安徽省太湖中学2024届高三第四次模拟考试数学试题

这是一份安徽省太湖中学2024届高三第四次模拟考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．
C．D．
3．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
4．某校A､B､C､D､E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（ ）种.
A．18B．36C．60D．72
5．在平面直角坐标系中为原点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在中，面积，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若是锐角三角形，则
C．若，则
D．若角的平分线长为，则
10．在直三棱柱中，分别是的中点，则下列判断正确的是（ ）
A．面
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．四面体的体积为
11．点是抛物线上第一象限内的点，过点A作圆C：的两条切线，切点为、，分别交轴于P，Q两点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则直线MN的方程为
C．若，则的面积为92
D．的面积最小值为72
三、填空题
12．李明记录了自己50次坐公交车所花的时间为（单位：分钟），经数据分析发现服从正态分布，平均时间为36分钟，方差为36，则 .
13．在的展开式中，的系数为 ；
14．双曲线的左、右焦点分别为，，直线过与双曲线的左支和右支分别交于两点，．若轴上存在点满足，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
15．2020年11月2日湖南省衡阳市衡南县清竹村，由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911.7公斤.在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619.06公斤.这意味着双季亩产达到1530.76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标.在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响.某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，如下表(单位：株)：
(1)根据表中数据判断，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？
(2)在采样的稻田里随机抽取3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长穗株数记为X，求X的分布列和数学期望(把频率当成概率计算).
参考公式：，其中.
16．已知.
(1)求；
(2)证明：是等差数列，并求出；
(3)设，求的前项和.
17．如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面分别为的中点，且在棱上，且满足，连接．
(1)求证：平面；
(2)设，求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，是的零点，证明：在处的切线也是的切线.
19．设是椭圆的左右焦点，是上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作斜率不为0的直线与交于两点，且轴上是否存在，使得，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
(3)设是上除长轴端点外任一点，对于有如下结论：与三边所在直线均相切的圆有4个，其中一个是我们熟悉的内切圆，其余三个称为旁切圆，记与线段相切的旁切圆的半径为，求的最大值.
长穗
短穗
总计
高秆
34
16
50
低秆
10
40
50
总计
44
56
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．D
【分析】先化简集合A、B，再求交集，即可得出结果
【详解】由，
或，
所以，
故选：D
2．A
【分析】运用复数的除法运算即可.
【详解】.
故选：.
3．B
【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可
【详解】奇数项共有项，其和为，
∴．
偶数项共有n项，其和为，
∴．
故选：B．
4．B
【分析】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，分在1号位置，在2号位置，在4号位置三种情况进行分类，在利用排列公式及可求出结果.
【详解】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，则情况如下：
①在1号位置，又2、4、5三种位置选择，有种次序；
②在2号位置，有4,5号两种选择，有种次序；
③在4号位置，有5号一种选择，有种；
故共有种.
故选：B.
5．B
【分析】由投影向量的定义及数量积、模长的坐标表示求向量在向量上的投影向量.
【详解】由题设，
向量在向量上的投影向量为.
故选：B
6．A
【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值.
【详解】，
.
故选：A
7．A
【分析】构造函数，利用导数法结合条件，得到在上单调递减,利用单调性可得答案.
【详解】设，则
所以在上单调递减，又
由，即，所以
所以
故选：A
8．B
【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标应用两点间距离，再结合单调性得出最值即可判断选项.
【详解】
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，设，
则，
则单调递减，单调递增，
所以时，最小值为，时，最大值为，所以.
故选:B.
9．ABC
【分析】利用三角形面积公式、余弦定理求得，结合正弦定理、基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.
【详解】对于A，由，得，则，
而，解得，A正确；
对于B，锐角中，，，
，则，B正确；
对于C，当时，则，当且仅当时取等号，
则，C正确；
对于D，由三角形面积公式得，则，
即，因此，
当且仅当，即时取等号，D错误.
故选：ABC
10．ACD
【分析】A连接DE，由中位线定理可得DE，即可判断选项正误；
B由A异面直线与所成角可转化为DE与夹角，后由题目条件结合余弦定理可判断选项正误；
C由等腰三角形三线合一可判断选项正误；
D由题目条件可得平面，E到平面距离为到平面距离的一半即可判断选项正误.
