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2024届高考物理一轮复习教案第四章抛体运动与圆周运动第2讲抛体运动（粤教版新教材）
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这是一份2024届高考物理一轮复习教案第四章抛体运动与圆周运动第2讲抛体运动（粤教版新教材），共15页。
2.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题.3.会处理平抛运动中的临界、极值问题．
考点一 平抛运动的规律及应用
平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：化曲为直
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动．
4．基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy.
1．平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直．( × )
2．相等时间内做平抛运动的物体速度变化量相同．( √ )
3．相等时间内做平抛运动的物体速度大小变化相同．( × )
1．平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
2．两个推论：
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α .
例1 (多选)a、b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台上的时间分别为ta、tb，则( )
A．va＞vb B．va＜vb
C．ta＞tb D．ta＜tb
答案 AD
解析 由题图知，hb＞ha，因为h＝eq \f(1,2)gt2，所以ta＜tb，又因为x＝v0t，且xa＞xb，所以va＞vb，选项A、D正确．
例2 (2023·广东江门市模拟)如图所示，滑板运动员以速度v0从离地高h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是( )
A．v0越大，运动员在空中运动时间越长
B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大
C．运动员落地瞬间速度与高度h无关
D．运动员落地位置与v0大小无关
答案 B
解析 由t＝eq \r(\f(2h,g))可知运动员在空中运动时间与v0无关，故A错误；由动能定理mgh＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02，得v＝eq \r(v02＋2gh)，可知v0越大，h越大，运动员落地瞬间速度越大，故B正确，C错误；由x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，知运动员落地位置与v0大小有关，故D错误．
考点二 与斜面或圆弧面有关的平抛运动
考向1 与斜面有关的平抛运动
例3 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面顶端P以速度v0拋出一个小球(可视为质点)，落在斜面上某处，记为Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是( )
A．夹角α将变大
B．夹角α与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．PQ间距是原来间距的3倍
答案 B
解析 根据tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)，解得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，初速度变为原来的2倍，则小球在空中的运动时间变为原来的2倍，C错误；根据x＝v0t＝eq \f(2v02tan θ,g)知，初速度变为原来的2倍，则水平位移变为原来的4倍，且PQ＝eq \f(x,cs θ)，故PQ间距变为原来间距的4倍，D错误；末速度与水平方向夹角的正切值tan β＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)＝2tan θ，可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向夹角不变，则末速度与水平方向夹角不变，由几何关系可知α不变，与初速度大小无关，A错误，B正确．
例4 如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出．球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上．已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则( )
A．t1∶t2＝1∶2 B．t1∶t2＝1∶3
C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1
答案 C
解析 由题意可得，对球1，有tan α＝eq \f(\f(1,2)gt12,v0t1)＝eq \f(gt1,2v0)，对球2，有tan β＝eq \f(v0,gt2)，又tan α·tan β＝1，联立解得t1∶t2＝2∶1，A、B、D错误，C正确．
考向2 与圆弧面有关的平抛运动
例5 (2023·广东汕头市模拟)水车是中国古代常用的一种农用工具，水车的简易模型如图所示，水流自水平的水管流出，水流轨迹与水车的边缘相切，使轮子连续转动，水到达轮子边缘时的速度与轮子边缘的线速度近似认为相同，切点对应的半径与水平方向成37°角．若水管出水口水流的流速v0＝6 m/s，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，下列说法正确的是( )
A．水流从水管流出到与水车的边缘相切，经过了0.6 s
B．水流从水管流出到与水车的边缘相切，下落了5 m
C．轮子边缘的线速度大小为10 m/s
D．水流与水车的边缘相切时，速度大小为8 m/s
答案 C
解析 水到达轮子边缘时的速度与轮子边缘的线速度近似认为相同，切点对应的半径与水平方向成37°角，在切点根据几何关系tan 37°＝eq \f(v0,gt)，解得t＝0.8 s，下落了h＝eq \f(1,2)gt2＝3.2 m，故A、B错误；轮子边缘的线速度大小为v＝eq \r(v02＋gt2)＝10 m/s，水流与水车的边缘相切时，速度大小为10 m/s，故C正确，D错误．
考点三 平抛运动的临界和极值问题
1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好为某一方向．
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．
考向1 平抛运动的临界问题
例6 如图所示，一网球运动员将网球(可视为质点)从O点水平向右击出，网球恰好擦网通过落在对方场地的A点，A点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍．已知球网的高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力，则网球击出后在空中飞行的时间为( )
A.eq \r(\f(3h,g))B.eq \f(3,2)eq \r(\f(h,g))
C.eq \r(\f(5h,2g))D.eq \f(3,2)eq \r(\f(2h,g))
答案 B
解析 设网球击出后在空中飞行的时间为t，因为A点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍，所以网球从击球点运动到球网的时间为eq \f(t,3)，则H＝eq \f(1,2)gt2，H－h＝eq \f(1,2)g(eq \f(t,3))2，联立解得t＝eq \f(3,2)eq \r(\f(h,g))，故选B.
