2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第7章　§7.5　空间向量的概念与运算（2份打包，原卷版+含解析）

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1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
知识梳理
1．空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积 a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
常用结论
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( × )
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0．( √ )
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( × )
2．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，则下列向量中与eq \(C1M,\s\up6(—→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
答案 C
解析 eq \(C1M,\s\up6(—→))＝eq \(C1C,\s\up6(—→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(C1C,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c.
3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
答案 B
解析 以C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)，
所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(2a,3)，\f(a,3)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，a))，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,3)，0，\f(2a,3)))，
又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以eq \(C1D1,\s\up6(—→))＝(0，a,0)，所以eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(C1D1,\s\up6(—→))＝0，所以eq \(MN,\s\up6(→))⊥eq \(C1D1,\s\up6(—→)).
因为eq \(C1D1,\s\up6(—→))是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
4．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
答案 10
解析 ∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 由已知可得eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(x－1，－2，y＋4)．
因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，使得eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝λ，,－2＝－λ，,y＋4＝3λ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2，,x＝3，,y＝2，))所以x＋y＝5.
(2)在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若eq \(DA,\s\up6(→))＝a，eq \(DB,\s\up6(→))＝b，eq \(DC,\s\up6(→))＝c，则eq \(BE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,4)a－b＋eq \f(1,4)c B.eq \f(1,2)a－b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,4)a＋b＋eq \f(1,4)c D.eq \f(1,2)a－b＋c
答案 A
解析 根据题意可得eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(a＋c)，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(a＋c)，
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝－eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝－b＋eq \f(1,4)(a＋c)＝eq \f(1,4)a－b＋eq \f(1,4)c.
思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
跟踪训练1 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)x－2a，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
答案 B
解析 由b＝eq \f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
①化简eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
②用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))表示eq \(OC1,\s\up6(—→))，则eq \(OC1,\s\up6(—→))＝________.
答案 ①eq \(A1A,\s\up6(—→)) ②eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))
解析 ①eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→)).
②因为eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，所以eq \(OC1,\s\up6(—→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)).
题型二 空间向量基本定理及其应用
例2 (1)下列命题正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
答案 C
解析 若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；
因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；
假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；
假设b＝0，若a, c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a, c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误．
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
答案 CD
解析 由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，因为eq \f(3,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝1，
可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))＝λ(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))，即eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CB,\s\up6(→))，
所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．
思维升华 应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
跟踪训练2
(1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若eq \(BD,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－4eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，则λ等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 B
解析 eq \(BD,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－4eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，即eq \(PD,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－4eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，整理得eq \(PD,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－3eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，
由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足eq \(DE,\s\up6(→))＝xeq \(DA,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(DD1,\s\up6(—→))，则|eq \(DE,\s\up6(→))|的最小值是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 因为eq \(DE,\s\up6(→))＝xeq \(DA,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(DD1,\s\up6(—→))，由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以|eq \(DE,\s\up6(→))|的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为eq \r(2)的等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)×(eq \r(2))2×sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，S△ACD＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，由等体积法得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，所以eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×d＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1，解得d＝eq \f(\r(3),3)，所以|eq \(DE,\s\up6(→))|的最小值为eq \f(\r(3),3).
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
(3)求证：AA1⊥BD.
(1)解 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cs 120°＝－1.
因为eq \(AC1,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝a＋b＋c，
所以|eq \(AC1,\s\up6(—→))|＝|a＋b＋c|＝eq \r(a＋b＋c2)＝eq \r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c)＝eq \r(1＋1＋4＋0－2－2)＝eq \r(2)，
所以线段AC1的长为eq \r(2).
