河南省许昌市襄城县2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷

这是一份河南省许昌市襄城县2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．3，4B．4，4C．4，5D．5，5
3．（3分）实施“双减”政策后，为了解我县初中生每天完成家庭作业所花时间及质量情况，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据；③制作并发放调查问卷；④得出结论（ ）
A．①②③④B．①③②④C．③①②④D．②③④①
4．（3分）下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．AB∥CD，AD∥BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠DD．AB＝AD，BC＝CD
5．（3分）某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（ ）
A．25立方米B．30立方米C．32立方米D．35立方米
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，点D，E，BC，CA的中点，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
7．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”，并给出了另外一个证明，下面四幅图中（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，则AE的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
9．（3分）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣2x+b（b是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3
10．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，下列结论中不正确的是（ ）
A．BD＝10
B．AD＝12
C．平行四边形ABCD的周长为44
D．当x＝15时，△APD的面积为20
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x的值 ．
12．（3分）写一个图象经过第一、二、四象限的一次函数表达式 ．
13．（3分）一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ．
14．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，则橡皮筋被拉长了 cm．
15．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，AD的中点，连接AE，点G，H分别是AE，连接GH，则GH的长为 ．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
17．（9分）已知y与x+2成正比例，当x＝2时y＝﹣5．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求x的值．
18．（9分）数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，87，87，93，93
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有多少人？
19．（9分）如图，在▱ABCD中AB＝6，BC＝8
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求BD的长．
20．（9分）如图．正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
（1）求出三角形ABC的周长．
（2）判断三角形形状，并说明理由．
21．（9分）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇（km）与慢车行驶的时间x（h）的函数图象如图所示．
（1）请解释图中点A的实际意义；
（2）求出图中线段AB所表示的函数表达式；
（3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
22．（10分）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验1（%）与时间t（小时）的关系，数据记录如表1．
实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2．
表1
表2
任务一：计算表1中每隔0.5小时电池电量的增加量；
【建立模型】
任务二：请结合表1、表2的数据，选择合适的数学模型，求出y1关于t的函数表达式及y2关于s的函数表达式；
【解决问题】
任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，则至少要在服务区充电多长时间？
23．（10分）如图，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），动点P在线段CB上以每秒4个单位长度的速度由点C向点B运动．设动点P的运动时间为t秒．
（1）点P的坐标为 （用含t的代数式表示）；
（2）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；
（3）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
2023-2024学年河南省许昌市襄城县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得出答案即可．
【解答】解：A．＝2，和，故本选项不符合题意；
B．和不是同类二次根式；
C．＝2，和，故本选项符合题意；
D．＝2，和，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
2．（3分）学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．3，4B．4，4C．4，5D．5，5
【分析】将数据从小到大排列，中间的数为中位数；出现次数最多的数为众数．
【解答】解：将数据从小到大排列为：3，4，2，5，7，
∴中位数是7，众数是5，
故选：D．
【点评】本题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键．
3．（3分）实施“双减”政策后，为了解我县初中生每天完成家庭作业所花时间及质量情况，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据；③制作并发放调查问卷；④得出结论（ ）
A．①②③④B．①③②④C．③①②④D．②③④①
【分析】根据题目提供的问题情境，采取抽样调查的方式进行，于是先确定抽查样本，紧接着统计收集来的数据，对数据进行分析，最后得出结论，提出建议．
【解答】解：在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用统计图描述数据，最后得出结论．
因此合理的排序为：③①②④．
故选：C．
【点评】考查对某一事件进行得出分析的步骤和方法，确定样本，收集数据、表示数据、分析数据，得出结论等几个步骤．
4．（3分）下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．AB∥CD，AD∥BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠DD．AB＝AD，BC＝CD
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A．满足AB∥CD，有可能是等腰梯形，故选项A不符合题意；
B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合题意；
C．由∠A＝∠B，不能判定四边形ABCD是平行四边形；
D．由AB＝AD，不能四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
5．（3分）某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（ ）
A．25立方米B．30立方米C．32立方米D．35立方米
【分析】先确定每天的用水量，根据用水量的和除以用水天数，求出结果即可．
【解答】解：由折线图可知，该小区五天的用水量分别是：30、20、30
＝30（立方米）．
故选：B．
【点评】本题考查了折线图和算术平均数，掌握算术平均数的计算方法是解决本题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，点D，E，BC，CA的中点，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出AD、DE、EF、AF，根据四边形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，CA的中点，
∴DE＝AC＝8.5AC＝2.5AB＝2AB＝2，
∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