考向2 平抛运动的极值问题
例7 某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( )
A．0 B．0.1 m
C．0.2 m D．0.3 m
答案 C
解析 小球从最高点到右端出口，机械能守恒，有mg(H－h)＝eq \f(1,2)mv2，从右端出口飞出后，小球做平抛运动，有x＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2，联立解得x＝2eq \r(H－hh)，根据数学知识可知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－
0.8 m＝0.2 m，故C正确．
考点四 斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cs θ)t①
vx＝v0x＝v0cs θ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－eq \f(1,2)gt2＝(v0sin θ)t－eq \f(1,2)gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④
1．斜抛运动中的极值
在最高点，vy＝0，由④式得到t＝eq \f(v0sin θ,g)⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym＝eq \f(v02sin2θ,2g)⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，
由③式得总时间t总＝eq \f(2v0sin θ,g)⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm＝eq \f(v02sin 2θ,g)
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
2．逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．
例8 (2023·广东深圳市调研)如图，射击训练场内，飞靶从水平地面A点以仰角θ斜向上飞出，落在相距100 m的B点，最高点距地面20 m．忽略空气阻力，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．飞靶从A到B的飞行时间为2 s
B．飞靶在最高点的速度为20 m/s
C．抬高仰角θ，飞靶飞行距离增大
D．抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大
答案 D
解析 飞靶在竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可得飞靶从A到B的飞行时间为t＝2t1＝2eq \r(\f(2h,g))＝4 s，故A错误；飞靶在水平方向的速度vx＝eq \f(x,t)＝25 m/s，在最高点竖直方向速度为零，则飞靶在最高点的速度为25 m/s，故B错误；根据运动的分解可得vx＝vcs θ，vy＝
vsin θ，飞靶飞行的时间t＝eq \f(2vy,g)＝eq \f(2vsin θ,g)，则飞行距离x＝vxt＝eq \f(2v2sin θcs θ,g)＝eq \f(v2sin 2θ,g)，可知θ＝45°时，飞行距离有最大值，故C错误；根据t＝eq \f(2vsin θ,g)，可知抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大，故D正确．
课时精练
1.(多选)如图，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b长
B．b和c的飞行时间相等
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
答案 BD
解析 平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，因y＝eq \f(1,2)gt2，ya＜yb＝yc，所以b和c的飞行时间相等且比a的飞行时间长，A错误，B正确；因x＝vt，xa＞xb＞xc，ta＜tb＝tc，故va＞vb＞vc，C错误，D正确．
2.(2022·广东卷·6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于eq \f(L,v)
B．将击中P点，t等于eq \f(L,v)
C．将击中P点上方，t大于eq \f(L,v)
D．将击中P点下方，t等于eq \f(L,v)
答案 B
解析 由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝eq \f(L,v)，故选B.
3.(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为eq \f(gt,tan θ)
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为eq \f(θ,2)
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
答案 AD
解析 由tan θ＝eq \f(gt,v0)可得小球平抛的初速度大小v0＝eq \f(gt,tan θ)，A正确；设小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝eq \f(h,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)＝eq \f(1,2)tan θ可知，α≠eq \f(θ,2)，B错误；小球做平抛运动的时间t＝eq \r(\f(2h,g))，与小球初速度无关，C错误；由tan θ＝eq \f(gt,v0)可知，v0越大，θ越小，D正确．
4．(2023·广东韶关市模拟)环保人员在一次检查时发现，某厂的一根水平放置的排污管正在向厂外的河道中排出污水．环保人员利用手上的卷尺测出这根管道的直径为10 cm，管口中心距离河水水面的高度为80 cm，污水注入河道处到排污管管口的水平距离为120 cm，重力加速度g取10 m/s2，则该管道的排污量(即流量——单位时间内通过管道某横截面的流体体积)约为( )
A．24 L/s B．94 L/s
C．236 L/s D．942 L/s
答案 A
解析 根据平抛运动规律有x＝vt0，h＝eq \f(1,2)gt02，解得v＝3 m/s，根据流量的定义有Q＝eq \f(V,t)，而V＝SL＝π(eq \f(d,2))2·vt，解得Q≈0.024 m3/s＝24 L/s，故A正确，B、C、D错误．
5.(2023·黑龙江省建新高中高三月考)如图所示，将a、b两小球(均可视为质点)以大小为20eq \r(5) m/s的初速度分别从A、B两点先后相差1 s水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10 m/s2，则抛出点A、B间的水平距离是( )
A．85eq \r(5) m B．100 m
C．200 m D．180eq \r(5) m
答案 D
解析 a的运动时间为t，则b的运动时间为t－1 s，eq \f(gt,v0)·eq \f(gt－1 s,v0)＝1，解得t＝5 s，又因为x＝v0t＋v0(t－1 s)，解得x＝180eq \r(5) m，故选D.
