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2024届高考物理一轮复习教案第十一章第2讲磁吃运动电荷带电体的作用（粤教版新教材）
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这是一份2024届高考物理一轮复习教案第十一章第2讲磁吃运动电荷带电体的作用（粤教版新教材），共13页。
考点一 对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力的定义
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，F＝0；
(2)v⊥B时，F＝qvB；
(3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ.
3．洛伦兹力的方向
(1)判定方法：左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v不一定垂直)
1．带电粒子在磁场中运动时，一定受到洛伦兹力的作用．( × )
2．若带电粒子经过磁场中某点时所受洛伦兹力为零，则该点的磁感应强度一定为零．( × )
3．洛伦兹力对运动电荷一定不做功．( √ )
4．带电粒子在A点受到的洛伦兹力比在B点大，则A点的磁感应强度比B点的大．( × )
洛伦兹力与电场力的比较
例1 图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相等的电流，方向如图所示．一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是( )
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
答案 B
解析 根据题意，由安培定则可知，b、d两通电直导线在O点产生的磁场相抵消，a、c两通电直导线在O点产生的磁场方向均向左，所以四根通电直导线在O点产生的合磁场方向向左，由左手定则可判断带正电粒子所受洛伦兹力的方向向下，B正确．
例2 (多选)两根导线通有大小相等、方向相同的电流，垂直穿过绝缘水平面，俯视图如图所示．O点是两导线在绝缘水平面内连线的中点，a、b是连线垂直平分线上到O点距离相等的两点．一可视为质点的带正电滑块以大小相等的初速度v0分别从a、b两点向O点运动过程中，下列说法正确的是( )
A．滑块在a、b两点受到的磁场力方向相同
B．滑块在a、b两点受到的磁场力方向相反
C．若水平面光滑，则滑块从a点出发后一定做曲线运动
D．若水平面粗糙，则滑块从b点出发后一定做减速运动
答案 AD
解析 根据安培定则知两导线连线的垂直平分线上，O点左侧的磁场方向竖直向下(俯视)，O点右侧的磁场方向竖直向上，根据左手定则可得，滑块在a、b两点受到的磁场力方向相同，故A正确，B错误；水平面光滑，滑块带正电荷，洛伦兹力垂直平面向里，水平面对滑块的支持力与洛伦兹力和重力的合力平衡，一定做直线运动，故C错误；若水平面粗糙，则滑块从b点出发后，由于摩擦力做负功，重力、支持力及洛伦兹力不做功，故一定做减速运动，故D正确．
考点二 洛伦兹力作用下带电体的运动
带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间的弹力随着变化(若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化)，最后若弹力减小到0，带电体离开接触面．
例3 (多选)如图所示，粗糙木板MN竖直固定在方向垂直纸面向里的匀强磁场中．t＝0时，一个质量为m、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速度竖直向下滑动，则物块运动的v－t图像可能是( )
答案 ACD
解析 设初速度为v0，则FN＝Bqv0，若满足mg＝f＝μFN，即mg＝μBqv0，物块向下做匀速运动，选项A正确；若mg>μBqv0，则物块开始有向下的加速度，由a＝eq \f(mg－μBqv,m)可知，随着速度增大，加速度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀速状态，选项D正确，B错误；若mg<μBqv0，则物块开始有向上的加速度，物块做减速运动，由a＝eq \f(μBqv－mg,m)可知，随着速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速状态，选项C正确．
例4 如图所示，质量为m、带电荷量为q的小球，在倾角为θ的光滑绝缘斜面上由静止开始下滑．图中虚线是左、右两侧匀强磁场(图中未画出)的分界线，左侧磁场的磁感应强度大小为eq \f(B,2)，右侧磁场的磁感应强度大小为B，两磁场的方向均垂直于纸面向外．当小球刚下滑至分界线时，对斜面的压力恰好为0.已知重力加速度为g，斜面足够长，小球可视为质点．
(1)判断小球带何种电荷；
(2)求小球沿斜面下滑的最大速度；
(3)求小球速度达到最大之前，在左侧磁场中下滑的距离L.
答案 (1)正电荷 (2)eq \f(2mgcs θ,qB) (3)eq \f(3m2gcs2θ,2q2B2sin θ)
解析 (1)根据题意，小球下滑过程中受到的洛伦兹力方向垂直斜面向上，根据左手定则可知小球带正电荷．
(2)当小球刚下滑至分界线时，对斜面的压力恰好为0，然后小球继续向下运动，在左侧区域当压力再次为零时，速度达到最大值，则有qvmeq \f(B,2)＝mgcs θ，解得vm＝eq \f(2mgcs θ,qB).
(3)当小球刚下滑至分界线时，对斜面的压力恰好为0，设此时速度为v ，则有qvB＝mgcs θ，解得v＝eq \f(mgcs θ,qB)，小球下滑的加速度满足mgsin θ＝ma，解得a＝gsin θ，根据2aL＝vm2－v2，可得L＝eq \f(3m2gcs2θ,2q2B2sin θ).
