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2024届高考物理一轮复习教案第四章抛体运动与圆周运动第1讲曲线运动运动的合成与分解（粤教版新教材）
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这是一份2024届高考物理一轮复习教案第四章抛体运动与圆周运动第1讲曲线运动运动的合成与分解（粤教版新教材），共16页。
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
目标要求 1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点.2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题.3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法．
考点一 曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动．
3．做曲线运动的条件：
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动．( × )
2．做曲线运动的物体受到的合力一定是变力．( × )
3．做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧．( √ )
1．运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动．
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．
2．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间．
3．速率变化的判断
例1 如图，水平桌面上乒乓球沿直线AB匀速运动，一同学在桌边用吹管欲将球吹进桌面上的球门(吹管对准球门中心)，AB垂直于BC.在B处对准C吹气，未成功，下列情形可能成功的是( )
A．仅增大吹气力度
B．将球门沿直线CB向B靠近
C．将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气
D．将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气
答案 C
解析 原方案中，吹管吹气只改变了球沿BC方向的速度，而沿AB方向的速度不变，所以单纯地沿BC方向吹气来施加力的作用不能使球落入球门中，仅增大吹气力度，只能加快BC方向速度变化，不能使球进入球门，故A错误；将球门C沿直线CB向B移动一小段距离，与原方案一样，不能落入球门，故B错误；将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气，到达BC所在直线位置时乒乓球已经沿垂直AB方向运动了一段距离，可知球可能落入球门中，故C正确；将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气，乒乓球只能做直线运动，不会进入球门，故D错误．
例2 (2023·浙江湖州市天略外国语学校模拟)2021年8月21日，中国人民解放军火箭军成功发射两枚新型导弹．导弹轨迹通常都十分复杂，如图是分析导弹工作时的轨迹示意图，其中弹头的速度v与所受合外力F关系正确的是( )
A．图中A点 B．图中B点
C．图中C点 D．图中D点
答案 D
解析 弹头的运动轨迹是曲线，因此合外力与速度关系应满足曲线运动条件，合外力指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，故选D.
考点二 运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动．
(2)运动的分解：已知合运动求分运动．
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
3．运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法．
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
1．合运动的速度一定比分运动的速度大．( × )
2．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动．( × )
3．曲线运动一定不是匀变速运动．( × )
1．运动性质的判断
加速度(或合外力)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(不变：匀变速运动,变化：非匀变速运动))
加速度或合外力方向与速度方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
考向1 合运动与分运动的关系
例3 跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 C
解析 运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间和竖直方向的速度不变，故A、B错误，C正确；水平风力越大，水平方向的速度越大，则落地时的合速度越大，故D错误．
考向2 两互成角度运动的合运动性质的判断
例4 (2023·陕西西安市长安一中月考)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像．以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
答案 C
解析 在0～1 s内，物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为匀加速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项A、B错误；在1～2 s内，物体水平方向初速度为：v0x＝4 m/s，加速度为：ax＝4 m/s2，竖直方向初速度为：v0y＝3 m/s，加速度为：ay＝3 m/s2，根据平行四边形定则合成可以得到合初速度为v＝5 m/s，合加速度为a＝5 m/s2，而且二者方向在同一直线上，可知，合运动为匀变速直线运动，故选项C正确，D错误．