(2)解 因为eq \(AC1,\s\up6(—→))＝a＋b＋c，eq \(A1D,\s\up6(—→))＝b－c，
所以eq \(AC1,\s\up6(—→))·eq \(A1D,\s\up6(—→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2，
|eq \(A1D,\s\up6(—→))|＝|b－c|＝eq \r(b－c2)＝eq \r(|b|2＋|c|2－2b·c)＝eq \r(1＋4＋2)＝eq \r(7)，
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cs θ＝|cs〈eq \(AC1,\s\up6(—→))，eq \(A1D,\s\up6(—→))〉|＝eq \f(|\(AC1,\s\up6(—→))·\(A1D,\s\up6(—→))|,|\(AC1,\s\up6(—→))||\(A1D,\s\up6(—→))|)＝eq \f(|－2|,\r(2)×\r(7))＝eq \f(\r(14),7)，
即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为eq \f(\r(14),7).
(3)证明 由①知eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a，所以eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即eq \(AA1,\s\up6(—→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，
所以AA1⊥BD.
思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
跟踪训练3 (1)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(4\r(2),3) D.eq \f(8,3)
答案 D
解析 ∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AO，∴eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝0，|eq \(AO,\s\up6(→))|＝eq \f(2,3)·|eq \(AB,\s\up6(→))|·sin 60°＝eq \f(2\r(3),3)，
故eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))·(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2＝|eq \(AP,\s\up6(→))|2－|eq \(AO,\s\up6(→))|2＝4－eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).
题型四 向量法证明平行、垂直
例4 如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(1)证明 以A为原点，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))，B1(a,0,1)．故eq \(AD1,\s\up6(—→))＝(0,1,1)，eq \(B1E,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，1，－1)).
因为eq \(B1E,\s\up6(—→))·eq \(AD1,\s\up6(—→))＝－eq \f(a,2)×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以eq \(B1E,\s\up6(—→))⊥eq \(AD1,\s\up6(—→))，即B1E⊥AD1.
(2)解 存在满足要求的点P.假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE，此时eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，－1，z0)，设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
eq \(AB1,\s\up6(—→))＝(a,0,1)，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0)).
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB1,\s\up6(—→))＝0，,n·\(AE,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋z＝0，,\f(ax,2)＋y＝0，))取x＝1，则y＝－eq \f(a,2)，z＝－a，故n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(a,2)，－a)).
要使DP∥平面B1AE，只需n⊥eq \(DP,\s\up6(→))，则eq \f(a,2)－az0＝0，解得z0＝eq \f(1,2)，
所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝eq \f(1,2).
思维升华
(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
跟踪训练4 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，AC＝eq \r(3)AB，PB⊥AC.
(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求eq \f(PQ,QD)的值；若不存在，说明理由．
(1)证明 在△ABC中，
因为BC＝2AB，AC＝eq \r(3)AB，所以AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB，
又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB，
又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.
(2)解 假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(－2,2eq \r(3)，0)，P(1,0，eq \r(3))，
则eq \(AD,\s\up6(→))＝(－2,2eq \r(3)，0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(1,0，eq \r(3))，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4,2eq \r(3)，0)，eq \(DP,\s\up6(→))＝(3，－2eq \r(3)，eq \r(3))，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AD,\s\up6(→))＝－2x1＋2\r(3)y1＝0，,n1·\(AP,\s\up6(→))＝x1＋\r(3)z1＝0，))取n1＝(eq \r(3)，1，－1)．
设eq \(DQ,\s\up6(→))＝λeq \(DP,\s\up6(→))，其中0≤λ≤1.则eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DQ,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋λeq \(DP,\s\up6(→))＝(3λ－4，2eq \r(3)－2eq \r(3)λ，eq \r(3)λ)，
连接EF，因为AC∥平面BEQF，AC⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEQF＝EF，
所以AC∥EF.取与eq \(EF,\s\up6(→))同向的单位向量j＝(0,1,0)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEQF的法向量，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·j＝y2＝0，,n2·\(BQ,\s\up6(→))＝3λ－4x2＋2\r(3)1－λy2＋\r(3)λz2＝0，))
取n2＝(eq \r(3)λ，0,4－3λ)．由平面BEQF⊥平面PAD知n1⊥n2，
则n1·n2＝3λ＋3λ－4＝0，解得λ＝eq \f(2,3).
