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初升高数学衔接讲义 第1讲.集合的概念（教师版+学生版）
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集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称集.
表示方法：一般用大写字母或大括号表示集合，用小写字母表示集合中的元素.
集合相等：构成两个集合的元素完全一样.
集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.
①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合就确定了.
例如：“之间的偶数”构成集合，是这个集合的元素，而就不是它的元素；“较大的数”、“漂亮的花”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现.
例如：方程的解构成的集合是，而不是.
③无序性：集合中的元素没有固定的顺序，元素可以任意排列.
例如：和是同一个集合.
元素与集合的关系：（分“属于”与“不属于”两种）
①如果是集合的元素，就说属于集合，记作；
②如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作.
集合的分类
常见数集的写法
下列指定的对象能构成集合的是 .
①大于2的整数；②所有的正小数；③所有的小正数；④的近似值；⑤高一年级优秀的学生；⑥方程的解；⑦这个数；
【答案】①②⑥
【解析】①②⑥中指定的对象满足集合元素的三个性质：确定性，互异性，无序性，能构成集合；③④⑤中指定的对象不满足集合元素的确定性，⑦中指定的对象不满足集合元素的互异性，不能构成集合.
用“”或“”填空.
① ； ② ； ③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ .
【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
（1）已知三个实数构成一个集合，求应该满足的条件.
已知集合的元素为，若且，求实数的值.
【答案】（1）且；（2）.
【解析】（1）由集合元素的互异性可得：，解得且；
（2）若且，则或，解得.
集合的表示
列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用大括号“”括起来表示集合的方法.
说明：
①书写时，元素与元素之间用逗号分开；
②一般不必考虑元素之间的顺序；
③集合中的元素可以是数，点，代数式等；
④列举法可表示有限集，也可以表示无限集.当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示；
⑤对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，像自然数集用列举法表示为.
用列举法表示下列集合：
①小于4的正偶数组成的集合；
②绝对值小于5的所有整数的集合；
③小于6的所有自然数的集合；
④方程的所有实数根组成的集合；
⑤方程组的实数解组成的集合.
【答案】①；②；③；④；⑤.
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
一般格式：，例如：.
说明：①弄清集合代表元素是数还是点、还是集合或其他形式？
例如：与是两个不同的集合.
②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：即代表整数集.
用描述法表示下列集合：
①由大于2小于等于26的所有奇数组成的集合；
②不等式的所有解组成的集合；
③抛物线上的点组成的集合.
【答案】①；②；③.
设集合，且,求的值.
【答案】.
【解析】，或，解得或.当时，中元素不满足互异性，故舍去，所以.
已知，若集合中恰有4个元素，则（ ）
B. C. D.
【答案】B.
【解析】若集合中恰有4个元素，则这4个元素为3，4,5,6，所以.
已知集合.
若，求的取值范围；
若中至多一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）若，则方程无解，所以且，解得；
（2）当时，集合中只有一个元素，满足题意；
当时，若要使中至多一个元素，则，解得.
综上，的取值范围为
设实数集满足下面两个条件：①；②若，则.
求证：若，则；
若，则在中必含有其它两个数，试求出这两个数；
求证：集合中至少有三个不同的元素.
【答案】（1）见解析；（2）和；（3）见解析.
【解析】（1）证明：若，则，则，即；
（2）若，则，则；
（3）由（1）知，，.
下证：三者两两互不相等.
①若，则，无实数根，故；
②若，则，无实数根，故；
③若，则，无实数根，故.
综上所述，集合中至少有三个不同的元素.
跟踪训练
下列说法正确的个数为（ ）
①集合与集合表示同一集合；②集合与集合 不是同一集合；③集合与集合是同一个集合；④集合和集合是同一集合；⑤集合和集合是同一集合；⑥方程的解集为.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】①正确，；②正确，，；③错误，前者是数集，后者是点集；④正确，集合元素具有无序性；⑤错误，两者均表示点集，但是点的坐标不同；⑥错误，方程的解为，，故解集为.综上，正确个数为3个，选C.
用列举法表示下列集合：
①；
②；
③.
【答案】①；②；③.
【解析】对于①②，要使，则，对应的，①中元素为，②中元素为，所以，；③表示上的点集，只有两个点，所以.
用描述法表示下列集合：
①正偶数集；
②大于2的实数；
③100以内能被3整除的正整数.
【答案】①；②；③.
已知且，则的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
已知集合，那么（ ）
B. C. D.
【答案】A
给出下列说法：
①集合用列举法表示为；②实数集可以表示为或；③方程组的解组成的集合为；
其中不正确的有 .（把所有不正确的说法的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】①错误，；②错误，正确的表示为或；③方程组的解组成的集合正确的表示为或.
若集合，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】若集合，则不等式无解.
当时，原不等式无解，故符合题意；
当时，无实数解，所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
设集合是两个非空数集，定义集合，若，，则中元素的个数为（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】B
【解析】根据题意，，选B.
定义集合运算：.设，，则集合中所有元素之和为（ ）
A.0 B.2 C.3 D.6
【答案】D
【解析】根据题意，，其所有元素之和为6，选D.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称集.