例5 (2023·广东东莞市模拟)随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示．无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向的分速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直方向向上为正方向．下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
答案 C
解析 0～2 s内，无人机在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向也做匀加速直线运动，但初速度沿水平方向，合加速度与速度方向有夹角，因此，无人机做匀加速曲线运动，故选项A错误；2～4 s内，无人机在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项B错误；0～4 s内，竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，则t＝4 s时刻，竖直方向速度为0，无人机运动到最高点，故选项C正确；0～5 s内，无人机的水平位移为9 m，竖直位移为1.75 m，则合位移s＝eq \r(x2＋y2)≈9.2 m，故选项D错误．
考点三 小船渡河模型
两类问题，三种情景
考向1 渡河时间问题
例6 有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为v1.一条小船在河上横渡，已知船在静水中的速度大小为v2，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，第二次过河时行驶路线与河岸垂直．若v1、v2均不变，试求第一次过河与第二次过河所用时间的比值为( )
A.eq \f(v1,\r(v12－v22))B.eq \f(\r(v12－v22),v1)
C.eq \f(\r(v22－v12),v2)D.eq \r(\f(v22＋v12,v2))
答案 C
解析 根据题意，设河宽为d，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，则渡河时间为t1＝eq \f(d,v2)，第二次过河时行驶路线与河岸垂直，此时船的合速度为v＝eq \r(v22－v12)，渡河时间为t2＝eq \f(d,\r(v22－v12))，则第一次过河与第二次过河所用时间的比值为eq \f(t1,t2)＝eq \f(\r(v22－v12),v2)，故A、B、D错误，C正确．
考向2 最短位移渡河问题
例7 (多选)假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与上游河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸，两次渡河时小船相对于静水的速度大小相等．以下说法正确的是( )
A．水流的速度大小为0.2 m/s
B．船头与河岸间的夹角α为60°
C．小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D．河的宽度为200 m
答案 AD
解析 当船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示，有x＝v2t1，解得水流的速度大小为v2＝eq \f(x,t1)＝eq \f(120,600) m/s＝0.2 m/s，选项A正确；当船头保持与上游河岸成α角向上游航行时，如图乙所示，有v2＝v1cs α，d＝v1sin α·t2，由图甲可得d＝v1t1，联立解得sin α＝eq \f(4,5)，v1≈0.33 m/s，d＝
200 m，故船头与上游河岸间的夹角不是60°，选项B、C错误，D正确．
考向3 渡河中最小速度问题
例8 如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟，若采取冲锋舟最小速度和最短时间两种方案，沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2之比为( )
A．1∶2 B．1∶eq \r(3) C．2∶eq \r(3) D.eq \r(3)∶2
答案 D
解析 设冲锋舟以最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2分别从A运动到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB连线，且v1＝vsin 30° ，最短时间的冲锋舟速度v2垂直于平直河岸，且v2＝vtan 30°，可知eq \f(v1,v2)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，故选项D正确．
考点四 关联速度问题
例9 如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是( )
A．绳的拉力等于M所受的重力
B．绳的拉力大于M所受的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
答案 B
解析 汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，沿绳子方向的分速度v′＝vcs θ，汽车在匀速向左运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，故选项C、D错误；由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于物体M所受的重力，故选项A错误，B正确．
例10 曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转换的主要运动零件，如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P.在工作过程中，活塞Q在气缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0