7．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”，并给出了另外一个证明，下面四幅图中（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：2+b2，
∴a4+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．
B、梯形的面积为：＝；
也可看作是7个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是5个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a4+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a8+b2+2ab，
∴（a+b）6＝a2+b2+4ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，则AE的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连接EF，AE与BF交于点O，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠7＝∠3，
∴∠2＝∠6，
∴AB＝EB，
同理：AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝，
∴AE＝7OA＝16．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF为菱形是解决问题的关键．
9．（3分）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣2x+b（b是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜1＜3，即可得出y2＜y3＜y1．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（﹣8，y1），B（3，y4），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+b（b是常数）的图象上，且﹣2＜1＜5，
∴y2＜y3＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
10．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，下列结论中不正确的是（ ）
A．BD＝10
B．AD＝12
C．平行四边形ABCD的周长为44
D．当x＝15时，△APD的面积为20
【分析】分别分析当点P位于点B处和点D处的x和y的值的实际含义，即可求出AB、BD、AD，判断出A、B、C的正确性，作BH⊥AD，求出BH，再求出三角形ABD的面积，即可求出当x＝15时的y值．
【解答】解：当点P运动到点B处时，x＝10，故A正确；
当点P运动到点D处时，y＝12，故B正确；
∴平行四边形ABCD的周长为2（10+12）＝44，故C正确；
当x＝15时，点P在BD中点处，
此时y＝S△ADP＝S△ABD，
作BH⊥AD，
∵AB＝BD＝10，
∴AH＝DH＝6，
∴BH＝＝8，
∴S△ABD＝×12×8＝48，
∴y＝×48＝24，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x的值 3（答案不唯一） ．
【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】解：要使若在实数范围内有意义，
则x﹣1≥2，
即x≥1，
则写出一个满足条件的x的值为3．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键．
12．（3分）写一个图象经过第一、二、四象限的一次函数表达式 y＝﹣x+1 ．
【分析】利用设一次函数解析式为y＝kx+b，利用一次函数的性质得到k＜0，b＞0，然后写出一组满足条件的k、b的值即可．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴当k＝﹣4，b＝1时．
故答案为y＝﹣x+1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式y＝kx+b，然后利用一次函数的性质确定满足条件的k、b的值．
13．（3分）一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 4.5 ．
【分析】根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案．
【解答】解：平均数为：，
故方差是：．
故答案为：4.5．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差及平均数的定义．样本方差，其中n是这个样本的容量，是样本的平均数．
14．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝，CD＝8cm；
根据勾股定理，得：AD＝；
∴AD+BD﹣AB＝8AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了6cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
15．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，AD的中点，连接AE，点G，H分别是AE，连接GH，则GH的长为 ．
【分析】连接AH并延长交BC于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠C＝90°，AD∥BC，CD＝BC＝AD＝4，根据全等三角形的性质得到PB＝AF＝2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接AH并延长交BC于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是边CD，
∴CE＝AF＝3＝2，
∵AD∥BC，
∴∠BPH＝∠FAH，
在△PBH和△AFH中，
，
∴△PBH≌△AFH（AAS），
∴PB＝AF＝2，
∴CP＝BC﹣PB＝5，
∴PE＝＝4，
∵点G，H分别是AE，
∴GH＝EP＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式、二次根式的除法运算法则化简，再合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣3
＝8+；
（2）原式＝2+1﹣2+
＝3﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．（9分）已知y与x+2成正比例，当x＝2时y＝﹣5．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求x的值．
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝k（x+2）（k≠0），再把当x＝2时y＝﹣5代入求出k的值即可；
（2）把y＝代入（1）中函数解析式即可．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝k（x+2）（k≠0），
把x＝5，y＝﹣5代入得﹣5＝k（8+2），
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）把代入（1）中一次函数的解析式，得，
解得x＝﹣．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，熟知利用待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解题的关键．
18．（9分）数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，87，87，93，93
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 88 ，b＝ 87 ，m＝ 40 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有多少人？
【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b，用“1”分别减去其它组所占百分比可得m的值；
（2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论；
（3）用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）由题意可知，八年级C组有：10×20%＝2（人），
把被抽取八年级10名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为88，故中位数a＝，
在被抽取的七年级10名学生的数学竞赛成绩中，4（7分）出现的次数最多，
m%＝1﹣20%﹣×100%＝40%；
故答案为：88，87；
（2）八年级学生数学文化知识较好，
理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生数学文化知识较好；
（3）500×+400×40%＝310（人），
答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有310人．
