2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第10章　§10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值(数学期望)
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
常用结论
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．( )
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．( )
2．已知X的分布列为
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A.eq \f(7,3) B．4 C．－1 D．1
3．已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则E(X)＝________，D(X)＝________.
4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
题型一 分布列的性质
例1 (1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq \f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,6)
跟踪训练1 (1)若随机变量X的分布列为
则P(|X|＝1)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,6)
(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝eq \f(k,2i)(i＝1,2,3)，则k＝________；P(X≥2)＝________.
题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征
命题点1 求离散型随机变量的分布列及数字特征
例2 (1)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的均值和方差分别是( )
A．E(X)＝1.5，D(X)＝0.36 B．E(X)＝1.4，D(X)＝0.36
C．E(X)＝1.5，D(X)＝0.34 D．E(X)＝1.4，D(X)＝0.34
(2)已知某离散型随机变量X的分布列如表：
若E(X)＝eq \f(3,4)，P(X≥1)＝eq \f(7,12)，则D(X)等于( )
A.eq \f(15,16) B.eq \f(9,8) C.eq \f(19,16) D.eq \f(5,4)
均值、方差的大小比较、最值(范围)问题
关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围．
典例 (1)设随机变量X的分布列如下(其中0A．D(X)增大 B．D(X)减小
C．D(X)先减后增 D．D(X)先增后减
(2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a,2，根据以往销售经验可得0下列结论正确的是( )
A．b＝eq \f(1,3)
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为eq \f(5,16)
C．D(X)min＝eq \f(1,2)
D．当D(X)min最小时，E(X)＝eq \f(1,3)
命题点2 均值(数学期望)与方差的性质应用
例3 设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(0C．D(X)＝2 D．D(3X＋1)＝6
(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．
跟踪训练2 (1)(多选)已知随机变量X的分布列为
下列结论正确的有( )
A．m＝eq \f(1,6) B．E(X)＝eq \f(1,6)
C．E(2X－1)＝eq \f(1,3) D．D(X)＝eq \f(29,36)
(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为eq \f(1,4)，设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝________.
题型三 均值与方差中的决策问题
例4 随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A，B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份．问卷中，对景点的满意度等级划分为：非常满意、满意、一般、不满意，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：
假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立．
(1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；
(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A，B哪个旅游景点？说明理由．
跟踪训练3 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
课时精练
一、单项选择题
1．已知离散型随机变量X的分布列为
则X的均值E(X)等于( )
A.eq \f(3,2) B．2 C.eq \f(5,2) D．3
2．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：
甲产业收益分布列
乙产业收益分布列
则下列说法正确的是( )
A．甲产业收益的期望大，风险高
B．甲产业收益的期望小，风险小
C．乙产业收益的期望大，风险小
D．乙产业收益的期望小，风险高
3．已知X的分布列为
且Y＝aX＋3，E(Y)＝eq \f(7,3)，则a为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为eq \f(4,5)，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为eq \f(1,4)，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为( )
A.eq \f(93,10) B.eq \f(37,4) C.eq \f(39,4) D.eq \f(211,20)
5．随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq \f(c,k2＋k)，k＝1,2,3，其中c是常数，则D(9ξ－3)的值为( )
A．10 B．117 C．38 D．35
6．设0当a在(0,1)上增大时，则( )
A．E(X)不变
B．E(X)减小
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)先减小后增大
二、多项选择题
7．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表：
则下列正确的是( )
A．E(X)＝12 B．E(X)＝eq \f(9,4)
C．m＝eq \f(1,3) D．n＝eq \f(1,3)
三、填空题
8．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示．
若随机变量ξ的均值E(ξ)＝eq \f(1,2)，则D(2ξ＋1)＝________.
9．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y的均值为________．
10．已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X，则X的均值为________．
四、解答题
11．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求：
(1)“所选3人中女生人数X≤1”的概率；
(2)X的均值与方差．
12．某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额．
(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：
①员工所获得的奖励金额为1 000元的概率；
②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；
(2)公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
Y
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
X
－1
0
1
P
a
eq \f(1,3)
c
时间/分钟
10～20
20～30
30～40
40～50
甲的频率
0.1
0.4
0.2
0.3
乙的频率
0
0.3
0.6
0.1
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
eq \f(1,3)
X
0
1
2
P
eq \f(1－p,2)
eq \f(1,2)
eq \f(p,2)
X
0
a
2
P
eq \f(1,2)
b
eq \f(1,6)
X
－1
0
1
P
eq \f(1,3)
m
3m
非常满意
满意
一般
不满意
A景点
50
30
5
15
B景点
35
30
7
8
X
1
2
3
P
eq \f(3,5)
a
eq \f(1,10)
收益X/亿元
－1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y/亿元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
X
0
a
1
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,4)
m
n
eq \f(1,12)
ξ
－2
0
2
P
a
b
eq \f(1,2)
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10