考点三 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动．
2．带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动．
(1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝eq \f(mv2,r).
(2)轨迹半径：r＝eq \f(mv,qB).
(3)周期：T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关．
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝eq \f(θ,2π)T.
(5)动能：Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(p2,2m)＝eq \f(Bqr2,2m).
3．当带电粒子的速度v与B的夹角为锐角时，带电粒子的运动轨迹为螺旋线．
例5 (多选)(2023·广东省汕头市模拟)科学家常在云室中加入铅板以降低运动粒子的速度．图示为物理学家安德森拍下的正电子在云室中运动的径迹，已知图示云室加垂直纸面方向的匀强磁场，由图可以判定( )
A．匀强磁场方向垂直纸面向外
B．正电子由上而下穿过铅板
C．正电子在铅板上、下磁场中运动角速度相同
D．正电子在铅板上、下磁场中运动时动量大小相等
答案 BC
解析 正电子在匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，由于正电子经过铅板后速度会减小，可知正电子经过铅板后的轨迹半径减小，从题图中可以看出正电子在铅板上方轨迹半径比下方轨迹半径大，故正电子由上而下穿过铅板，由左手定则判断匀强磁场方向垂直纸面向里，A错误，B正确；正电子经过铅板后速度会减小，则正电子经过铅板后动量减小，正电子在铅板上、下磁场中运动时动量大小不相等，D错误；正电子在磁场中做圆周运动的角速度为ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(qB,m)，可知正电子在铅板上、下磁场中运动的角速度相同，C正确．
例6 在探究射线性质的过程中，让质量为m1、带电荷量为2e的α粒子和质量为m2、带电荷量为e的β粒子，分别垂直于磁场方向射入同一匀强磁场中，发现两种粒子沿半径相同的圆轨道运动．则α粒子与β粒子的动能之比为( )
A.eq \f(m1,m2) B.eq \f(m2,m1) C.eq \f(m1,4m2) D.eq \f(4m2,m1)
答案 D
解析 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,r)，动能为Ek＝eq \f(1,2)mv2，联立可得Ek＝eq \f(q2B2r2,2m)，由题意知α粒子和β粒子所带电荷量之比为2∶1，故α粒子和β粒子的动能之比为eq \f(Ekα,Ekβ)＝eq \f(4m2,m1)，故D正确．
例7 (2019·全国卷Ⅲ·18)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为eq \f(1,2)B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为( )
A.eq \f(5πm,6qB) B.eq \f(7πm,6qB) C.eq \f(11πm,6qB) D.eq \f(13πm,6qB)
答案 B
解析 设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，
对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)、T＝eq \f(2πR,v)，可得R1＝eq \f(mv,qB)、R2＝eq \f(2mv,qB)、T1＝eq \f(2πm,qB)、T2＝eq \f(4πm,qB)，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝eq \f(T1,4)，在第一象限中运动的时间为t2＝eq \f(θ,2π)T2，又由几何关系有cs θ＝eq \f(R2－R1,R2)＝eq \f(1,2)，可得t2＝eq \f(T2,6)，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝eq \f(7πm,6qB)，选项B正确，A、C、D错误．
课时精练
1．(2023·浙江省高三模拟)一根通电直导线水平放置，通过直导线的恒定电流方向如图所示，现有一电子从直导线下方以水平向右的初速度v开始运动，不考虑电子重力，关于接下来电子的运动轨迹，下列说法正确的是( )
A．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变大
B．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变小
C．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变大
D．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变小
答案 B
解析 水平导线中通有恒定电流I，根据安培定则判断可知，导线上方的磁场方向垂直纸面向里，导线下方的磁场方向垂直纸面向外，由左手定则判断可知，导线下方的电子所受的洛伦兹力方向向上，则电子将向上偏转，其速率v不变，而离导线越近，磁场越强，磁感应强度B越大，由公式r＝eq \f(mv,qB)可知，电子的轨迹半径逐渐变小，故选B.