【点评】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键．
19．（9分）如图，在▱ABCD中AB＝6，BC＝8
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求BD的长．
【分析】（1）由在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，利用勾股定理的逆定理，即可证得∠ABC＝90°，即可判定▱ABCD是矩形；
（2）由四边形ABCD是矩形，根据矩形的对角线相等，即可求得BD的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝6，BC＝8，
∴AB8+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝10．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．注意利用勾股定理的逆定理证得∠ABC＝90°是关键．
20．（9分）如图．正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
（1）求出三角形ABC的周长．
（2）判断三角形形状，并说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理进行判定即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得，
，，，
∴三角形ABC的周长为；
（2）△ABC是直角三角形，理由是：
∵，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，准确应用勾股定理求出三角形的边长是解题的关键．
21．（9分）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇（km）与慢车行驶的时间x（h）的函数图象如图所示．
（1）请解释图中点A的实际意义；
（2）求出图中线段AB所表示的函数表达式；
（3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
【分析】（1）由已知x，y的意义可直接得到A的实际意义；
（2）求出B的坐标，再用待定系数法可得答案；
（3）求出快车返回的速度，再根据路程，速度，时间的关系可得到达甲地还需多长时间．
【解答】解：（1）A点的实际意义是，出发3小时，此时快车与慢车相距120km；
（2）∵点B的横坐标为：3+＝5.5（h）×70＝85（km），
∴点B的坐标为（3.6，85），
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kx+b，将A（3，B（3.4
，
解得，
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝﹣70x+330（3≤x≤3.3）；
（3）快车从返回到遇见慢车所用的时间为：4﹣3.4＝0.5（h），
∴快车从乙地返回甲地时的速度为：85÷3.5﹣70＝100（km/h），
∵4×70÷100＝3.8（h），
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是结合函数图象以及数量关系直接计算．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依照函数图象找出点的坐标，再结合数量关系列出算式即可算出结论．
22．（10分）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验1（%）与时间t（小时）的关系，数据记录如表1．
实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2．
表1
表2
任务一：计算表1中每隔0.5小时电池电量的增加量；
【建立模型】
任务二：请结合表1、表2的数据，选择合适的数学模型，求出y1关于t的函数表达式及y2关于s的函数表达式；
【解决问题】
任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，则至少要在服务区充电多长时间？
【分析】任务一：由表格（1），可知，每隔0.5小时，电池电量的增加量为25%，即可；
任务二：由表格可知，两个函数均为一次函数，设出函数解析式，待定系数法求出解析式即可；
任务三：先求出行驶3小时，消耗的电量，再求出到达目的地所需的最小电量，即可．
【解答】解：任务一：由表格可知，每隔0.5小时；
任务二：由表格可知两个函数均为一次函数，设y3＝k1t+b1，y2＝k2s+b2，
对于y3＝k1t+b1，当t＝7时，y＝50，y＝100，
∴，解得：，
∴y6＝50t；
对于y2＝k2s+b2，当s＝0时，y＝100，y＝50，
∴，解得：，
∴；
任务三：∵，
∴当s＝40×8＝120时，；
∵到达目的地，还需要250﹣120＝130（千米），
∴还需消耗电量，
∴至少需充电65﹣40＝25，
∴当y1＝25时，50t＝25，
∴t＝0.6，
即：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电0.5小时．
【点评】本题考查一次函数的实际应用．正确的列出函数关系式，是解题的关键．
23．（10分）如图，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），动点P在线段CB上以每秒4个单位长度的速度由点C向点B运动．设动点P的运动时间为t秒．
（1）点P的坐标为 （4t，8） （用含t的代数式表示）；
（2）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；
（3）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）求出CP的长度，利用矩形的性质和点的坐标的几何意义解答即可；
（2）利用平行四边形的性质对边相等列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分类讨论的方法分三种情况讨论解答：①当Q点在P的右边时，②当Q点在P的左边且在BC线段上时，③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，分别利用菱形的性质列出关于t的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵动点P的运动时间为t秒，以每秒4个单位长度的速度由点C向点B运动，
∴CP＝4t，
∵C（7，8），
∴P（4t，8），
故答案为：（4t，8）；
（2）∵四边形OABC为矩形，A（20，C（4，
∴BC＝OA＝20，AB＝OC＝8，
∵点D是OA的中点，
∴，
由题意可知，PC＝4t，
∴BP＝BC﹣PC＝20﹣4t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB＝OD＝10，
∴20﹣3t＝10，
∴t＝2.5；
（3）直线CB上存在一点Q，使得O、D、Q，当t＝2.5时，8），Q（3；t＝1时，8）
分三种情况：
①当Q点在P的右边时，如图，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD＝OP＝PQ＝10，
∴在Rt△OPC中，
由勾股定理得：PC＝＝6，
∴5t＝6，
∴t＝1.5，
∴Q（16，8）；
②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图，
∵四边形ODPQ为菱形，
∴OD＝DP＝PQ＝OQ＝10，
同①的方法得出，CQ＝，
∴Q（6，8），
∴CP＝CQ+PQ＝16，
∴5t＝16，
∴t＝4；
③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图，
∵四边形ODPQ为菱形，
∴OD＝DP＝PQ＝OQ＝10，
同①的方法得出，CQ＝，
∴Q（﹣6，8），
∴CP＝PQ﹣CQ＝2，
∴4t＝4，
∴t＝4．
综上所述，直线CB上存在一点Q、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形，Q（16；t＝4时，8），Q（﹣2．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的几何意义，菱形的性质，勾股定理，利用线段的长度表示出相应点的坐标是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/16 23:06:50；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986年级
平均数
中位数
众数
七年级
86
87
b
八年级
86
a
90
电池充电状态
时间t（小时）
0.5
1
1.5
2
电量y1（%）
25
50
75
100
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米）
0
80
100
140
电量y2（%）
100
60
50
30
年级
平均数
中位数
众数
七年级
86
87
b
八年级
86
a
90
电池充电状态
时间t（小时）
0.5
1
1.5
2
电量y1（%）
25
50
75
100
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米）
0
80
100
140
电量y2（%）
100
60
50
30