6．(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)( )
A．t＝v0tan θB．t＝eq \f(2v0tan θ,g)
C．t＝eq \f(v0,gtan θ)D．t＝eq \f(2v0,gtan θ)
答案 D
解析 如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直，所以有tan θ＝eq \f(x,y)，而x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，联立解得t＝eq \f(2v0,gtan θ)，故选D.
7．(多选)(2023·广东汕头市模拟)如图所示为某喷灌机的喷头正在进行农田喷灌，喷头出水速度的大小和方向可以调节，已知图示出水速度方向与水平方向夹角θ＝30°，假设喷头贴近农作物表面，忽略空气阻力，下列哪种调整方式可使水喷得更远( )
A．减小出水速度
B．增大出水速度
C．适当减小θ角
D．适当增大θ角
答案 BD
解析 设出水速度为v，根据斜抛运动规律可得水在空中运动的时间为t＝eq \f(2vsin θ,g)，则喷水距离为x＝(vcs θ)t＝eq \f(v2sin 2θ,g)，θ＝45°时射程最远，根据上式可知若要使水喷得更远，即增大x，可以增大出水速度、适当增大θ角，故选B、D.
8.(多选)(2023·辽宁省模拟)如图所示，一倾角为θ且足够长的斜面固定在地面上，将小球A从斜面顶端以速度v1水平向右抛出，小球击中了斜面上的C点，将小球B从空中与小球A等高的某点以速度v2水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中C点，不计空气阻力，斜面足够长，重力加速度为g，下列说法中正确的是( )
A．小球A在空中运动的时间为eq \f(2v1tan θ,g)
B．小球B在空中运动的时间为eq \f(v2tan θ,g)
C．若将小球B以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则竖直下抛落到斜面上所用时间最短
D．若将小球B以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则垂直斜面向上抛出落到斜面上所用时间最长
答案 AD
解析 设小球A在空中运动的时间为t1，则x1＝v1t1，y1＝eq \f(1,2)gt12，tan θ＝eq \f(y1,x1)，联立解得t1＝eq \f(2v1tan θ,g)，故A正确；设小球B在空中运动的时间为t2，则tan θ＝eq \f(v2,gt2)，解得t2＝eq \f(v2,gtan θ)，故B错误；根据运动的合成与分解可知，小球B落到斜面上所用时间取决于其在垂直于斜面方向的分运动的情况，易知小球B在垂直于斜面方向的加速度大小始终为gcs θ，则当小球B以垂直于斜面向下的初速度抛出时，其落到斜面上所用时间最短，当小球B以垂直于斜面向上的初速度抛出时，其落到斜面上所用的时间最长，故C错误，D正确．
9.套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为0.25 m的竖直细圆筒．若重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力，则小孩抛出圆环的初速度可能是( )
A．4.3 m/s B．5.6 m/s
C．6.5 m/s D．7.5 m/s
答案 B
解析 根据h1－h2＝eq \f(1,2)gt2得
t＝eq \r(\f(2h1－h2,g))＝eq \r(\f(20.45－0.25,10)) s＝0.2 s，
则平抛运动的最大速度
v1＝eq \f(x＋2R,t)＝eq \f(1.0＋2×0.1,0.2) m/s＝6.0 m/s，
最小速度v2＝eq \f(x,t)＝eq \f(1.0,0.2) m/s＝5.0 m/s，
则5.0 m/s＜v＜6.0 m/s，故选B.