2.如图所示，氕核eq \\al(1,1)H和氘核eq \\al(2,1)H分别垂直进入同一匀强磁场中做匀速圆周运动，则( )
A．氕核和氘核做圆周运动的周期之比为2∶1
B．若入射速率相等，氕核和氘核做圆周运动的角速度相同
C．若质量和速率的乘积相等，氕核和氘核的轨迹半径相等
D．增大入射速率，它们的周期也会增大
答案 C
解析 粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝eq \f(2πm,qB)，代入氕核eq \\al(1,1)H和氘核eq \\al(2,1)H的比荷得氕核和氘核做圆周运动的周期之比为1∶2，A错误；粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)，ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(qB,m)，氕核和氘核的角速度之比为2∶1，与入射速率无关，B错误；由r＝eq \f(mv,qB)可知，若质量和速率的乘积相等，氕核和氘核的轨迹半径相等，C正确；由T＝eq \f(2πm,qB)可知，入射速率与周期无关，所以增大入射速率，它们的周期也不变，D错误．
3．(多选)(2023·广东珠海市第一中学月考)如图所示，用洛伦兹力演示仪研究带电粒子在匀强磁场中的运动，以虚线表示电极K释放出来的电子束的径迹．不加磁场，电子经加速后沿直线运动，如图甲所示；加磁场后电子束的径迹如图乙所示；再调节演示仪可得到图丙所示的电子束径迹．下列说法正确的是( )
A．施加的磁场方向为垂直纸面向里
B．在图乙基础上仅提高电子的加速电压，可得到图丙所示电子束径迹
C．在图乙基础上仅增大磁感应强度，可得到图丙所示电子束径迹
D．图乙与图丙中电子运动一周的时间一定不相等
答案 AC
解析 电子受洛伦兹力做顺时针方向的匀速圆周运动，根据左手定则可知施加的磁场方向为垂直纸面向里，A正确；由R＝eq \f(mv,eB)知，在题图乙基础上仅提高电子的加速电压，电子速度增大，电子的轨迹半径增大，不能得到题图丙所示电子束径迹；在题图乙基础上仅增大磁感应强度，电子的轨迹半径减小，可得到题图丙所示电子束径迹，B错误，C正确；若题图丙中的径迹仅仅是由于减小加速电压U才使得电子的轨迹半径减小，根据T＝eq \f(2πm,eB)，题图乙与题图丙中的电子运动一周的时间是相等的，D错误．
4.(多选)(2023·广东茂名市模拟)云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示带电粒子径迹的装置．云室中加了垂直于纸面向里的磁场，在一张云室中拍摄的照片中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹．关于a、b、c三条径迹判断正确的是( )
A．a、b、c都是负电子的径迹
B．a径迹对应的粒子动量最大
C．c径迹对应的粒子动能最大
D．c径迹对应的粒子运动时间最长
答案 AC
解析 带电粒子在垂直于纸面向里的磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c都是负电子的径迹，故A正确；带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)，解得R＝eq \f(mv,qB)，由题图可知Ra5.(2022·广东卷·7)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场．一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域．下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是( )
答案 A
解析 由题意知当质子垂直Oyz平面进入磁场后先在MN左侧运动，刚进入时根据左手定则可知受到y轴正方向的洛伦兹力，做匀速圆周运动，即质子会向y轴正方向偏移，y轴坐标增大，在MN右侧磁场方向反向，由对称性可知，A可能正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误．
6.(多选)(2023·广东广州市天河区综合测试)地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该剖面向里，如图所示．图中给出了速度在图示平面内，从O点沿平行与垂直地面2个不同方向入射的微观带电粒子(不计重力)在地磁场中的三条运动轨迹a、b、c，且它们都恰不能到达地面，则下列相关说法中正确的是( )
A．沿a轨迹运动的粒子带正电
B．若沿a、c两轨迹运动的是相同的粒子，则沿轨迹c运动的粒子速率更大
C．某种粒子运动轨迹为a，若它速率不变，只是改变入射地磁场的速度方向，则只要其速度在图示平面内，粒子可能到达地面
D．某种粒子运动轨迹为b，若它以相同的速率在图示平面内沿其他方向入射，则有可能到达地面
答案 BD
解析 由左手定则可知，沿a轨迹运动的粒子带负电，故A错误；若沿a、c两轨迹运动的是相同的粒子，由半径r＝eq \f(mv,Bq)可知，沿c轨迹运动的粒子半径更大，则沿轨迹c运动的粒子速率更大，故B正确；圆的直径为最长的弦，题图中直径时都到不了地面，则其他方向的也将不会到达地面，故C错误；由题图可知，当粒子入射的速度方向在题图所示平面内沿题图所示方向顺时针转动到某一角度时，可到达地面，故D正确．
7.(2023·江西省高三月考)如图，光滑绝缘的圆弧轨道MON固定在竖直平面内．O为其最低点，M、N等高，匀强磁场方向与轨道平面垂直．将一个带正电的小球自M点由静止释放，它在轨道上M、N间往复运动．下列说法中正确的是( )
A．小球在M点和N点时均处于平衡状态
B．小球由M到O所用的时间小于由N到O所用的时间
C．小球每次经过O点时对轨道的压力均相等
D．小球每次经过O点时所受合外力均相等
答案 D
解析 小球在M点和N点所受合力不为零，所以小球不能处于平衡状态，故A错误；由于洛伦兹力总是与运动方向垂直，又没有摩擦力，故对其速度大小有影响的只有重力，故小球无论从哪边滚下，到O点所用时间都是一样的，故B错误；根据机械能守恒定律，小球每次经过最低点的速度大小相等，由F合＝meq \f(v2,r)可知，F合大小相等，故D正确；小球在最低点时受重力、支持力和洛伦兹力三个力的作用，从N到M时，在O点有F1－mg－F洛＝meq \f(v2,r)，轨道所受的压力大小为F1′＝F1，小球从M到N时，在O点有F2＋F洛－mg＝meq \f(v2,r)，故轨道所受的压力大小为F2′＝F2，所以小球经过最低点时对轨道的压力大小不相等，故C错误．