表示方法：一般用大写字母或大括号表示集合，用小写字母表示集合中的元素.
集合相等：构成两个集合的元素完全一样.
集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.
①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合就确定了.
例如：“之间的偶数”构成集合，是这个集合的元素，而就不是它的元素；“较大的数”、“漂亮的花”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现.
例如：方程的解构成的集合是，而不是.
③无序性：集合中的元素没有固定的顺序，元素可以任意排列.
例如：和是同一个集合.
元素与集合的关系：（分“属于”与“不属于”两种）
①如果是集合的元素，就说属于集合，记作；
②如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作.
集合的分类
常见数集的写法
下列指定的对象能构成集合的是 .
①大于2的整数；②所有的正小数；③所有的小正数；④的近似值；⑤高一年级优秀的学生；⑥方程的解；⑦这个数；
【答案】①②⑥
【解析】①②⑥中指定的对象满足集合元素的三个性质：确定性，互异性，无序性，能构成集合；③④⑤中指定的对象不满足集合元素的确定性，⑦中指定的对象不满足集合元素的互异性，不能构成集合.
用“”或“”填空.
① ； ② ； ③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ .
【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
（1）已知三个实数构成一个集合，求应该满足的条件.
已知集合的元素为，若且，求实数的值.
【答案】（1）且；（2）.
【解析】（1）由集合元素的互异性可得：，解得且；
（2）若且，则或，解得.
集合的表示
列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用大括号“”括起来表示集合的方法.
说明：
①书写时，元素与元素之间用逗号分开；
②一般不必考虑元素之间的顺序；
③集合中的元素可以是数，点，代数式等；
④列举法可表示有限集，也可以表示无限集.当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示；
⑤对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，像自然数集用列举法表示为.
用列举法表示下列集合：
①小于4的正偶数组成的集合；
②绝对值小于5的所有整数的集合；
③小于6的所有自然数的集合；
④方程的所有实数根组成的集合；
⑤方程组的实数解组成的集合.
【答案】①；②；③；④；⑤.
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
一般格式：，例如：.
说明：①弄清集合代表元素是数还是点、还是集合或其他形式？
例如：与是两个不同的集合.
②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：即代表整数集.
用描述法表示下列集合：
①由大于2小于等于26的所有奇数组成的集合；
②不等式的所有解组成的集合；
③抛物线上的点组成的集合.
【答案】①；②；③.
设集合，且,求的值.
【答案】.
【解析】，或，解得或.当时，中元素不满足互异性，故舍去，所以.
已知，若集合中恰有4个元素，则（ ）
B. C. D.
【答案】B.
【解析】若集合中恰有4个元素，则这4个元素为3，4,5,6，所以.
已知集合.
若，求的取值范围；
若中至多一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）若，则方程无解，所以且，解得；
（2）当时，集合中只有一个元素，满足题意；
当时，若要使中至多一个元素，则，解得.
综上，的取值范围为
设实数集满足下面两个条件：①；②若，则.
求证：若，则；
若，则在中必含有其它两个数，试求出这两个数；
求证：集合中至少有三个不同的元素.
【答案】（1）见解析；（2）和；（3）见解析.
【解析】（1）证明：若，则，则，即；
（2）若，则，则；
（3）由（1）知，，.
下证：三者两两互不相等.
①若，则，无实数根，故；
②若，则，无实数根，故；
③若，则，无实数根，故.
综上所述，集合中至少有三个不同的元素.
跟踪训练
下列说法正确的个数为（ ）
①集合与集合表示同一集合；②集合与集合 不是同一集合；③集合与集合是同一个集合；④集合和集合是同一集合；⑤集合和集合是同一集合；⑥方程的解集为.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】①正确，；②正确，，；③错误，前者是数集，后者是点集；④正确，集合元素具有无序性；⑤错误，两者均表示点集，但是点的坐标不同；⑥错误，方程的解为，，故解集为.综上，正确个数为3个，选C.
用列举法表示下列集合：
①；
②；
③.
【答案】①；②；③.
【解析】对于①②，要使，则，对应的，①中元素为，②中元素为，所以，；③表示上的点集，只有两个点，所以.
用描述法表示下列集合：
①正偶数集；
②大于2的实数；
③100以内能被3整除的正整数.
【答案】①；②；③.
已知且，则的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
已知集合，那么（ ）
B. C. D.
【答案】A
给出下列说法：
①集合用列举法表示为；②实数集可以表示为或；③方程组的解组成的集合为；
其中不正确的有 .（把所有不正确的说法的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】①错误，；②错误，正确的表示为或；③方程组的解组成的集合正确的表示为或.
若集合，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】若集合，则不等式无解.
当时，原不等式无解，故符合题意；
当时，无实数解，所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
设集合是两个非空数集，定义集合，若，，则中元素的个数为（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】B
【解析】根据题意，，选B.
定义集合运算：.设，，则集合中所有元素之和为（ ）
A.0 B.2 C.3 D.6
【答案】D
【解析】根据题意，，其所有元素之和为6，选D.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
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