10.如图所示，在距地面高h的A点以与水平面成α＝60°的角度斜向上抛出一小球，不计空气阻力．发现小球落在右边板OG上，且落点D与A点等高．已知v0＝2eq \r(3) m/s，h＝0.2 m，g取10 m/s2.则下列说法正确的是( )
A．小球从A到D的水平位移为1.8 m
B．小球在水平方向做匀加速运动
C．若撤去OG板，则经过D点之后小球在竖直方向做自由落体运动，故再经0.2 s它将落地
D．小球从A到D的时间是0.6 s
答案 D
解析 小球在竖直方向的分速度为v0y＝v0sin α＝3 m/s，小球在水平方向的分速度为v0x＝v0cs α＝eq \r(3) m/s，小球从A到D的时间为t＝eq \f(2v0y,g)＝eq \f(2×3,10) s＝0.6 s，小球从A到D的水平位移为x＝v0xt＝eq \f(3\r(3),5) m，所以A错误，D正确；小球在水平方向做匀速直线运动，所以B错误；若撤去OG板，在D点，小球在竖直方向速度大小为vy＝v0y＝3 m/s，则经过D点之后小球在竖直方向做匀加速直线运动，不是自由落体运动，所以C错误．
11．(2023·广东潮州市模拟)2022年2月5日，北京冬奥会跳台滑雪项目比赛在位于张家口的国家跳台滑雪中心举行，国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”．如图所示，现有两名运动员(均视为质点)从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1∶v2＝2∶1，不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到斜坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是( )
A．他们飞行时间之比为t1 ∶t2＝1∶2
B．他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝2∶1
C．他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝2∶1
D．他们落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为θ1∶θ2＝1∶1
答案 D
解析 斜面倾角即为位移与水平方向的夹角，则有eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)＝tan θ ，得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，故时间与速度成正比，甲、乙两人飞行时间之比为2∶1，故A错误；根据x＝v0t，水平位移之比为4∶1，故B错误；把运动员的运动分解为沿斜面方向的运动和垂直斜面方向的运动，由几何关系可知，运动员在垂直斜面方向上做初速度为v0sin θ、加速度大小为gcs θ的匀减速运动，当速度减小到零时，则离坡面距离最大，为sm＝eq \f(v0sin θ2,2gcs θ)，则他们在空中离坡面的最大距离之比为4∶1，故C错误；根据平抛运动的推论：瞬时速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，只要是落在斜坡上，位移与水平方向夹角相同，所以两人落到斜坡上的瞬时速度方向一定相同，故D正确．
12.(2022·全国甲卷·24)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7.重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小．
答案 eq \f(2\r(5),5) m/s
解析 频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为t＝4T＝4×0.05 s＝0.2 s．设抛出瞬间小球的速度为v0，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为y1、y2，根据平抛运动位移公式有x＝v0t，y1＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×0.22 m＝0.2 m，y2＝eq \f(1,2)g(2t)2－eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×(0.42－0.22) m＝0.6 m，令y1＝y，则有y2＝3y1＝3y
已标注的线段s1、s2分别为s1＝eq \r(x2＋y2)
s2＝eq \r(x2＋3y2)＝eq \r(x2＋9y2)
则有eq \r(x2＋y2)∶eq \r(x2＋9y2)＝3∶7
整理得x＝eq \f(2\r(5),5)y，故在抛出瞬间小球的速度大小为v0＝eq \f(x,t)＝eq \f(2\r(5),5) m/s.
13．(多选)(2023·广东广州市模拟)如图所示，一小钢球从平台上的A处以速度v0水平飞出，经t0时间落在斜坡上B处，速度方向恰好沿斜坡向下，又经t0时间到达坡底C处．斜坡BC与水平面夹角为30°，不计摩擦阻力和空气阻力，则小钢球从A到C的过程中水平、竖直两方向的分速度vx、vy随时间变化的图像是下列选项中的( )
答案 BD
解析 从A到B做平抛运动，分速度vx不变，分速度vy均匀增大，加速度为g.从B到C做匀加速直线运动，加速度a＝gsin 30°＝eq \f(1,2)g，在水平方向上有分加速度，所以水平方向上做匀加速直线运动，水平分加速度ax＝eq \f(1,2)gcs 30°＝eq \f(\r(3),4)g，在竖直方向上的分加速度为ay＝eq \f(1,2)gsin 30°＝eq \f(1,4)g，做匀加速直线运动，则0～t0和t0～2t0时间内在竖直方向上的加速度之比为4∶1.故B、D正确，A、C错误．已知条件
情景示例
解题策略
已知速度方向
从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面
分解速度tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向
分解速度tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)
已知位移方向
从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下
分解位移tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面
分解位移tan θ＝eq \f(x,y)＝eq \f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq \f(2v0,gt)
利用位移关系
从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝v0t,y＝\f(1,2)gt2,x2＋y2＝R2))
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝R＋Rcs θ,x＝v0t,y＝Rsin θ＝\f(1,2)gt2,x－R2＋y2＝R2))
2.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题.3.会处理平抛运动中的临界、极值问题．
考点一 平抛运动的规律及应用
平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：化曲为直
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动．
4．基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy.