8.如图所示，一个粗糙且足够长的斜面体静止于水平面上，并处于方向垂直纸面向外且磁感应强度大小为B的匀强磁场中，质量为m、带电荷量为＋Q的小滑块从斜面顶端由静止下滑，在滑块下滑的过程中，斜面体静止不动．下列说法中正确的是( )
A．滑块受到的摩擦力逐渐增大
B．滑块沿斜面向下做匀加速直线运动
C．滑块最终要离开斜面
D．滑块最终可能静止于斜面上
答案 C
解析 滑块受重力、支持力、垂直于斜面向上的洛伦兹力和沿斜面向上的摩擦力四个力的作用，初始时刻洛伦兹力为0，滑块沿斜面向下加速运动，随着速度v的增大，洛伦兹力增大，滑块受到的支持力减小，则摩擦力减小，加速度增大，当qvB＝mgcs θ时，滑块离开斜面，故C正确，A、B、D错误．
9．(多选)如图所示，空间有一垂直纸面向外、磁感应强度大小为0.5 T的匀强磁场，一质量为0.2 kg且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为0.1 kg、带电荷量q＝＋0.2 C的滑块，滑块与绝缘木板之间的动摩擦因数为0.5，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．现对木板施加方向水平向左、大小为0.6 N的恒力，g取10 m/s2，则( )
A．木板和滑块一直做加速度为2 m/s2的匀加速运动
B．滑块开始做匀加速直线运动，然后做加速度减小的变加速运动，最后做匀速运动
C．最终木板做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，滑块做速度为10 m/s的匀速直线运动
D．最终木板做加速度为3 m/s2的匀加速直线运动，滑块做速度为10 m/s的匀速直线运动
答案 BD
10.(多选)如图所示，一磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直纸面向里，且范围足够大．纸面上M、N两点之间的距离为d，一质量为m的带电粒子(不计重力)以水平速度v0从M点垂直进入磁场后会经过N点，已知M、N两点连线与速度v0的方向成30°角．以下说法正确的是( )
A．粒子可能带负电
B．粒子一定带正电，电荷量为eq \f(mv0,dB)
C．粒子从M点运动到N点的时间可能是eq \f(πd,3v0)
D．粒子从M点运动到N点的时间可能是eq \f(13πd,3v0)
答案 BCD
解析 由左手定则可知，粒子带正电，选项A错误；由几何关系可知，r＝d，由qv0B＝meq \f(v02,r)可知电荷量为q＝eq \f(mv0,dB)，选项B正确；粒子运动的周期T＝eq \f(2πd,v0)，第一次到达N点的时间为t1＝eq \f(1,6)T＝eq \f(πd,3v0)，粒子第三次到达N点的时间为t2＝2T＋t1＝eq \f(4πd,v0)＋eq \f(πd,3v0)＝eq \f(13πd,3v0)，选项C、D正确．
11.(2023·广东省高三联考)如图所示，在直角坐标系xOy中有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子(不计粒子受到的重力)从原点O以大小为v的初速度沿x轴正方向射入磁场，粒子恰好能通过坐标为(3L,4L)的P点．磁场的磁感应强度大小为( )
A.eq \f(3mv,4qL)B.eq \f(4mv,3qL)
C.eq \f(8mv,25qL)D.eq \f(25mv,8qL)
答案 C
解析 粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，根据几何关系可知cs θ＝eq \f(4L,5L)＝eq \f(4,5)，R＝eq \f(\f(5L,2),cs θ)＝eq \f(25,8)L，又因为qvB＝meq \f(v2,R)，解得B＝eq \f(8mv,25qL)，故A、B、D错误，C正确．
12．(2023·广东省模拟)如图甲所示，水平传送带足够长，沿顺时针方向匀速转动，某绝缘带电物块无初速度地从最左端放上传送带．该装置处于垂直纸面向外的匀强磁场中，物块运动的v－t图像如图乙所示．物块所带电荷量保持不变，下列说法正确的是( )
A．物块带正电
B．1 s后物块与传送带共速，所以传送带的速度为0.5 m/s
C．传送带的速度可能比0.5 m/s大
D．若增大传送带的速度，其他条件不变，则物块最终达到的最大速度也会增大
答案 C
解析 在第1 s内，图像的斜率减小，物块的加速度减小，所受滑动摩擦力减小，对传送带的压力减小，而物块做加速运动，所受洛伦兹力增大，所以洛伦兹力一定竖直向上，由左手定则可知，物块一定带负电，A错误；物块达到最大速度的条件是摩擦力等于零，不再加速，所以1 s末物块与传送带间的摩擦力恰好为零，此时物块的速度为0.5 m/s，传送带的速度可能是0.5 m/s，也可能大于0.5 m/s，B错误，C正确；若传送带的速度小于0.5 m/s，物块最终达到的最大速度随着传送带速度的增大而增大；若传送带的速度等于0.5 m/s，则物块的最大速度等于0.5 m/s；若传送带的速度大于0.5 m/s，无论传送带的速度多大，物块加速到0.5 m/s时都不再加速，即物块的最大速度等于0.5 m/s，D错误．洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
(说明：运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用)
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场方向的关系
F⊥B(且F⊥v)
F∥E
做功情况
任何情况下都不做功
可能做功，也可能不做功
考点一 对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力的定义
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，F＝0；
(2)v⊥B时，F＝qvB；
(3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ.
