河南省濮阳市南乐县2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份河南省濮阳市南乐县2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共21页。

1．本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟；
2．试题卷上不要答题，请用0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效；
3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. ，D.
3. 一元二次方程根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能判定
4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，是的直径，点，在上，，交于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
6. 在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A. ②④B. ①③C. ①③④D. ①②③④
8. 下面四个图中反比例函数表达式均为 ，则阴影部分的图形的面积为6的有（ ）
A. 4个B. 2个C. 3个D. 1个
9. 若函数 的图象经过第一、二、三象限，则二次函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共 15分）
11. 反比例函数图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是___．
12. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与B 之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．，求当双翼收起时，两机箱之间的宽度为______________．
13. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算______．
14. 如图为二次函数（）的图象，则下列说法正确的有_______．（填序号）
①；②；③；④当时， ．

15. 如图，△ABO的顶点A在函数的图象上，∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为________．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
17. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值．
18. 2023年9月23日晚，“第19届亚运会”开幕式在我国杭州隆重举行．小明和爸爸此次来杭州除了观看精彩比赛外，还想游览杭州的美景。由于时间关系，原计划去的乌镇和千岛湖只能去一个地方，他们决定不了．最后小刚提出用抽扑克牌的方式来决定．具体方法如下：把四张牌面数字分别是2、3、4、5的扑克牌背面向上放置于桌面上，洗匀后，小刚先从其中任意抽出一张，然后爸爸再从剩下的三张中任意抽出一张，如果两人的牌面数字之和大于7，那么去乌镇；否则，就去千岛湖．
（1）如果小刚抽出的牌面数字是4，那么他们去乌镇的概率为 ；
（2）请利用画树状图或列表的方法分析他们去乌镇和千岛湖哪个地方的概率大．
19. 如图，是切线，是 上一点，且．
（1）求证：是 的切线；
（2）交于点 ，若，，求的半径．
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点、平移后的对应点分别记为点，，当点在点右侧时，求线段的长度．
21. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个．
（1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式；
（2）如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？
（3）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？
22. 阅读下列材料，并解答问题：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程 ，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为： ，中间的小正方形面积为 ，所以大正方形的面积又可表示为 ，据此易得 ．

（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程 的正确构图是 ；（从序号①②③中选择）
（2）请你结合上述问题的学习，在图 2 的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据）写出解答过程；
（3）构图序号①对应的方程是 ．
23. 如图1，在中，，点D、E分别在边、上，，，．
（1）线段与之间的数量关系是 ；
（2）如图 2，若绕点A旋转，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）绕点 A 旋转至，且，求线段长．
1. 【答案】B
解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形．
故选：B．
2. 【答案】C
【详解】解：
移项得：，
∴，
∴，，
故选：C．
3.【答案】A
解：∵一元二次方程中，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4. 【答案】B
解：∵，
∴顶点坐标是：．
故选：B．
5. 【答案】C
解：是的直径，
．
，
，
．
，
．
，
故选C．
6. 【答案】B
解：根据题意列表如下．
由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故选：B．
7. 【答案】B
解：①半径相等的圆是等圆，故①正确；
②同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故②不正确；
③以长为半径圆有无数个，没有指定圆心，故③正确；
④平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确；
故选：B．
8. 【答案】D
解：第1个图中，阴影面积为3，故不符合题意；
第2个图中，阴影面积为，故不符合题意；
第3个图中，阴影面积为，故不符合题意；
第4个图中，阴影面积为，故符合题意；
故选：D．
9. 【答案】A
∵函数的图象经过一、二、三象限，
二次函数 中，，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的顶点位于y轴正半轴上，只有选项A符合题意．
故选：A．
10. 【答案】C
∵
A、当时，再由，可得出，故选项A不合题意；
B、当时，再由，可得出，故选项B不合题意；
C、当时，不是夹角，所以无法得出，故选项C符合题意；
D、当时，即，再由，故选项D不合题意；
故选：C．
11. 【答案】
解：∵反比例函数的图象当时，y随x的增大而增大，
∴k-2＜0，
∴．
故答案为：
12. 【答案】68
解：过点作于点，过点作于点，如图②，
，，
，
由对称性可知：，
通过闸机的物体最大宽度为，
故答案为：68．
13. 解：如图，在中，，，作的角平分线，作，
∴，，
∵，
设，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 【答案】②④##④②
解：①图象开口向下，可知 ，故①错误；
②对称轴在y轴右侧， ，则有，即，故②正确；
③当时，，则，
根据，可得：，
∴，
∴，
故③错误；
④由图可知，当，，故④正确．
综上可知正确的有②④，
故答案为：②④．
15. 【答案】
解：， ，