1．平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直．( × )
2．相等时间内做平抛运动的物体速度变化量相同．( √ )
3．相等时间内做平抛运动的物体速度大小变化相同．( × )
1．平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
2．两个推论：
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α .
例1 (多选)a、b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台上的时间分别为ta、tb，则( )
A．va＞vb B．va＜vb
C．ta＞tb D．ta＜tb
答案 AD
解析 由题图知，hb＞ha，因为h＝eq \f(1,2)gt2，所以ta＜tb，又因为x＝v0t，且xa＞xb，所以va＞vb，选项A、D正确．
例2 (2023·广东江门市模拟)如图所示，滑板运动员以速度v0从离地高h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是( )
A．v0越大，运动员在空中运动时间越长
B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大
C．运动员落地瞬间速度与高度h无关
D．运动员落地位置与v0大小无关
答案 B
解析 由t＝eq \r(\f(2h,g))可知运动员在空中运动时间与v0无关，故A错误；由动能定理mgh＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02，得v＝eq \r(v02＋2gh)，可知v0越大，h越大，运动员落地瞬间速度越大，故B正确，C错误；由x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，知运动员落地位置与v0大小有关，故D错误．
考点二 与斜面或圆弧面有关的平抛运动
考向1 与斜面有关的平抛运动
例3 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面顶端P以速度v0拋出一个小球(可视为质点)，落在斜面上某处，记为Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是( )
A．夹角α将变大
B．夹角α与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．PQ间距是原来间距的3倍
答案 B
解析 根据tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)，解得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，初速度变为原来的2倍，则小球在空中的运动时间变为原来的2倍，C错误；根据x＝v0t＝eq \f(2v02tan θ,g)知，初速度变为原来的2倍，则水平位移变为原来的4倍，且PQ＝eq \f(x,cs θ)，故PQ间距变为原来间距的4倍，D错误；末速度与水平方向夹角的正切值tan β＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)＝2tan θ，可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向夹角不变，则末速度与水平方向夹角不变，由几何关系可知α不变，与初速度大小无关，A错误，B正确．
例4 如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出．球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上．已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则( )
A．t1∶t2＝1∶2 B．t1∶t2＝1∶3
C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1
答案 C
解析 由题意可得，对球1，有tan α＝eq \f(\f(1,2)gt12,v0t1)＝eq \f(gt1,2v0)，对球2，有tan β＝eq \f(v0,gt2)，又tan α·tan β＝1，联立解得t1∶t2＝2∶1，A、B、D错误，C正确．
考向2 与圆弧面有关的平抛运动
例5 (2023·广东汕头市模拟)水车是中国古代常用的一种农用工具，水车的简易模型如图所示，水流自水平的水管流出，水流轨迹与水车的边缘相切，使轮子连续转动，水到达轮子边缘时的速度与轮子边缘的线速度近似认为相同，切点对应的半径与水平方向成37°角．若水管出水口水流的流速v0＝6 m/s，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，下列说法正确的是( )
A．水流从水管流出到与水车的边缘相切，经过了0.6 s
B．水流从水管流出到与水车的边缘相切，下落了5 m
C．轮子边缘的线速度大小为10 m/s
D．水流与水车的边缘相切时，速度大小为8 m/s
答案 C
解析 水到达轮子边缘时的速度与轮子边缘的线速度近似认为相同，切点对应的半径与水平方向成37°角，在切点根据几何关系tan 37°＝eq \f(v0,gt)，解得t＝0.8 s，下落了h＝eq \f(1,2)gt2＝3.2 m，故A、B错误；轮子边缘的线速度大小为v＝eq \r(v02＋gt2)＝10 m/s，水流与水车的边缘相切时，速度大小为10 m/s，故C正确，D错误．
考点三 平抛运动的临界和极值问题
1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好为某一方向．
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．
考向1 平抛运动的临界问题
例6 如图所示，一网球运动员将网球(可视为质点)从O点水平向右击出，网球恰好擦网通过落在对方场地的A点，A点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍．已知球网的高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力，则网球击出后在空中飞行的时间为( )
A.eq \r(\f(3h,g))B.eq \f(3,2)eq \r(\f(h,g))
C.eq \r(\f(5h,2g))D.eq \f(3,2)eq \r(\f(2h,g))
答案 B
解析 设网球击出后在空中飞行的时间为t，因为A点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍，所以网球从击球点运动到球网的时间为eq \f(t,3)，则H＝eq \f(1,2)gt2，H－h＝eq \f(1,2)g(eq \f(t,3))2，联立解得t＝eq \f(3,2)eq \r(\f(h,g))，故选B.