3．洛伦兹力的方向
(1)判定方法：左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v不一定垂直)
1．带电粒子在磁场中运动时，一定受到洛伦兹力的作用．( × )
2．若带电粒子经过磁场中某点时所受洛伦兹力为零，则该点的磁感应强度一定为零．( × )
3．洛伦兹力对运动电荷一定不做功．( √ )
4．带电粒子在A点受到的洛伦兹力比在B点大，则A点的磁感应强度比B点的大．( × )
洛伦兹力与电场力的比较
例1 图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相等的电流，方向如图所示．一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是( )
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
答案 B
解析 根据题意，由安培定则可知，b、d两通电直导线在O点产生的磁场相抵消，a、c两通电直导线在O点产生的磁场方向均向左，所以四根通电直导线在O点产生的合磁场方向向左，由左手定则可判断带正电粒子所受洛伦兹力的方向向下，B正确．
例2 (多选)两根导线通有大小相等、方向相同的电流，垂直穿过绝缘水平面，俯视图如图所示．O点是两导线在绝缘水平面内连线的中点，a、b是连线垂直平分线上到O点距离相等的两点．一可视为质点的带正电滑块以大小相等的初速度v0分别从a、b两点向O点运动过程中，下列说法正确的是( )
A．滑块在a、b两点受到的磁场力方向相同
B．滑块在a、b两点受到的磁场力方向相反
C．若水平面光滑，则滑块从a点出发后一定做曲线运动
D．若水平面粗糙，则滑块从b点出发后一定做减速运动
答案 AD
解析 根据安培定则知两导线连线的垂直平分线上，O点左侧的磁场方向竖直向下(俯视)，O点右侧的磁场方向竖直向上，根据左手定则可得，滑块在a、b两点受到的磁场力方向相同，故A正确，B错误；水平面光滑，滑块带正电荷，洛伦兹力垂直平面向里，水平面对滑块的支持力与洛伦兹力和重力的合力平衡，一定做直线运动，故C错误；若水平面粗糙，则滑块从b点出发后，由于摩擦力做负功，重力、支持力及洛伦兹力不做功，故一定做减速运动，故D正确．
考点二 洛伦兹力作用下带电体的运动
带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间的弹力随着变化(若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化)，最后若弹力减小到0，带电体离开接触面．
例3 (多选)如图所示，粗糙木板MN竖直固定在方向垂直纸面向里的匀强磁场中．t＝0时，一个质量为m、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速度竖直向下滑动，则物块运动的v－t图像可能是( )
答案 ACD
解析 设初速度为v0，则FN＝Bqv0，若满足mg＝f＝μFN，即mg＝μBqv0，物块向下做匀速运动，选项A正确；若mg>μBqv0，则物块开始有向下的加速度，由a＝eq \f(mg－μBqv,m)可知，随着速度增大，加速度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀速状态，选项D正确，B错误；若mg<μBqv0，则物块开始有向上的加速度，物块做减速运动，由a＝eq \f(μBqv－mg,m)可知，随着速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速状态，选项C正确．
例4 如图所示，质量为m、带电荷量为q的小球，在倾角为θ的光滑绝缘斜面上由静止开始下滑．图中虚线是左、右两侧匀强磁场(图中未画出)的分界线，左侧磁场的磁感应强度大小为eq \f(B,2)，右侧磁场的磁感应强度大小为B，两磁场的方向均垂直于纸面向外．当小球刚下滑至分界线时，对斜面的压力恰好为0.已知重力加速度为g，斜面足够长，小球可视为质点．
(1)判断小球带何种电荷；
(2)求小球沿斜面下滑的最大速度；
(3)求小球速度达到最大之前，在左侧磁场中下滑的距离L.
答案 (1)正电荷 (2)eq \f(2mgcs θ,qB) (3)eq \f(3m2gcs2θ,2q2B2sin θ)
解析 (1)根据题意，小球下滑过程中受到的洛伦兹力方向垂直斜面向上，根据左手定则可知小球带正电荷．
(2)当小球刚下滑至分界线时，对斜面的压力恰好为0，然后小球继续向下运动，在左侧区域当压力再次为零时，速度达到最大值，则有qvmeq \f(B,2)＝mgcs θ，解得vm＝eq \f(2mgcs θ,qB).
(3)当小球刚下滑至分界线时，对斜面的压力恰好为0，设此时速度为v ，则有qvB＝mgcs θ，解得v＝eq \f(mgcs θ,qB)，小球下滑的加速度满足mgsin θ＝ma，解得a＝gsin θ，根据2aL＝vm2－v2，可得L＝eq \f(3m2gcs2θ,2q2B2sin θ).
考点三 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动．
2．带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动．
(1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝eq \f(mv2,r).
(2)轨迹半径：r＝eq \f(mv,qB).