【详解】A选项，如图，连接DE，，因图形为直三棱柱，则E为中点，DE为三角形中位线，故DE，
又平面，DE平面，则面，故A正确；
B选项，由A可知DE，则异面直线与所成角可转化为DE与夹角，又由题可得，，
，，
则异面直线与所成角的余弦为：
，故B错误；
C选项，由题可得，又D为BC中点，则由等腰三角形三线合一可知，故C正确.
D选项，取中点为F，连接，由题可得，平面，
则，又平面，，
则平面，即到平面距离为.
又为中点，则E到平面距离为到平面距离的一半，即.
则.
故D正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】根据勾股定理即可判断A，根据相交弦的方程即可由两圆方程相减求解B,根据三角形面积与内切圆的关系即可列出方程求解C，结合基本不等式即可求解D.
【详解】对于A选项，，故,A正确；
对于B选项，，,则以为直径的圆的方程为，与圆相减得，故MN直线为，故B正确；
对于C选项，,又，当时，，则，故，故C错误；
对于D选项，由C可知当且仅当时，等号成立，故时，取得最小值72，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
12．
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以.
故答案为：
13．
【分析】先求出二项展开式的通项公式，令的幂指数等于，求出的值，即可求出展开式中项的系数.
【详解】由二项展开式的通项公式得
，其中令，即，
故展开式中的系数为.
故答案为：.
14．
【分析】可以得到比例关系，平行关系，结合图形找出比例线段，结合双曲线的定义，列勾股定理方程计算求解.
【详解】
由题意，即有，根据相似关系可得，设，则，在双曲线的左支，则，在双曲线的右支，则，又，列出勾股定理方程：，解得.在中，，，列勾股定理可得，于是，.
故答案为：.
15．(1)能
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式得出观测值，把所得的观测值同表格中的临界值进行比较得出结论；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，得到分布列，再结合期望公式，即可求解.
【详解】（1）根据2×2列联表中的数据，
可得，
因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系.
（2）记“在采样的稻田里抽出低杆长穗稻株”为事件A，
则，所以.
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列如表所示，
随机变量X的数学期望.
16．(1)；
(2)证明见解析，；
(3)
【分析】（1）根据数列递推公式计算即可；
（2）根据等差数列定义即可证明，根据等差数列通项公式计算可得数列通项公式；
（3）由，根据裂项相消计算即可.
【详解】（1）.
（2），故是以1为首项1为公差的等差数列.故.
（3）因为，所以
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由重心性质得到线线平行，证明出线面平行；
（2）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出线面角的正弦值.
【详解】（1）证明：连接，如图所示．
在中，因为分别为的中点，，
所以为的重心，所以，
又，所以，
又平面平面，所以平面．
（2）连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以．
因为为等边三角形，为的中点，所以．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则，
所以．
设平面的法向量，
则令，解得，
所以平面的一个法向量，
．
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后按照导函数正负确定单调性即可；
（2）求导后，分别求出，在处的切线方程，结合零点的性质求证切线方程是同一条即可．
【详解】（1），显然，导数
①当时，，且定义域，则在单调递增.
②当时，，且定义域，在单调递增.
③当时，，且定义域为， 在单调递增，在单调递增.
（2）时，是的零点，即，
在处切线为：，即.
设是上一点，在此点处切线为，即．
令，则．则．
故在处的切线也是的切线.
19．(1)
(2)存在，
(3).
【分析】（1）由在椭圆上，且求解；
（2）假设存在满足条件，易知轴是平分线，则，然后设直线方程，与椭圆方程联立，再利用韦达定理求解;
（3）由，当为短轴顶点时，最大求解.
【详解】（1）解：由到的距离之和为，得，
所以椭圆方程为；
（2）假设存在满足条件，
由，则轴是平分线，所以，
又，设直线方程：，代入椭圆方程联立得：
，
设，所以，
，即，
，则，
故存在满足条件.
（3）如图所示：
设与线段相切的旁切圆圆心为，
故当最大时，即为短轴顶点时，最大，此时，
所以.
【点睛】方法点睛：本题第三问，将问题转化为焦点三角形，由，得到而得解.
X
0
1
2
3
P