考向2 平抛运动的极值问题
例7 某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( )
A．0 B．0.1 m
C．0.2 m D．0.3 m
答案 C
解析 小球从最高点到右端出口，机械能守恒，有mg(H－h)＝eq \f(1,2)mv2，从右端出口飞出后，小球做平抛运动，有x＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2，联立解得x＝2eq \r(H－hh)，根据数学知识可知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－
0.8 m＝0.2 m，故C正确．
考点四 斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cs θ)t①
vx＝v0x＝v0cs θ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－eq \f(1,2)gt2＝(v0sin θ)t－eq \f(1,2)gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④
1．斜抛运动中的极值
在最高点，vy＝0，由④式得到t＝eq \f(v0sin θ,g)⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym＝eq \f(v02sin2θ,2g)⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，
由③式得总时间t总＝eq \f(2v0sin θ,g)⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm＝eq \f(v02sin 2θ,g)
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
2．逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．
例8 (2023·广东深圳市调研)如图，射击训练场内，飞靶从水平地面A点以仰角θ斜向上飞出，落在相距100 m的B点，最高点距地面20 m．忽略空气阻力，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．飞靶从A到B的飞行时间为2 s
B．飞靶在最高点的速度为20 m/s
C．抬高仰角θ，飞靶飞行距离增大
D．抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大
答案 D
解析 飞靶在竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可得飞靶从A到B的飞行时间为t＝2t1＝2eq \r(\f(2h,g))＝4 s，故A错误；飞靶在水平方向的速度vx＝eq \f(x,t)＝25 m/s，在最高点竖直方向速度为零，则飞靶在最高点的速度为25 m/s，故B错误；根据运动的分解可得vx＝vcs θ，vy＝
vsin θ，飞靶飞行的时间t＝eq \f(2vy,g)＝eq \f(2vsin θ,g)，则飞行距离x＝vxt＝eq \f(2v2sin θcs θ,g)＝eq \f(v2sin 2θ,g)，可知θ＝45°时，飞行距离有最大值，故C错误；根据t＝eq \f(2vsin θ,g)，可知抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大，故D正确．
课时精练
1.(多选)如图，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b长
B．b和c的飞行时间相等
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
答案 BD
解析 平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，因y＝eq \f(1,2)gt2，ya＜yb＝yc，所以b和c的飞行时间相等且比a的飞行时间长，A错误，B正确；因x＝vt，xa＞xb＞xc，ta＜tb＝tc，故va＞vb＞vc，C错误，D正确．
2.(2022·广东卷·6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于eq \f(L,v)
B．将击中P点，t等于eq \f(L,v)
C．将击中P点上方，t大于eq \f(L,v)
D．将击中P点下方，t等于eq \f(L,v)
答案 B
解析 由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝eq \f(L,v)，故选B.
3.(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为eq \f(gt,tan θ)
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为eq \f(θ,2)
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
答案 AD
解析 由tan θ＝eq \f(gt,v0)可得小球平抛的初速度大小v0＝eq \f(gt,tan θ)，A正确；设小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝eq \f(h,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)＝eq \f(1,2)tan θ可知，α≠eq \f(θ,2)，B错误；小球做平抛运动的时间t＝eq \r(\f(2h,g))，与小球初速度无关，C错误；由tan θ＝eq \f(gt,v0)可知，v0越大，θ越小，D正确．
4．(2023·广东韶关市模拟)环保人员在一次检查时发现，某厂的一根水平放置的排污管正在向厂外的河道中排出污水．环保人员利用手上的卷尺测出这根管道的直径为10 cm，管口中心距离河水水面的高度为80 cm，污水注入河道处到排污管管口的水平距离为120 cm，重力加速度g取10 m/s2，则该管道的排污量(即流量——单位时间内通过管道某横截面的流体体积)约为( )
A．24 L/s B．94 L/s
C．236 L/s D．942 L/s
答案 A
解析 根据平抛运动规律有x＝vt0，h＝eq \f(1,2)gt02，解得v＝3 m/s，根据流量的定义有Q＝eq \f(V,t)，而V＝SL＝π(eq \f(d,2))2·vt，解得Q≈0.024 m3/s＝24 L/s，故A正确，B、C、D错误．
5.(2023·黑龙江省建新高中高三月考)如图所示，将a、b两小球(均可视为质点)以大小为20eq \r(5) m/s的初速度分别从A、B两点先后相差1 s水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10 m/s2，则抛出点A、B间的水平距离是( )
A．85eq \r(5) m B．100 m
C．200 m D．180eq \r(5) m
答案 D
解析 a的运动时间为t，则b的运动时间为t－1 s，eq \f(gt,v0)·eq \f(gt－1 s,v0)＝1，解得t＝5 s，又因为x＝v0t＋v0(t－1 s)，解得x＝180eq \r(5) m，故选D.
