上海市七宝中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题

这是一份上海市七宝中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题，共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．已知集合，，则 ．
2．已知复数（为虚数单位），则的实部为 ．
3．函数的最小正周期为 ．
4．记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a，平均数为b，则= ．
5．若的二项展开式中第项与第项的系数相等，则该展开式中的系数为 ．
6．已知函数，则的值为
7．数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ．
8．已知数列满足，点在双曲线上，则 ．
9．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种.
10．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ．
11．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为 ．

12．空间中两点间的距离为，设的面积为，令，若，则的取值范围为 ．
二、单选题
13．已知，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（ ）．
A．B．C．D．
15．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
16．已知是圆柱下底面的一条半径，，，为该圆柱侧面上一动点，垂直下底面于点，若，则对于下述结论：①动点的轨迹为椭圆；②动点的轨迹长度为；以下说法正确的为（ ）．
A．①②都正确B．①正确，②错误
C．①错误，②正确D．①②都错误
三、解答题
17．已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值．
18．如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形.
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．
19．如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面上的概率为．
(1)求；
(2)证明：数列是等比数列；若，求的最大值．
20．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为．
(1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值；
(2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；
(3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，试判断的垂心是否都在椭圆上，并说明理由．
21．设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”．
(1)在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由；
①； ②；
(2)已知，且函数具有性质，求实数的取值范围；
(3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件．
参考答案：
1．
【分析】求出集合、，再根据交集的定义可得．
【详解】由题意，，，
．
故答案为：
2．
【分析】利用复数的运算法则，化简为的形式，即a为实部.
【详解】.
所以复数的实部为.
故答案为：
3．
【分析】利用函数的最小正周期计算公式即可求解.
【详解】因为的最小正周期为,
所以函数的最小正周期为，
所以函数的最小正周期为,
故答案为：.
4．
【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念和公式进行计算即可.
【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32，
所以中位数，
由平均数的计算公式得，
所以.
故答案为：.
5．
【分析】求得二项式的展开式的通项公式，由题意可得，可求得，可求项的系数.
【详解】的展开式为，
因为二项展开式中第项与第项的系数相等，
所以，所以，
令，解得，
所以该展开式中的系数为.
故答案为：6.
6．/
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由函数，因为，所以.
故答案为：.
7．210
【分析】数列的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解.
【详解】数列满足，若，，则，
所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列
所以数列的前20项的和为
.
故答案为：210.
8．4
【分析】根据向量法，当时，与渐近线平行，且在轴的投影为2，渐近线倾斜角为，则，即可求出.
【详解】作出示意图如图所示：
当时，与渐近线平行，在轴的投影为2，
不妨取渐近线，令其倾斜角为，则，
所以，所以.
故答案为：4.
9．15
【分析】按照分组的结果分类讨论，利用分类加法原理求解即可.
【详解】不妨记两本相同的图书为元素，两本不同的音乐书为元素，根据题意，分类讨论：
若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；
若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；
若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；
综上，不同的分法共有种.
故答案为：15
10．3
【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解．
【详解】如图所示，
得到圆心；
得到圆心；
由于，所以两圆相离，因为为上的动点，，
所以要使取得最大值，只需最大即可，
因为，则的最大值为.
故答案为：3.
11．/
【分析】根据题意可知，利用导数判断单调性和最值，进而可得结果.
【详解】设圆的直径为， 则，即，
由题意可得：，则，
令时， 解得；令时， 解得；
可知在单调递增， 在单调递减，则时，取最大值．
此时． 所以
故答案为：.
12．
【分析】根据公式对向量进行处理，再结合不等式得出，即可推出点在以M为球心4为半径的球面上，从可求得答案.
【详解】由题意可知，
设中点为，则，，
所以，
由，得，则，
当且仅当时等号成立，则，
即，即，
则，即，
即点在以M为球心4为半径的球面上，
先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大；
设为半径为r的圆的内接三角形，
则
，当且仅当时等号成立，
即为正三角形时，其面积取到最大值，
由于点在以M为球心4为半径的球面上，故的面积S可以无限小，
，
即S的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键要利用以及均值不等式推出，从而推出点在以M为球心4为半径的球面，即可求解.
13．D
【分析】利用特值或不等式的性质可得答案.
【详解】对于A， ，而，A不成立；
对于B，，而，B不成立；
对于C，，因为，所以，，即，C不成立；
对于D，，因为，所以，即，D成立.
故选：D
14．C
【分析】根据散点图判断两变量的线性相关性，再根据线性相关性与相关系数的关系判断即可.
