梯形，即S=S=3×12+3×1+(1+3)×12=6.5；
对于图③，边界上的格点数为：9.
故答案填：9；6；6.5.
【分析】（1）按边界格点数逐一数数，对于多边形，规则图形则用面积公式、不规则图形则采用割补法求之即可；
（2）观察表格数据可知，b每增加1，其S增加0.5，通过描点呈现规律，符合一次函数关系式，利用待定系数法代入两点求出其函数解析式并检验即可；
（3）根据构造格点多边形a=4的规律，从格点三角形进行尝试，此时按规律则b=3，代入S=4.5，考虑a=4的组合情况进行尝试画出图形即可.
23．问题：如何设计击球路线？
情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，击球点P在y轴上.
击球方案：
探究：
（1）求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式；
（2）①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少；
②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离；
（3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网4m处，他可前后移动各1m，接球的高度为2.8m，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围.
【答案】（1）解：扣球：y=-0.4x+2.8.
吊球：设y=a(x-1)2+3.2
2.8=a+3.2
a=-0.4
y=-0.4(x-1)2+3.2.
（2）解：①当x=3时，y=2.8-1.2=1.6.
②-0.4(x-1)2+3.2=0
x1=1+22，x2=1-22（舍）
落地点到球网的距离：1+22-3=22-2
（3）解：接球点为（6，2.8）时，若最大高度为5.8，a为最小
设y=a1(x-3)2+5.8
a1=-13
接球点为（8，2.8）时，若最大高度为4.8，a为最大
设y=a2(x-4)2+4.8
a2=-18
则a的范围是-13≤a≤-18
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由表格提供的数据代入一次函数中求出扣球满足的一次函数关系式得出点P的坐标，进而结合吊球中提供的顶点数值设二次函数为顶点式并代入点P求出其解析式；
（2）①根据题意代入一次函数求出函数值，即网球高度AB；
②为求落地点所在位置，即求二次函数与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可；
（3）依题意，即接球点的临界坐标为 （6，2.8） 和 （8，2.8） ，结合表格高远球最大高度与a值大小关系设出对应临界值的顶点式，代入接球点的临界坐标解之即可得出范围.
24．如图，在Rt△ABC中，AB=4，AC=6，以C为圆心，22为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M.
（1）当∠PDQ=50°时，求劣弧PQ的度数；
（2）当CE=CF时，求AD的长；
（3）连结CM，BM.
①证明：ME⋅CA=CM⋅AD.
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图，连结CP、CQ.
因为DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，所以∠CPD=∠CQD=90°，
所以∠PDQ=PCQ=180°，当∠PDQ=50°时，∠PCQ=130°，则弧PQ为130°
.
（2）解：连结CD，显然ΔCPD≅ΔCQD，当CE=CF时，显然ΔCPE≅ΔCQF，
则∠CEF=∠CFE，即CD平分∠ECF，过点D作DG垂直BC于点G，则AD=AG，
则SΔABC=12AD⋅AC+12BC⋅DG=12AB⋅AC，解得AD=AG=313-9.
（3）解：①根据ΔCME相似于ΔCAD可得CECD=CMCA，即CM⋅CD=CE⋅CA
②由（2）可得，C、D、M三点共线，且PQ⊥CD，则ΔCPM相似于ΔCDP，可得PC2=CM⋅CD，又由①中CM⋅CD=CE⋅CA，得：PC2=CE⋅CA，即(22)2=6CE，解得CE=43，所以点M在以CE为直径的圆上运动，取CE的中点H，当B、M、H三点共线时，BM最短，此时最小值为6.
【知识点】切线长定理；定角定弦辅助圆模型；射影定理模型（双垂直模型）；圆的对称性
【解析】【分析】（1）由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可；
（2）由切线长连接CD，结合对称性，即若CE=CF，此时点D在已知定△ABC中的∠ACB的角平分线上，可以通过勾股定理算出斜边BC，并利用角平分线的性质作垂结合等积求出AD即可；
（3）①由切线长推出CD经过PQ中点M，此时PQ垂直平分CD，故而得证与目标线段相关的两三角形相似，最后利用相似对应边成比例得证；
②利用①的结论即在Rt△CPD中典型的射影定理进行推理计算，找出动态变化中的不变量，即CE为定值，∠CME为定角，从而得出M的运动轨迹为圆，进而分析出其最值即可.
平均（分）
众数（分）
中位数（分）
方差（分2）
甲
75
a
b
93.75
乙
75
80，75，70
75
S乙2
图
①
②
③
④
b（个）
6
7

11
S（平方单位）


7.5
8.5
扣球
羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系C1：y＝﹣0.4x+b，当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m.
吊球
羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C2，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米.
高远球
羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C3：y=a(x-n)2+h，且飞行的最大高度在4.8m和5.8m之间.
x
...
-5
-3
-2
0
1
3
...
y
...
-5
-4
-5
5
4
5
...
(x，y)
...
(-5，-5)
(-3，-4)
(-2，-5)
(0，5)
(1，4)
(3，5)
...
平均（分）
众数（分）
中位数（分）
方差（分2）
甲
75
a
b
93.75
乙
75
80，75，70
75
S乙2
图
①
②
③
④
b（个）
6
7

11
S（平方单位）


7.5
8.5
扣球
羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系C1：y＝﹣0.4x+b，当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m.
吊球
羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C2，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米.
高远球
羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C3：y=a(x-n)2+h，且飞行的最大高度在4.8m和5.8m之间.