6．(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)( )
A．t＝v0tan θB．t＝eq \f(2v0tan θ,g)
C．t＝eq \f(v0,gtan θ)D．t＝eq \f(2v0,gtan θ)
答案 D
解析 如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直，所以有tan θ＝eq \f(x,y)，而x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，联立解得t＝eq \f(2v0,gtan θ)，故选D.
7．(多选)(2023·广东汕头市模拟)如图所示为某喷灌机的喷头正在进行农田喷灌，喷头出水速度的大小和方向可以调节，已知图示出水速度方向与水平方向夹角θ＝30°，假设喷头贴近农作物表面，忽略空气阻力，下列哪种调整方式可使水喷得更远( )
A．减小出水速度
B．增大出水速度
C．适当减小θ角
D．适当增大θ角
答案 BD
解析 设出水速度为v，根据斜抛运动规律可得水在空中运动的时间为t＝eq \f(2vsin θ,g)，则喷水距离为x＝(vcs θ)t＝eq \f(v2sin 2θ,g)，θ＝45°时射程最远，根据上式可知若要使水喷得更远，即增大x，可以增大出水速度、适当增大θ角，故选B、D.
8.(多选)(2023·辽宁省模拟)如图所示，一倾角为θ且足够长的斜面固定在地面上，将小球A从斜面顶端以速度v1水平向右抛出，小球击中了斜面上的C点，将小球B从空中与小球A等高的某点以速度v2水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中C点，不计空气阻力，斜面足够长，重力加速度为g，下列说法中正确的是( )
A．小球A在空中运动的时间为eq \f(2v1tan θ,g)
B．小球B在空中运动的时间为eq \f(v2tan θ,g)
C．若将小球B以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则竖直下抛落到斜面上所用时间最短
D．若将小球B以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则垂直斜面向上抛出落到斜面上所用时间最长
答案 AD
解析 设小球A在空中运动的时间为t1，则x1＝v1t1，y1＝eq \f(1,2)gt12，tan θ＝eq \f(y1,x1)，联立解得t1＝eq \f(2v1tan θ,g)，故A正确；设小球B在空中运动的时间为t2，则tan θ＝eq \f(v2,gt2)，解得t2＝eq \f(v2,gtan θ)，故B错误；根据运动的合成与分解可知，小球B落到斜面上所用时间取决于其在垂直于斜面方向的分运动的情况，易知小球B在垂直于斜面方向的加速度大小始终为gcs θ，则当小球B以垂直于斜面向下的初速度抛出时，其落到斜面上所用时间最短，当小球B以垂直于斜面向上的初速度抛出时，其落到斜面上所用的时间最长，故C错误，D正确．
9.套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为0.25 m的竖直细圆筒．若重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力，则小孩抛出圆环的初速度可能是( )
A．4.3 m/s B．5.6 m/s
C．6.5 m/s D．7.5 m/s
答案 B
解析 根据h1－h2＝eq \f(1,2)gt2得
t＝eq \r(\f(2h1－h2,g))＝eq \r(\f(20.45－0.25,10)) s＝0.2 s，
则平抛运动的最大速度
v1＝eq \f(x＋2R,t)＝eq \f(1.0＋2×0.1,0.2) m/s＝6.0 m/s，
最小速度v2＝eq \f(x,t)＝eq \f(1.0,0.2) m/s＝5.0 m/s，
则5.0 m/s＜v＜6.0 m/s，故选B.