答案 A
解析 当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度；将活塞的速度v分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度，则此时v0cs θ＝vcs θ，即v＝v0，选项A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线时，P沿连杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，选项C、D错误．
1．题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上．
2．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示．
课时精练
1．关于曲线运动，下列叙述不正确的是( )
A．做曲线运动的物体一定是变速运动
B．做曲线运动的物体所受的合外力一定不为零
C．如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动不可能是曲线运动
D．因曲线运动的速度在不断变化，所以不可能是匀变速运动
答案 D
解析 做曲线运动的物体，方向时刻在改变，则一定是变速运动，有可能是匀变速运动，故A正确，D错误；做曲线运动的物体，运动状态时刻在改变，物体所受合外力一定不为零，故B正确；如果物体不受外力，根据牛顿第一定律可知，物体将保持静止或做匀速直线运动，故C正确．
2．一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐增大．图中分别画出了汽车转弯时受到的合力F的四种方向，可能正确的是( )
答案 B
解析 由题意可得，合力F指向曲线的凹侧，由M向N行驶，速度逐渐增大，合力F需与速度成锐角，综合来看，B可能正确．
3.(2023·重庆市南开中学月考)如图所示，光滑水平面上的物体受五个沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做匀速直线运动，若撤去其中某个力(其他力不变)，则在以后的运动中，下列说法正确的是( )
A．若撤去的是F1，则物体将做圆周运动
B．若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
C．若撤去的是F3，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
D．无论撤去这五个力中的哪一个，物体在相同时间内的速度改变量一定都相同
答案 B
解析 撤去F1后，其他力的合力方向与速度方向垂直，物体做匀变速曲线运动，不会做圆周运动，因为受到的是恒力，故A错误；撤去F2后，其他力的合力方向与F2的方向相反，则物体在水平方向先减速到零，再反向加速，而竖直方向一直在加速，所以经过一段时间后有可能在某时刻速率再次变为v0，故B正确；撤去F3后，其他力的合力方向与速度方向成锐角，速度增大，则经过一段时间后，速率比v0大，故C错误；因为这五个力不完全相同，撤去其中一个力后，其他四个力的合力也不完全相同，根据牛顿第二定律可知加速度也不完全相同，所以物体在相同时间内的速度改变量不一定都相同，故D错误．
4.(2023·北京市育才学校月考)某质点在Oxy平面内运动的轨迹如图所示，则该质点在x、y两个正方向上的运动状况可能是( )
A．质点在x、y两方向上都匀速运动
B．质点在x方向上匀速运动，在y方向上先加速后减速
C．质点在y方向上匀速运动，在x方向上先加速后减速
D．质点在y方向上匀速运动，在x方向上先减速后加速
答案 C
解析 若质点在x方向上始终匀速运动，合力沿着y方向，根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知，合力先沿着y轴负方向后沿着y轴正方向，则质点在y方向上先减速后加速，故A、B错误；若质点在y方向上始终匀速运动，合力沿着x方向，根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知，合力先沿着x轴正方向后沿着x轴负方向，则在x方向上先加速后减速，故C正确，D错误．
5．(2023·广东揭阳市月考)如图所示，斜面的倾角为α，人用跨过定滑轮的绳子拉小车．现人以速度v匀速拉动绳子，当拉小车的绳子与斜面的夹角为β时，小车沿斜面运动的速度为( )
A.eq \f(v,cs α)B.eq \f(v,cs β)
C.eq \f(v,csα＋β)D.eq \f(v,csα－β)
答案 B
解析 小车在绳子的作用下，沿着斜面向上运动，则可将此运动分解成沿着绳子的方向与垂直绳子的方向．如图所示，因此有v车cs β＝v，即v车＝eq \f(v,cs β)，B正确．
6．(2023·湖北省模拟)有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示．下列说法正确的是( )
A．质点做匀变速直线运动
B．质点所受的合外力为22 N
C．2 s时质点的速度大小为6 m/s
D．零时刻质点的速度大小为5 m/s
答案 D
解析 由题图可知，质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向上做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向．在x轴方向上的初速度大小为3 m/s，在y轴方向上的速度大小为4 m/s，则初速度大小v0＝eq \r(32＋42) m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在x轴方向上的加速度为ax＝1.5 m/s2，y轴方向上的加速度为零，则合加速度为a＝1.5 m/s2，所以合外力为F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，故B错误；2 s末质点在x轴方向上的速度大小为vx＝6 m/s，在y轴方向上的速度大小为vy＝4 m/s，则合速度大小为v＝eq \r(62＋42) m/s>6 m/s，故C错误．