(3)周期：T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关．
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝eq \f(θ,2π)T.
(5)动能：Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(p2,2m)＝eq \f(Bqr2,2m).
3．当带电粒子的速度v与B的夹角为锐角时，带电粒子的运动轨迹为螺旋线．
例5 (多选)(2023·广东省汕头市模拟)科学家常在云室中加入铅板以降低运动粒子的速度．图示为物理学家安德森拍下的正电子在云室中运动的径迹，已知图示云室加垂直纸面方向的匀强磁场，由图可以判定( )
A．匀强磁场方向垂直纸面向外
B．正电子由上而下穿过铅板
C．正电子在铅板上、下磁场中运动角速度相同
D．正电子在铅板上、下磁场中运动时动量大小相等
答案 BC
解析 正电子在匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，由于正电子经过铅板后速度会减小，可知正电子经过铅板后的轨迹半径减小，从题图中可以看出正电子在铅板上方轨迹半径比下方轨迹半径大，故正电子由上而下穿过铅板，由左手定则判断匀强磁场方向垂直纸面向里，A错误，B正确；正电子经过铅板后速度会减小，则正电子经过铅板后动量减小，正电子在铅板上、下磁场中运动时动量大小不相等，D错误；正电子在磁场中做圆周运动的角速度为ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(qB,m)，可知正电子在铅板上、下磁场中运动的角速度相同，C正确．
例6 在探究射线性质的过程中，让质量为m1、带电荷量为2e的α粒子和质量为m2、带电荷量为e的β粒子，分别垂直于磁场方向射入同一匀强磁场中，发现两种粒子沿半径相同的圆轨道运动．则α粒子与β粒子的动能之比为( )
A.eq \f(m1,m2) B.eq \f(m2,m1) C.eq \f(m1,4m2) D.eq \f(4m2,m1)
答案 D
解析 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,r)，动能为Ek＝eq \f(1,2)mv2，联立可得Ek＝eq \f(q2B2r2,2m)，由题意知α粒子和β粒子所带电荷量之比为2∶1，故α粒子和β粒子的动能之比为eq \f(Ekα,Ekβ)＝eq \f(4m2,m1)，故D正确．
例7 (2019·全国卷Ⅲ·18)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为eq \f(1,2)B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为( )
A.eq \f(5πm,6qB) B.eq \f(7πm,6qB) C.eq \f(11πm,6qB) D.eq \f(13πm,6qB)
答案 B
解析 设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，
对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)、T＝eq \f(2πR,v)，可得R1＝eq \f(mv,qB)、R2＝eq \f(2mv,qB)、T1＝eq \f(2πm,qB)、T2＝eq \f(4πm,qB)，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝eq \f(T1,4)，在第一象限中运动的时间为t2＝eq \f(θ,2π)T2，又由几何关系有cs θ＝eq \f(R2－R1,R2)＝eq \f(1,2)，可得t2＝eq \f(T2,6)，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝eq \f(7πm,6qB)，选项B正确，A、C、D错误．
课时精练
1．(2023·浙江省高三模拟)一根通电直导线水平放置，通过直导线的恒定电流方向如图所示，现有一电子从直导线下方以水平向右的初速度v开始运动，不考虑电子重力，关于接下来电子的运动轨迹，下列说法正确的是( )
A．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变大
B．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变小
C．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变大
D．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变小
答案 B
解析 水平导线中通有恒定电流I，根据安培定则判断可知，导线上方的磁场方向垂直纸面向里，导线下方的磁场方向垂直纸面向外，由左手定则判断可知，导线下方的电子所受的洛伦兹力方向向上，则电子将向上偏转，其速率v不变，而离导线越近，磁场越强，磁感应强度B越大，由公式r＝eq \f(mv,qB)可知，电子的轨迹半径逐渐变小，故选B.