10.如图所示，在距地面高h的A点以与水平面成α＝60°的角度斜向上抛出一小球，不计空气阻力．发现小球落在右边板OG上，且落点D与A点等高．已知v0＝2eq \r(3) m/s，h＝0.2 m，g取10 m/s2.则下列说法正确的是( )
A．小球从A到D的水平位移为1.8 m
B．小球在水平方向做匀加速运动
C．若撤去OG板，则经过D点之后小球在竖直方向做自由落体运动，故再经0.2 s它将落地
D．小球从A到D的时间是0.6 s
答案 D
解析 小球在竖直方向的分速度为v0y＝v0sin α＝3 m/s，小球在水平方向的分速度为v0x＝v0cs α＝eq \r(3) m/s，小球从A到D的时间为t＝eq \f(2v0y,g)＝eq \f(2×3,10) s＝0.6 s，小球从A到D的水平位移为x＝v0xt＝eq \f(3\r(3),5) m，所以A错误，D正确；小球在水平方向做匀速直线运动，所以B错误；若撤去OG板，在D点，小球在竖直方向速度大小为vy＝v0y＝3 m/s，则经过D点之后小球在竖直方向做匀加速直线运动，不是自由落体运动，所以C错误．
11．(2023·广东潮州市模拟)2022年2月5日，北京冬奥会跳台滑雪项目比赛在位于张家口的国家跳台滑雪中心举行，国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”．如图所示，现有两名运动员(均视为质点)从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1∶v2＝2∶1，不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到斜坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是( )
A．他们飞行时间之比为t1 ∶t2＝1∶2
B．他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝2∶1
C．他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝2∶1
D．他们落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为θ1∶θ2＝1∶1
答案 D
解析 斜面倾角即为位移与水平方向的夹角，则有eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)＝tan θ ，得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，故时间与速度成正比，甲、乙两人飞行时间之比为2∶1，故A错误；根据x＝v0t，水平位移之比为4∶1，故B错误；把运动员的运动分解为沿斜面方向的运动和垂直斜面方向的运动，由几何关系可知，运动员在垂直斜面方向上做初速度为v0sin θ、加速度大小为gcs θ的匀减速运动，当速度减小到零时，则离坡面距离最大，为sm＝eq \f(v0sin θ2,2gcs θ)，则他们在空中离坡面的最大距离之比为4∶1，故C错误；根据平抛运动的推论：瞬时速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，只要是落在斜坡上，位移与水平方向夹角相同，所以两人落到斜坡上的瞬时速度方向一定相同，故D正确．
12.(2022·全国甲卷·24)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7.重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小．
答案 eq \f(2\r(5),5) m/s
解析 频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为t＝4T＝4×0.05 s＝0.2 s．设抛出瞬间小球的速度为v0，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为y1、y2，根据平抛运动位移公式有x＝v0t，y1＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×0.22 m＝0.2 m，y2＝eq \f(1,2)g(2t)2－eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×(0.42－0.22) m＝0.6 m，令y1＝y，则有y2＝3y1＝3y
已标注的线段s1、s2分别为s1＝eq \r(x2＋y2)
s2＝eq \r(x2＋3y2)＝eq \r(x2＋9y2)
则有eq \r(x2＋y2)∶eq \r(x2＋9y2)＝3∶7
整理得x＝eq \f(2\r(5),5)y，故在抛出瞬间小球的速度大小为v0＝eq \f(x,t)＝eq \f(2\r(5),5) m/s.
13．(多选)(2023·广东广州市模拟)如图所示，一小钢球从平台上的A处以速度v0水平飞出，经t0时间落在斜坡上B处，速度方向恰好沿斜坡向下，又经t0时间到达坡底C处．斜坡BC与水平面夹角为30°，不计摩擦阻力和空气阻力，则小钢球从A到C的过程中水平、竖直两方向的分速度vx、vy随时间变化的图像是下列选项中的( )
答案 BD
解析 从A到B做平抛运动，分速度vx不变，分速度vy均匀增大，加速度为g.从B到C做匀加速直线运动，加速度a＝gsin 30°＝eq \f(1,2)g，在水平方向上有分加速度，所以水平方向上做匀加速直线运动，水平分加速度ax＝eq \f(1,2)gcs 30°＝eq \f(\r(3),4)g，在竖直方向上的分加速度为ay＝eq \f(1,2)gsin 30°＝eq \f(1,4)g，做匀加速直线运动，则0～t0和t0～2t0时间内在竖直方向上的加速度之比为4∶1.故B、D正确，A、C错误．已知条件
情景示例
解题策略
已知速度方向
从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面
分解速度tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向
分解速度tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)
已知位移方向
从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下
分解位移tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面
分解位移tan θ＝eq \f(x,y)＝eq \f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq \f(2v0,gt)
利用位移关系
从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝v0t,y＝\f(1,2)gt2,x2＋y2＝R2))
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝R＋Rcs θ,x＝v0t,y＝Rsin θ＝\f(1,2)gt2,x－R2＋y2＝R2))
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