【详解】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故，
图二、图三两个变量都成负相关，且图二的线性相关性更强，
故，，，故，所以.
故选：C.
15．B
【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可.
【详解】因为，.
所以，.
由因为在，两个不同点处的切线相互平行，
所以，又，所以，故CD错误；
因为且，所以，故A不成立；
当时，.故B成立.
故选：B
16．C
【分析】把侧面展开，建立坐标系，可得的轨迹.
【详解】以A为原点将圆柱侧面和底面展开如下图，
设，所以,,
由题意，，
所以当时，同理时，
所以点的轨迹在展开图中为两条互相垂直的线段，在圆柱面上不是椭圆，
两条线段的长度均为，故轨迹长为.
故选:C.
【点睛】关键点点睛：关键是通过展开把几何体内的动点转化成平面中的动点问题，然后找动点横纵坐标的关系.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理即可得；
（2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值.
【详解】（1）由题意可知，，
由正弦定理得，
因为，所以，
即.
（2）由（1）可知，
所以或.
在中，由余弦定理得
，
当时，，
，
当且仅当时取等号，即，
故的面积.
当时，，
，
当且仅当时取等号，即，
故的面积.
综上所述，的面积最大值为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明平面，从而得到，进而即可证明平面；
（2）结合（1）及题意可得为直线与平面所成的角，即，从而得到，，．（方法一）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连结，先证明，平面，再平面，从而证明，从而可得是二面角的平面角，进而即可求出二面角的余弦值；（方法二）取的中点，连结，先证明平面，再取的中点，以为基底，建立空间直角坐标系，再根据向量夹角公式即可求解．
【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，
又平面平面，平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，，
所以平面．
（2）由（1）知，为直线与平面所成的角，即，
又正方形的边长为2，所以，，所以，
（方法一）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连结，
因为平面，平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，则，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以，
所以是二面角的平面角，
在直角中，，，
所以，所以，
即二面角的余弦值为．
（方法二）取的中点，连结，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
取的中点，则，
以为基底，建立空间直角坐标系，
所以，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
取平面的法向量，
设二面角的大小为，
则，
因为二面角为锐角，所以，
即二面角的余弦值为．
19．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）每个顶点相邻的顶点有3个，其中2个在同一底面，据此计算概率即可；
（2）根据题意先得出递推关系，再化简变形即可得数列是等比数列；求等比数列的通项，进而得到，再解不等式即可.
【详解】（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面，
所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，
当点在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，
所以，.
（2），
所以，
又因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
，，
若，则，所以，
又，，，所以，的最大值为.
20．(1)或；
(2)，
(3)垂心在椭圆上，理由见解析
【分析】（1）求得椭圆的离心率，分类讨论可求得；
（2）可得直线的方程分别为，，分别与椭圆联立方程，利用判别式为0,可得，，进而可求取得最小值；
（3）不妨设为椭圆上的任意一点，此时，的垂心的坐标为，连接，可求得，可得，利用可得结论.
【详解】（1）因为椭圆的离心率，当时，，解得；
当时，，解得．则或；
（2）易得，所以直线的方程分别为，，
联立，消去并整理得，
因为直线与椭圆相切，所以，因为，即，
联立， 消去并整理得，
因为直线与椭圆相切，所以，
因为，即，则，
所以，当且仅当时，等号成立，此时．
故当时，取得最小值， 最小值为．
（3）易知椭圆
不妨设为椭圆上的任意一点，此时，（1）
不妨设的垂心的坐标为，连接，
因为，又，所以，
因为，所以，
因为，所以，（2），
联立（1）（2），解得，
因为点在椭圆上，所以．故的垂心在椭圆上．
【点睛】知识点点睛：垂心是三角形三条高线的交点，通常有两种方法进行求解，其一是向量法，即两个互相垂直的向量的数量积为零；其二是利用直线的斜率公式，即两条互相垂直的直线的斜率之积为．
21．(1)①是，②不是，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数具有性质的条件判断①；举反例可判断②；
（2）原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得；
（3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性.
【详解】（1）①是，对任意，，符合定义；
②不是，令 ，，
故不符合题意.
（2）显然，设，
则，
当时，取最小值，
原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得；
（3）证明：充分性：
若函数为增函数，则对任意均有，
即，因此，对任意，若，
则，函数具有性质，充分性得证；
必要性：
若对任意，函数均具有性质，
假设函数不是增函数，则存在，满足，
即，取，
则显然，
即对于，存在，但是，
与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立，
即函数为增函数，必要性得证．
【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.