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2025年高考数学一轮复习(基础版)课时精讲第2章 §2.6 对数与对数函数(2份打包,原卷版+含解析)
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1.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数.
知识梳理
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=lgaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数,记作 lg N. 以e为底的对数叫做自然对数,记作 ln N.
2.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质:lga1=0,lgaa=1, SKIPIF 1 < 0 =N(a>0,且a≠1,N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①lga(MN)=lgaM+lgaN;②lgaeq \f(M,N)=lgaM-lgaN;③lgaMn=nlgaM (n∈R).
(3)对数换底公式:lgab=eq \f(lgcb,lgca)(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
3.对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
常用结论
1.lgab·lgba=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1), SKIPIF 1 < 0 =eq \f(n,m)lgab(a>0,且a≠1,b>0)
2.如图,给出4个对数函数的图象.
则b>a>1>d>c>0,即在第一象限内,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M=N,则lgaM=lgaN.( )
(2)函数y=lga2x(a>0,且a≠1)是对数函数.( )
(3)对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)是增函数.( )
(4)函数y=lg2x与y= SKIPIF 1 < 0 的图象关于x轴对称.( )
2.已知xlg32=1,则4x等于( )
A.9 B.3 C.eq \r(3) D.eq \f(1,3)
3.函数f(x)=lga|x|+1(a>1)的图象大致为( )
4.已知函数y=lga(x-1)+4的图象恒过定点P,则点P的坐标是 .
题型一 对数式的运算
例1 (1)已知3a=5b=m,且eq \f(2,a)+eq \f(1,b)=1,则实数m的值为 .
(2)计算:lg535+ SKIPIF 1 < 0 -lg5eq \f(1,50)-lg514= .
跟踪训练1 (1)若a>0, SKIPIF 1 < 0 =eq \f(4,9),则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)计算:lg 25+lg 2×lg 50+(lg 2)2= .
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)=lga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )
A.02”是“lga(a+eq \f(1,2))>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
命题点3 对数函数的性质及应用
例5 设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )
A.是偶函数,且在(eq \f(1,2),+∞)上单调递增
B.是奇函数,且在(-eq \f(1,2),eq \f(1,2))上单调递减
C.是偶函数,且在(-∞,-eq \f(1,2))上单调递增
D.是奇函数,且在(-∞,-eq \f(1,2))上单调递减
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)=lg2(x2-2x)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,0]
(2)若函数f(x)=lga(x2-2ax+eq \f(5,2)a-1)有最大值,则a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5),\f(1,2))) D.(1,2)
课时精练
一、单项选择题
1.函数y=eq \r(lg0.54x-3)的定义域为( )
A.[1,+∞) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4),1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4),1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(3,4)))
2.若函数f(x)=lgax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(1,3),则f(lg28)等于( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
3.若 SKIPIF 1 < 0
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