2.如图所示，氕核eq \\al(1,1)H和氘核eq \\al(2,1)H分别垂直进入同一匀强磁场中做匀速圆周运动，则( )
A．氕核和氘核做圆周运动的周期之比为2∶1
B．若入射速率相等，氕核和氘核做圆周运动的角速度相同
C．若质量和速率的乘积相等，氕核和氘核的轨迹半径相等
D．增大入射速率，它们的周期也会增大
答案 C
解析 粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝eq \f(2πm,qB)，代入氕核eq \\al(1,1)H和氘核eq \\al(2,1)H的比荷得氕核和氘核做圆周运动的周期之比为1∶2，A错误；粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)，ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(qB,m)，氕核和氘核的角速度之比为2∶1，与入射速率无关，B错误；由r＝eq \f(mv,qB)可知，若质量和速率的乘积相等，氕核和氘核的轨迹半径相等，C正确；由T＝eq \f(2πm,qB)可知，入射速率与周期无关，所以增大入射速率，它们的周期也不变，D错误．
3．(多选)(2023·广东珠海市第一中学月考)如图所示，用洛伦兹力演示仪研究带电粒子在匀强磁场中的运动，以虚线表示电极K释放出来的电子束的径迹．不加磁场，电子经加速后沿直线运动，如图甲所示；加磁场后电子束的径迹如图乙所示；再调节演示仪可得到图丙所示的电子束径迹．下列说法正确的是( )
A．施加的磁场方向为垂直纸面向里
B．在图乙基础上仅提高电子的加速电压，可得到图丙所示电子束径迹
C．在图乙基础上仅增大磁感应强度，可得到图丙所示电子束径迹
D．图乙与图丙中电子运动一周的时间一定不相等
答案 AC
解析 电子受洛伦兹力做顺时针方向的匀速圆周运动，根据左手定则可知施加的磁场方向为垂直纸面向里，A正确；由R＝eq \f(mv,eB)知，在题图乙基础上仅提高电子的加速电压，电子速度增大，电子的轨迹半径增大，不能得到题图丙所示电子束径迹；在题图乙基础上仅增大磁感应强度，电子的轨迹半径减小，可得到题图丙所示电子束径迹，B错误，C正确；若题图丙中的径迹仅仅是由于减小加速电压U才使得电子的轨迹半径减小，根据T＝eq \f(2πm,eB)，题图乙与题图丙中的电子运动一周的时间是相等的，D错误．
4.(多选)(2023·广东茂名市模拟)云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示带电粒子径迹的装置．云室中加了垂直于纸面向里的磁场，在一张云室中拍摄的照片中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹．关于a、b、c三条径迹判断正确的是( )
A．a、b、c都是负电子的径迹
B．a径迹对应的粒子动量最大
C．c径迹对应的粒子动能最大
D．c径迹对应的粒子运动时间最长
答案 AC
解析 带电粒子在垂直于纸面向里的磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c都是负电子的径迹，故A正确；带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)，解得R＝eq \f(mv,qB)，由题图可知Ra
答案 A
解析 由题意知当质子垂直Oyz平面进入磁场后先在MN左侧运动，刚进入时根据左手定则可知受到y轴正方向的洛伦兹力，做匀速圆周运动，即质子会向y轴正方向偏移，y轴坐标增大，在MN右侧磁场方向反向，由对称性可知，A可能正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误．
6.(多选)(2023·广东广州市天河区综合测试)地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该剖面向里，如图所示．图中给出了速度在图示平面内，从O点沿平行与垂直地面2个不同方向入射的微观带电粒子(不计重力)在地磁场中的三条运动轨迹a、b、c，且它们都恰不能到达地面，则下列相关说法中正确的是( )
A．沿a轨迹运动的粒子带正电
B．若沿a、c两轨迹运动的是相同的粒子，则沿轨迹c运动的粒子速率更大
C．某种粒子运动轨迹为a，若它速率不变，只是改变入射地磁场的速度方向，则只要其速度在图示平面内，粒子可能到达地面
D．某种粒子运动轨迹为b，若它以相同的速率在图示平面内沿其他方向入射，则有可能到达地面
答案 BD
解析 由左手定则可知，沿a轨迹运动的粒子带负电，故A错误；若沿a、c两轨迹运动的是相同的粒子，由半径r＝eq \f(mv,Bq)可知，沿c轨迹运动的粒子半径更大，则沿轨迹c运动的粒子速率更大，故B正确；圆的直径为最长的弦，题图中直径时都到不了地面，则其他方向的也将不会到达地面，故C错误；由题图可知，当粒子入射的速度方向在题图所示平面内沿题图所示方向顺时针转动到某一角度时，可到达地面，故D正确．
7.(2023·江西省高三月考)如图，光滑绝缘的圆弧轨道MON固定在竖直平面内．O为其最低点，M、N等高，匀强磁场方向与轨道平面垂直．将一个带正电的小球自M点由静止释放，它在轨道上M、N间往复运动．下列说法中正确的是( )
A．小球在M点和N点时均处于平衡状态
B．小球由M到O所用的时间小于由N到O所用的时间
C．小球每次经过O点时对轨道的压力均相等
D．小球每次经过O点时所受合外力均相等
答案 D
解析 小球在M点和N点所受合力不为零，所以小球不能处于平衡状态，故A错误；由于洛伦兹力总是与运动方向垂直，又没有摩擦力，故对其速度大小有影响的只有重力，故小球无论从哪边滚下，到O点所用时间都是一样的，故B错误；根据机械能守恒定律，小球每次经过最低点的速度大小相等，由F合＝meq \f(v2,r)可知，F合大小相等，故D正确；小球在最低点时受重力、支持力和洛伦兹力三个力的作用，从N到M时，在O点有F1－mg－F洛＝meq \f(v2,r)，轨道所受的压力大小为F1′＝F1，小球从M到N时，在O点有F2＋F洛－mg＝meq \f(v2,r)，故轨道所受的压力大小为F2′＝F2，所以小球经过最低点时对轨道的压力大小不相等，故C错误．