7．(2023·广东湛江市调研)如图所示，小船以大小为v1、方向与上游河岸成θ角的速度(在静水中的速度)从A处过河，经过时间t正好到达正对岸的B处．现要使小船在更长的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪一种( )
A．只要增大v1大小，不必改变θ角
B．只要增大θ角，不必改变v1大小
C．在增大v1的同时，也必须适当增大θ角
D．在减小v1的同时，也必须适当减小θ角
答案 D
解析 若只增大v1大小，不改变θ角，则船在沿水流方向的分速度增大，因此船不可能垂直到达对岸，故A错误；若只增大θ角，不改变v1大小，同理可知，船沿水流方向的分速度减小，而垂直河岸的分速度增大，船不可能垂直到达对岸，故B错误；在增大v1的同时，也必须适当增大θ角，这样才能保证水流方向的分速度不变，而垂直河岸的分速度在增大，则船还能垂直到达对岸，且时间更短，故C错误；若减小v1的同时适当减小θ角，则水流方向的分速度可能不变，能垂直到达对岸，而垂直河岸的分速度减小，则船垂直到达对岸的时间更长，故D正确．
8.(多选)(2023·广东茂名市高三检测)如图所示，小船从河岸的O点沿虚线运动，匀速运动到河对岸的P点，河水的流速v水、船在静水中的速度v静与虚线的夹角分别为α、θ，河宽为L，且v静、v水的大小不变，下列说法正确的是( )
A．渡河时间t＝eq \f(L,v静)
B．渡河时间t＝eq \f(L,v静sinθ＋α)
C．v水越小，渡河时间越短
D．当α＋θ＝90°时，渡河的时间最短
答案 BD
解析 根据速度的合成与分解及数学知识可知，渡河时间t＝eq \f(L,v静sinα＋θ)，与v水无关，选项A、C错误，B正确；当α＋θ＝90°时，渡河时间最短，为tmin＝eq \f(L,v静)，选项D正确．
9.如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙面和水平地面滑动．当AB杆和墙面的夹角为θ时，杆的A端沿墙面下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2.v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2B．v1＝v2cs θ
C．v1＝v2tan θD．v1＝v2sin θ
答案 C
解析 将A端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度v1∥＝v1cs θ，将B端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度v2∥＝v2sin θ，由于v1∥＝v2∥，所以v1＝v2tan θ，故选C.
10.图甲为我国运动员参加冰壶比赛的场景．比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转(自旋)，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶前方受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动．在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶的运动轨迹(虚线表示)可能正确的是( )
A．①③B．①④
C．②③D．②④
答案 B
解析 由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶前方受到的摩擦力，而后方受到的摩擦力几乎不变，若冰壶按如图的方向逆时针旋转，则沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，则冰壶的运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按顺时针方向旋转，冰壶运动轨迹向右偏转，即①④正确，故选B.
11．(多选)(2023·广东深圳市模拟)如图所示，A、B两球分别套在两光滑无限长的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮(轴心固定不动)相连，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，A球向左的速度为v，下列说法正确的是( )
A．此时B球的速度为eq \f(vcs α,cs β)
B．此时B球的速度为eq \f(vcs β,cs α)
C．当β增大到90°时，B球的速度达到最大
D．在β增大到90°的过程中，绳对B球的拉力一直做正功
答案 ACD
解析 将A球和B球的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子的方向，A沿绳子方向的分速度等于B沿绳子方向的分速度．A沿绳子方向的分速度为v绳＝vcs α，所以vB＝eq \f(v绳,cs β)＝eq \f(vcs α,cs β)，故A正确，B错误；当β增大到90°时，B球沿绳子方向的分速度等于0，所以A沿绳子方向的分速度也是0，而cs α不等于0，所以A球的速度为0；此时A的动能全部转化为B的动能，所以B球的速度达到最大，故C正确；在β增大到90°的过程中，绳子的方向与B球运动的方向之间的夹角始终是锐角，所以绳对B球的拉力一直做正功，故D正确．
12.(2023·山西大同市模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
(2)A、B两点间的距离；
(3)小球的最大速率vmax.
答案 (1)eq \f(mv02,2F) (2)eq \f(2m2gv02,F2) (3)eq \f(v0,F)eq \r(F2＋4m2g2)
解析 (1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，v02＝2axxmax，
解得xmax＝eq \f(mv02,2F).
(2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝eq \f(v0,ax)
由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
竖直方向上有y＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(2m2gv02,F2).
