四川省内江市2025届高三上学期模拟考试数学试题

这是一份四川省内江市2025届高三上学期模拟考试数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的展开式中的常数项为（ ）
A．15B．16C．20D．22
2．已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
3．有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（ ）
A．72种B．144种C．288种D．576种
4．已知离散型随机变量服从二项分布，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知为的导函数，则的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
6．若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（ ）
A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中小于11的概率为小于0.5
C．该物理量在一次测量中小于10.98与大于11.02的概率不相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等
8．设，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．回归直线必过点
C．加工6个零件的时间大约为
D．若去掉，剩下4组数据的经验回归方程不会有变化
10．定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（ ）
A．
B．的值是
C．函数有一个零点
D．过可以作三条直线与图象相切
11．甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第次传球之后球在乙手中的概率为.则下列正确的有（ ）
A．
B．为等比数列
C．设第次传球后球在甲手中的概率为
D．
三、填空题
12．两批同种规格的产品，第一批占，次品率；第二批占，次品率为，现将两批产品混合，从混合的产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为 .
13．一副扑克共54张牌，无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为 .
14．方程的根个数为 .，若方程恰有两个根，则 .
四、解答题
15．已知函数.
(1)若，求函数在区间上的最值；
(2)讨论函数的单调性.
16．健身运动可以提高心肺功能，增强肌肉力量，改善体态和姿势，降低患病风险.这些好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中，以改善自己的身体状况，增强一下体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：
(1)试根据小概率值的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
，其中.
17．当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表.
(1)若该公司科研团队计划用方案①作为年销售量关于年投资额的回归分
析模型，请根据统计表的数据及参考公式，确定该经验回归方程；
(2)若该公司科研团队计划用方案②作为年销售量关于年投资额的回归分析模型，的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较两种模型的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）
参考公式及数据：，
18．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式
(1)求图2中第10行的各数之和；
(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.
19．已知函数.
(1)讨论函数的导函数的零点个数；
(2)若有两个极值点，求证：
（i）；
（ii）.
年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上（含50）
25
75
100
合计
65
135
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（百万）
1
2
3
4
5
（千件）
0.5
1
1.5
3
5.5
参考答案：
1．A
【分析】利用组合的运算求解即可.
【详解】由，
令，故常数项为.
故选：A
2．D
【分析】求出导数，由导数的定义知求即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：D
3．C
【分析】首先将名老师排在中间个位置中的个位置，再将其余名学生全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】首先将名老师排在中间个位置中的个位置，再将其余名学生全排列，
故不同排列方式共有（种）.
故选：C
4．A
【分析】根据二项分布的概率公式计算可得.
【详解】因为，所以.
故选：A
5．C
【分析】根据导函数的奇偶性排除BD，再由导函数的单调性排除A，即可得解.
【详解】，
所以，
因为，
所以为奇函数，故排除BD，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，排除A.
故选：C
6．B
【分析】设切点，根据切线经过点，得到，令，转化为与有两个不同的交点求解.
【详解】设切点，
因为，所以，
所以点P处的切线方程为，
又因为切线经过点，
所以，即，
令，
则与有两个不同的交点，
，
当时，恒成立，所以单调递增，不合题意；
当时，当时，，当时，，
所以，则，即，
故选：B
7．D
【分析】越大，正态密度曲线越“胖矮”，可知选项A错误；根据正态密度曲线的对称性，可判断BCD．
【详解】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误;
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量小于11的概率为0.5，故B错误；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量中小于10.98与大于11.02的概率概率相等，故C错误；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等，故D正确.
故选：D
8．B
【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解.
【详解】，
，而
而，因为，所以，
所以，故，
所以.
故选：B
9．ACD
【分析】求得数据的样本中心点可求出可判断A；令代入回归直线方程可判断B；将代入回归方程求得预测值可判断C；根据恒过，可判断D.
【详解】，，
所以恒过，所以，
解得：，故A正确；
当时，，故B错误；
由，令，则，
故加工6个零件的时间大约为，故C正确；
因为恒过，所以剩下4组数据的经验回归方程不会有变化，故D正确.
故选：ACD.
10．BD
【分析】求出函数的一阶导数，二阶导数，令，依题意可得且，即可求出、的值，从而判断A，根据对称性得到，利用倒序相加法判断B，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合零点存在性定理判断C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，判断关于的方程的根的个数即可判断D.
【详解】由，所以，，
令，得，由函数的对称中心为，
所以且，解得，故A错误；
因为的对称中心为，
即，
令,
则，
所以，所以，故B正确；
因为，则，
所以当时，，当或时，，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
因此函数的极大值为，极小值为；
又，即，，
所以在和上存在零点，所以函数有三个零点， 故C错误；
设切点为，则切线方程为，
又切线过，则，
化简得，令 ，
则，
当或时，，单调递增，当时，，
单调递减，而，，，，所以有3个零点，即方程有3个不等实根，所以过可以作三条直线与图象相切，故D正确.