四边形MNQP的面积为3，







∵，
∴，
故答案为：．
16. 【答案】（1），；（2）2
解：（1），
，
，
∴，；
（2）
＝
＝
＝2．
17. 【答案】(1) 证明详见解析
(2). 的值为或
【小问1详解】
证明：∵，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
小问2详解】
解：由根与系数的关系，得，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴的值为：或．
18. 【答案】（1）
（2）小刚和爸爸去千岛湖的概率大
【小问1详解】
解：由题意得
爸爸可选的扑克为2、3、5的三种结果，其中数字之和大于的为，
；
故答案：；
【小问2详解】
解：列表如下：
共有12种等可能结果，其中两人的牌面数字之和大于7的结果有4种，小于或等于7的结果有8种，
两人的牌面数字之和大于的概率：，
两人的牌面数字之和小于或等于的概率：，
，
小刚和爸爸去千岛湖的概率大．
19. 【答案】（1）见解析 （2）
【小问1详解】
解：证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
【小问2详解】
设的半径为，
，
，
，
，
解得（不符合题意，舍去），
∴的半径为2．
20. 【答案】（1）；
（2）1或．
【小问1详解】
所求抛物线的对称轴为直线，且过点，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
令，得，
，
令，得，
解得，（舍去），
，
由平移的性质可知，且，
四边形为平行四边形，
点在点右侧时，只有两种情况，
点在点C右侧时，有两种情况，
①在抛物线上时：
令，则，
解得，（舍去），
∴，
∴，
∴；
②在x轴上时：
∵C到向下平移了6个单位，
∴A也向下平移了6个单位．
令，则，
解得，（舍去），
∴，
过点作轴于点D，
则，
∴ ，
∴长1或．
21. 【答案】（1）
（2）
（3）定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元
【小问1详解】
解：根据题意，得，
与之间的函数关系式：；
【小问2详解】
根据题意，得，
解得，
尽可能让利于顾客，
，
答：每个毛绒玩具售价应定为元；
【小问3详解】
，
获利不得高于进价的，，
，
，
当时，随着的增大而增大，
当时，最大，此时．
答：每个售价定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元．
22. 【答案】（1）③； （2）5；
（3）或．
【小问1详解】
将方程变形得：
∵，
∴需构造长比宽大4的四个小矩形且每个矩形的面积为21个平方单位．
∵对于①，长比宽大1，不符合题意；对于②，每个矩形的面积为个平方单位，不符合题意；对于③，长比宽大4且每个矩形的面积为21个平方单位，符合题意．
故答案为：③．
【小问2详解】
将方程变形为：，于是可构造如图2所示的图形，

图中的大正方形面积是，
其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，
所以大正方形的面积又可表示为，
进一步可知大正方形的边长为8，
所以，
解得．
【小问3详解】
构图序号①中，每个矩形的长与宽相差1个长度单位，如设长为x个长度单位，则宽为个长度单位；如设宽为x个长度单位，则长为个长度单位，每个矩形的面积为个平方单位．
∴构图序号①对应的方程是：或
故答案为：或．
23. 【答案】（1）；
（2）成立，证明详见解析；
（3）3或．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，则，
∴，
∴，则，
∴，则，
故答案为：；
【小问2详解】
成立，理由如下：
∵，
∴，即．
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
①如图3，在中，，，
∴，
∴，

∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
②同①四边形是平行四边形，

∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，长3或．
开关一
开关二
S1
S2
S3
S1
S2，S1
S3，S1
S2
S1，S2
S3，S2
S3
S1，S3
S2，S3
2
3
4
5
2


3
4
5