[数学][期末]福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期期末质量检测试卷(解析版)

这是一份[数学][期末]福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期期末质量检测试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】，
复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．
故选：D.
2. 某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A. 这组数据的平均数为8B. 这组数据的众数为7
C. 这组数据的极差为4D. 这组数据的第80百分位数为9
【答案】D
【解析】这组数据的平均数为，故A正确；
这组数据的众数为7，故B正确；
这组数据的极差为，故C正确；
将这组数据按照从小到大的顺序排列为，
因为，所以这组数据的第80百分位数为，故D错误.
故选：D.
3. 已知向量的夹角为，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】由题意知，
.
故选：A.
4. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为底面半径，所以底面周长，
又圆锥母线长，所以圆锥侧面积．
故选：A．
5. 已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，
因为向量在向量上的投影向量是，所以，
即，所以，
又因为，所以与的夹角是.
故选：A.
6. 学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记事件表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，
第次投进，事件表示“甲共投篮三次就结束考试”，
则.
故选：B.
7. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点，
取中点，连接，
由已知，、分别为、中点，
因为是直三棱柱，所以，且，
所以其，所以四边形为平行四边形，
又，所以为矩形，所以，
又，平面，平面，，
所以平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，，
所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为；
，在中，，
所以，设角，则有，
因为四边形为平行四边形，所以，
又因为因为是直三棱柱，所以，且，
所以，，
又因为平面， 平面，所以，
所以，即，解得，
所以点到平面的距离是.
故选：B.
8. 如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，设，则，
所以，
得，又，
所以，得，解得，
所以，故，，
设，则，
所以，
则
，
当时，取得最小值，且.
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A. 若，是共线的单位向量，则
B. 若，是相反向量，则
C. 若，则向量，共线
D. 若，则点，，，必在同一条直线上
【答案】BC
【解析】对于A，，是共线的单位向量，则或，A错误；
对于B，若，是相反向量，则，B正确；
对于C，，即，则向量，共线，C正确；
对于D，，点，，，可以不在同一直线上，D错误.
故选：BC.
10. 如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ）
A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C. A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为
【答案】ACD
【解析】依题意，，
对于A，A，B两个盒子畅通的概率为，A正确；
对于B，D，E两个盒子并联后畅通的概率为，B错误；
对于C，A，B，C三个盘子混联后畅通的概率为，C正确；
对于D，根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为，D正确.
故选：ACD.
11. 如图，已知二面角的棱上有两点，，且，则（ ）
A. 当时，直线与平面所成角的正弦值为
B. 当二面角的大小为时，直线与所成角为
C. 若，则三棱锥外接球的体积为
D. 若，则二面角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】对A选项：当时，因为，，
所以，所以直线与平面所成角为，
又因为，所以，
因为，，所以，
所以，故A正确；
对B选项：如图，过A作，且，连接，，
则四边形为正方形，所以，
所以（或其补角）即为直线与所成角，
因为，四边形为正方形，有，所以，
又因为，所以即为二面角的平面角，即，
由、、且、平面，
所以平面，又四边形为正方形，所以，
所以平面，又平面，所以.
由且四边形为正方形，，所以，
所以，即，即直线与所成角为，故B正确；
对于D，如图，作，且，
则二面角的平面角为，不妨取，
由，在中，易得，
在中，由余弦定理得，，
过C点作交线段的延长线于点O，则平面，
过O点作，交线段的延长线于点H，连接，
则为二面角的平面角，
易得，，，
所以，故D正确；
对C选项：同选项D可知，
如图，分别取线段，的中点G，M，连接，过G点作平面的垂线，
则球心必在该垂线上，设球的半径为R，则，
又的外接圆半径，而平面平面，
所以平面，即的长为点到平面的距离，则，
所以四面体的外接球的体积为，故C错误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若复数满足，则复数______．
【答案】
【解析】，所以.
故答案为：.
13. 为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第70百分位数为__________.
【答案】84.55
【解析】由题意得，
解得，
因为前4组数据的频率之和为，
前5组数据的频率之和为，
则分位数在内，设分位数为x，
则，解得，
所以分位数约为.
故答案为：.
14. 《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______.
【答案】
【解析】当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，
A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥，如图，
由
可得，，
即为正三角形，
所以外接圆圆心为三角形中心，
设三棱锥外接球球心为，连接，则平面，连接，，
在中作，垂足为，如图，
因为，，
所以是的中点，由矩形可知，
因为为三角形的中心，
所以，
在中，，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设锐角的内角，，的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）若，，求.
解：（1），
由正弦定理可得，则，
又在中，，，
又为锐角三角形，．
（2）在中，，，
由（1）知，，
所以由余弦定理，
，
则．
16. 如图，在三棱锥中，分别是棱的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求异面直线与所成角的余弦值.
解：（1）由已知得，又平面，平面，
因此∥平面.
（2）连结，
，
，
在中，由已知可得，而
即，
平面，平面，
平面.
（3）连结，由为的中点知，
直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角，
在中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线与所成角的所成角的余弦值是.
17. 2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
（2）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；
（3）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．
解：（1）由频率分布直方图可知，
成绩在内的频率为，
则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为人.
（2）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
所以成绩在分以下的学生所占的比例为，
成绩在分以下的学生所占的比例为，
所以成绩的分位数一定在内，即，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数为.
（3）因为，，，
所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人，
其中有人为航天达人，设为，
有人不是航天达人，设为，
则从6人中选择2人作为学生代表，
有，
共种，
其中2人均为航天达人为共种，
所以被选中的2人均为航天达人的概率为．
18. 如图①所示，在中，，D，E分别是AC，AB上的点，且．将沿DE折起到的位置，使，如图②所示．M是线段的中点，P是上的点，平面．
（1）求的值．
（2）证明：平面平面．
（3）求点P到平面的距离．
解：（1）令平面交棱于点，连接，由，平面，
平面，
则平面，而平面平面，平面，于是，
又平面，平面平面，平面，于是，
因此四边形是平行四边形，，而，，
所以.
（2）在图①的中，由，得，
于是，而，则，，
又M是线段的中点，则，，
由（1）得，则，，
则有，，因此，
显然，平面，则平面，
而，因此平面，又平面，则，
又平面，从而平面，又，
则平面，而平面，
所以平面平面.
（3）由（1）知，又平面，平面，则平面，
即点到平面的距离等于点到平面的距离
，
所以点P到平面的距离为.
19. 如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点.
（1）证明：.
（2）证明：平面平面.
（3）若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积.
解：（1）证明：如图，连接，与交于点，
因为平面平面，所以，
又因为，
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则，
因为平面，所以，
所以，即.
（2）证明：延长交于点，连接，
由中位线性质可得，因为，所以，
因为平面平面，
所以平面，
所以为的中点，则，
因为平面平面，所以平面，
因为，所以平面平面.
（3）设.因为，所以，则，，
设点到平面的距离为与平面所成的角为，
则，
因为，
，
所以，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时与平面所成的角最大，
的体积