8.如图所示，一个粗糙且足够长的斜面体静止于水平面上，并处于方向垂直纸面向外且磁感应强度大小为B的匀强磁场中，质量为m、带电荷量为＋Q的小滑块从斜面顶端由静止下滑，在滑块下滑的过程中，斜面体静止不动．下列说法中正确的是( )
A．滑块受到的摩擦力逐渐增大
B．滑块沿斜面向下做匀加速直线运动
C．滑块最终要离开斜面
D．滑块最终可能静止于斜面上
答案 C
解析 滑块受重力、支持力、垂直于斜面向上的洛伦兹力和沿斜面向上的摩擦力四个力的作用，初始时刻洛伦兹力为0，滑块沿斜面向下加速运动，随着速度v的增大，洛伦兹力增大，滑块受到的支持力减小，则摩擦力减小，加速度增大，当qvB＝mgcs θ时，滑块离开斜面，故C正确，A、B、D错误．
9．(多选)如图所示，空间有一垂直纸面向外、磁感应强度大小为0.5 T的匀强磁场，一质量为0.2 kg且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为0.1 kg、带电荷量q＝＋0.2 C的滑块，滑块与绝缘木板之间的动摩擦因数为0.5，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．现对木板施加方向水平向左、大小为0.6 N的恒力，g取10 m/s2，则( )
A．木板和滑块一直做加速度为2 m/s2的匀加速运动
B．滑块开始做匀加速直线运动，然后做加速度减小的变加速运动，最后做匀速运动
C．最终木板做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，滑块做速度为10 m/s的匀速直线运动
D．最终木板做加速度为3 m/s2的匀加速直线运动，滑块做速度为10 m/s的匀速直线运动
答案 BD
10.(多选)如图所示，一磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直纸面向里，且范围足够大．纸面上M、N两点之间的距离为d，一质量为m的带电粒子(不计重力)以水平速度v0从M点垂直进入磁场后会经过N点，已知M、N两点连线与速度v0的方向成30°角．以下说法正确的是( )
A．粒子可能带负电
B．粒子一定带正电，电荷量为eq \f(mv0,dB)
C．粒子从M点运动到N点的时间可能是eq \f(πd,3v0)
D．粒子从M点运动到N点的时间可能是eq \f(13πd,3v0)
答案 BCD
解析 由左手定则可知，粒子带正电，选项A错误；由几何关系可知，r＝d，由qv0B＝meq \f(v02,r)可知电荷量为q＝eq \f(mv0,dB)，选项B正确；粒子运动的周期T＝eq \f(2πd,v0)，第一次到达N点的时间为t1＝eq \f(1,6)T＝eq \f(πd,3v0)，粒子第三次到达N点的时间为t2＝2T＋t1＝eq \f(4πd,v0)＋eq \f(πd,3v0)＝eq \f(13πd,3v0)，选项C、D正确．
11.(2023·广东省高三联考)如图所示，在直角坐标系xOy中有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子(不计粒子受到的重力)从原点O以大小为v的初速度沿x轴正方向射入磁场，粒子恰好能通过坐标为(3L,4L)的P点．磁场的磁感应强度大小为( )
A.eq \f(3mv,4qL)B.eq \f(4mv,3qL)
C.eq \f(8mv,25qL)D.eq \f(25mv,8qL)
答案 C
解析 粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，根据几何关系可知cs θ＝eq \f(4L,5L)＝eq \f(4,5)，R＝eq \f(\f(5L,2),cs θ)＝eq \f(25,8)L，又因为qvB＝meq \f(v2,R)，解得B＝eq \f(8mv,25qL)，故A、B、D错误，C正确．
12．(2023·广东省模拟)如图甲所示，水平传送带足够长，沿顺时针方向匀速转动，某绝缘带电物块无初速度地从最左端放上传送带．该装置处于垂直纸面向外的匀强磁场中，物块运动的v－t图像如图乙所示．物块所带电荷量保持不变，下列说法正确的是( )
A．物块带正电
B．1 s后物块与传送带共速，所以传送带的速度为0.5 m/s
C．传送带的速度可能比0.5 m/s大
D．若增大传送带的速度，其他条件不变，则物块最终达到的最大速度也会增大
答案 C
解析 在第1 s内，图像的斜率减小，物块的加速度减小，所受滑动摩擦力减小，对传送带的压力减小，而物块做加速运动，所受洛伦兹力增大，所以洛伦兹力一定竖直向上，由左手定则可知，物块一定带负电，A错误；物块达到最大速度的条件是摩擦力等于零，不再加速，所以1 s末物块与传送带间的摩擦力恰好为零，此时物块的速度为0.5 m/s，传送带的速度可能是0.5 m/s，也可能大于0.5 m/s，B错误，C正确；若传送带的速度小于0.5 m/s，物块最终达到的最大速度随着传送带速度的增大而增大；若传送带的速度等于0.5 m/s，则物块的最大速度等于0.5 m/s；若传送带的速度大于0.5 m/s，无论传送带的速度多大，物块加速到0.5 m/s时都不再加速，即物块的最大速度等于0.5 m/s，D错误．洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
(说明：运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用)
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场方向的关系
F⊥B(且F⊥v)
F∥E
做功情况
任何情况下都不做功
可能做功，也可能不做功
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