故在侧棱PD上存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD，eq \f(PQ,QD)＝eq \f(1,2).
课时精练
一、单项选择题
1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于( )
A．－6 B．6 C．－4 D．4
答案 D
解析 若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.
2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则eq \(BD1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．1 B．2 C．3 D.eq \f(\r(6),3)
答案 A
解析 由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，eq \(BD1,\s\up6(—→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))，
所以eq \(BD1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0＋eq \(BC,\s\up6(→))2＋0＝1.
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
答案 B
解析 对于选项A，eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq \(PA,\s\up6(→))·n ＝5，所以eq \(PA,\s\up6(→))与n不垂直，排除A；同理可排除C，D；对于选项B，有eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－4，\f(1,2)))，所以eq \(PA,\s\up6(→))·n＝0，故B正确．
4.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝eq \r(2)，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( )
A．2 B．3 C．2eq \r(3) D．4
答案 B
解析 ∵eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，∴eq \(CD,\s\up6(→))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))，
∵eq \(CA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝|eq \(CA,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs(180°－120°)＝1×2×eq \f(1,2)＝1.
∴eq \(CD,\s\up6(→))2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝3.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
答案 A
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1，
因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，
所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，
则D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
则eq \(EF,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq \(EB1,\s\up6(—→))＝(0,1,2)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq \(DA1,\s\up6(—→))＝(2,0,2)，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝(0,0,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，
eq \(A1C1,\s\up6(—→))＝(－2,2,0)．设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(EF,\s\up6(→))＝－x1＋y1＝0，,m·\(EB1,\s\up6(—→))＝y1＋2z1＝0，))可取m＝(2,2，－1)，
同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，
平面A1AC的一个法向量为n2＝(1,1,0)，平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1,1，－1)，
则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；
因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；
因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误．
二、多项选择题
6．下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}是空间的一个基底，且eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共面
D．若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底，则{a，b，c}也是空间的一个基底
答案 ACD
解析 对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确；
对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；
对于C，若{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}是空间的一个基底，且eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,3)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，即eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，可得A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D，若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底，则对空间中任意一个向量d，存在唯一实数组(x，y，z), 使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，则{a，b，c}也是空间的一个基底，故D正确．
三、填空题
7．已知向量a＝(1,1,0)，则与a同向共线的单位向量e＝________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))
解析 因为向量a＝(1,1,0)，所以|a|＝eq \r(12＋12＋02)＝eq \r(2)，
所以与a同向共线的单位向量为e＝eq \f(a,|a|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0)).
8．在空间直角坐标系中，已知A(1,1,0)，B(－1,0,2)，点C满足eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→))，则点C的坐标为________．
答案 (－5，－2,6)
解析 设C(x，y，z)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(x－1，y－1，z)＝3eq \(AB,\s\up6(→))＝(－6，－3,6)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝－6，,y－1＝－3，,z＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝－2，,z＝6.))故点C的坐标为(－5，－2,6)．
9．在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，BC的中点为M，eq \(A1B1,\s\up6(—→))＝a，eq \(A1C1,\s\up6(—→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(—→))＝c，则 eq \(B1M,\s\up6(—→))可用a，b，c表示为________________．
答案 －eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
解析 eq \(B1M,\s\up6(—→))＝eq \(B1B,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(B1C1,\s\up6(—→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(A1C1,\s\up6(—→))－eq \(A1B1,\s\up6(—→)))＝c＋eq \f(1,2)(b－a)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
四、解答题
10.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：
(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
证明 (1)∵E，H分别是线段PA，AB的中点，∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．eq \(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq \(AH,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
∴eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AH,\s\up6(→))＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.∴eq \(PD,\s\up6(→))⊥eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(PD,\s\up6(→))⊥eq \(AH,\s\up6(→))，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF.
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
长度相等而方向相反的向量
共线向量(或平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角余弦值
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)
(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))
eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(OB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(OB,\s\up6(→))