故选：BD
11．ABD
【分析】依题意可得，且，即可得到，结合等比数列的定义求出的通项公式，即可得到的通项公式，即可判断A、B、D，同理求出，再利用作差法判断C.
【详解】依题意，，
第次传球之后球在乙手中，则当时，第次传球之后球不在乙手中，其概率为，
第次传球有的可能传给乙，因此，
于是，而，则是以为首项，公比为的等比数列，
所以，则，故A、B、D正确；
因为，，当时，
则，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，所以，
则，，
所以，
所以，故C错误.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出（），利用构造法求出、的通项公式.
12．0.042/
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.
【详解】依题意，由全概率公式得这件产品是次品的概率.
故答案为：0.042
13．
【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】一副扑克共54张牌，无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，
则还剩下张牌，其中有张，
所以第二次抽到的概率.
故答案为：
14． 3
【分析】由指数函数与二次函数图象易知方程有一个负根，转化为研究时方程根的个数，利用导数研究函数的大致图象，即可得解.
【详解】由可得，
由指数函数与二次函数图象可知，当时，图象有一个交点，
当时，两边取自然对数，可得，即，
令，则，当时，，单调递增
当时，，单调递减，所以，
又，，
，由时，单调递增知，，
所以有2个不同交点，即有2个正根，
综上可知，方程的根个数为3个.
方程恰有两个根，由上述分析可知必有一个负根，
所以当时，方程只有一个正根，即有一个正根，
取对数，可得，即，
由上述分析可知，当时，即时，方程只有一个正根.
故答案为：3；
【点睛】关键点点睛：本题的解决关键是，将问题转化为与另一常函数的交点问题，从而得解.
15．(1)最小值为，最大值为
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，由求出的值，再求出函数的单调性，求出区间端点函数值与极值，即可得解；
（2）求出函数的定义域与导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【详解】（1）因为，所以，
则，解得，
所以，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以函数在区间上的最小值为，最大值为；
（2）函数的定义域为且，
若时，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若时，则当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
若时，则当或时，当时，
所以在，上单调递减，在上单调递增；
综上可得：当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在，上单调递增，在上单调递减；
当时在，上单调递减，在上单调递增.
16．(1)周平均锻炼时长与年龄有关联
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）首先求出周平均锻炼时长少于4小时、不少于4小时的人数，依题意所有可能的取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【详解】（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
由列联表中的数据计算，50岁以下周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为和，
由列联表中的数据计算，50岁以上（含50）周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为和，
因为，所以50岁以上（含50）周平均锻炼时长不少于4小时的比率比50岁以下高出15个百分点，
所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.
（2）抽取的10人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，
不少于4小时的有人，
所以所有可能的取值为，
所以，，，，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
17．(1)
(2)方案②非线性回归方程拟合效果更好，9.68千件.
【分析】（1）根据所给数据，利用公式求出，可得解；
（2）计算方案①残差和与方案②比较可得出方案②更好，再由所给方程求出预测值即可.
【详解】（1）由题意，
，，
所以线性回归方程为.
（2）按（1）可得，
根据题意可得如下数据：
方案①的残差平方和为，
由于，故方案②非线性回归方程拟合效果更好.
当时，(千件)，
故当年投入额为6百万元时，产品的销售量约为9.68千件.
18．(1)
(2)560
(3)存在，
【分析】（1）根据二项式系数的性质求和即可；
（2）根据组合数的性质化简求值即可；
（3）假设存在，根据条件建立方程组求解，即可得解.
【详解】（1）第10行的各数之和为：.
（2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为：
.
（3）存在，理由如下：
设在第行存在连续三项，其中且且，
有且，化简得且，
即，解得，
所以，
故这三个数依次是.
19．(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，转化为解的个数，利用导数研究的增减性、极值即可讨论出交点个数，得出零点个数；
（2）（i）分析法转化为求证，利用导数求最小值即可得证（ii）由（i）转化为证，换元后转化为证，再次换元后转为利用导数证明即可.
【详解】（1）函数，
则，令，解得，
设，
故导函数的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数.
，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
故
又当时，，当时，，
当时，与的图象有2个交点，此时导函数有2个零点；
当或时，与的图象有1个交点，此时导函数有1个零点；
当时，与的图象没有交点，此时导函数没有零点.
综上，当时有2个零点，当或时时有1个零点，当时没有零点.
（2）（i）由（1）可知，不妨设，
要证，即证，
不妨令，即证，
只需证明，
令，则，
令，则，
当时，，
在上单调递增，即，故，在上单调递增，
所以，即
（ii）由（i）可知，要证，只需证明，
不妨设，
是导函数的两个零点，，
令，即证，
由得，
要证成立，只需证明，即证，
即证，即证，
令，则，只需证明，
令，则，
在上单调递增，，
，即证得.
【点睛】关键点点睛：第二步在证明中，需要对待证结论进行合理的转化，结合分析法，层层转化，当转化为一边为0的不等式后，可构造函数，或者换元后构造函数，能够利用导数求出函数的最值，即可解决此类证明问题.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
y
0.5
1
1.5
3
5.5
1.1
2.3
3.5
4.7