2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第8章　§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系（2份打包，原卷版+含解析）

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1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( )
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．( )
(4)在圆中最长的弦是直径．( )
2．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
3．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C.eq \r(5) D．2eq \r(5)
4．圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是( )
A．外切 B．相交 C．外离 D．内切
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 (1)M(x0，y0)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝1与该圆的位置关系为( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
命题点2 弦长问题
例2 (1)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2eq \r(3)时，直线l的方程为________________．
(2)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq \f(8,5)”的m的一个值为________．
命题点3 切线问题
例3 已知点P(eq \r(2)＋1,2－eq \r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题
例4 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为________．
思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
跟踪训练1 (1)若直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1与圆x2＋y2＝1相交，则( )
A.eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)<1 B.eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)>1 C．a2＋b2<1 D．a2＋b2>1
(2)直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．4
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为( )
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
(2)圆A：x2＋y2＝4与圆B：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程为( )
A．x－y＋2＝0 B．x－y－2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝0
跟踪训练2 (1)若圆x2＋y2＋4x－4y＝0和圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于M，N两点，则线段MN的长度为( )
A．4 B.eq \f(3\r(5),5) C.eq \f(12\r(5),5) D.eq \f(6\r(5),5)
(2)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
课时精练
一、单项选择题
1．已知圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)与y轴相切，则r等于( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D．3
2．在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是( )
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
3．直线y＝x＋1被圆O：x2＋y2＝1截得的弦长为( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
4．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－eq \f(5,3)或－eq \f(3,5) B．－eq \f(3,2)或－eq \f(2,3) C．－eq \f(5,4)或－eq \f(4,5) D．－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
5．圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0距离为eq \r(2)的点有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
二、多项选择题
6．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圆C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值是( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
三、填空题
7．写出一个经过原点，截y轴所得弦长是截x轴所得弦长2倍的圆的标准方程__________．
8．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程为________________________．
四、解答题
9．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
10．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l恒过点P(4,1)．
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(3)时，求l的方程．
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|