(3)小球运动到B点时速率最大，此时有vx＝v0
vy＝gt，则vmax＝eq \r(vx2＋vy2)＝eq \f(v0,F)eq \r(F2＋4m2g2).考情分析
运动的合成与分解
2019·全国卷Ⅱ·T19
平抛运动
2022·广东卷·T6 2022·北京卷·T17 2021·山东卷·T11
2021·山东卷·T16 2020·全国卷Ⅱ·T16 2020·江苏卷·T8
2020·浙江1月选考·T5
斜抛运动
2022·山东卷·T11 2021·浙江1月选考·T9 2020·山东卷·T16
圆周运动
2022·全国甲卷·T14 2022·河北卷·T10 2022·辽宁卷·T13
2022·北京卷·T8 2021·全国甲卷·T15 2021·浙江6月选考·T7 2020·全国卷Ⅰ·T16 2020·浙江7月选考·T2
实验：探究平抛运动的特点
2021·全国乙卷·T22 2019·浙江4月选考·T17
试题情境
生活实践类
生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究类
小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
渡河时间
(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关；
(2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝eq \f(d,v船)(d为河宽)
渡河位移
若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且smin＝d
若v船
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
目标要求 1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点.2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题.3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法．
考点一 曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动．
3．做曲线运动的条件：
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动．( × )
2．做曲线运动的物体受到的合力一定是变力．( × )
3．做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧．( √ )
1．运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动．
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．
2．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间．
3．速率变化的判断
例1 如图，水平桌面上乒乓球沿直线AB匀速运动，一同学在桌边用吹管欲将球吹进桌面上的球门(吹管对准球门中心)，AB垂直于BC.在B处对准C吹气，未成功，下列情形可能成功的是( )
A．仅增大吹气力度
B．将球门沿直线CB向B靠近
C．将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气
D．将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气
答案 C
解析 原方案中，吹管吹气只改变了球沿BC方向的速度，而沿AB方向的速度不变，所以单纯地沿BC方向吹气来施加力的作用不能使球落入球门中，仅增大吹气力度，只能加快BC方向速度变化，不能使球进入球门，故A错误；将球门C沿直线CB向B移动一小段距离，与原方案一样，不能落入球门，故B错误；将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气，到达BC所在直线位置时乒乓球已经沿垂直AB方向运动了一段距离，可知球可能落入球门中，故C正确；将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气，乒乓球只能做直线运动，不会进入球门，故D错误．
例2 (2023·浙江湖州市天略外国语学校模拟)2021年8月21日，中国人民解放军火箭军成功发射两枚新型导弹．导弹轨迹通常都十分复杂，如图是分析导弹工作时的轨迹示意图，其中弹头的速度v与所受合外力F关系正确的是( )
A．图中A点 B．图中B点
C．图中C点 D．图中D点
答案 D
解析 弹头的运动轨迹是曲线，因此合外力与速度关系应满足曲线运动条件，合外力指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，故选D.
考点二 运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动．
(2)运动的分解：已知合运动求分运动．
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
3．运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法．
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
1．合运动的速度一定比分运动的速度大．( × )
2．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动．( × )
3．曲线运动一定不是匀变速运动．( × )
1．运动性质的判断
加速度(或合外力)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(不变：匀变速运动,变化：非匀变速运动))
加速度或合外力方向与速度方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
考向1 合运动与分运动的关系
例3 跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 C
解析 运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间和竖直方向的速度不变，故A、B错误，C正确；水平风力越大，水平方向的速度越大，则落地时的合速度越大，故D错误．
考向2 两互成角度运动的合运动性质的判断
例4 (2023·陕西西安市长安一中月考)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像．以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
答案 C
解析 在0～1 s内，物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为匀加速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项A、B错误；在1～2 s内，物体水平方向初速度为：v0x＝4 m/s，加速度为：ax＝4 m/s2，竖直方向初速度为：v0y＝3 m/s，加速度为：ay＝3 m/s2，根据平行四边形定则合成可以得到合初速度为v＝5 m/s，合加速度为a＝5 m/s2，而且二者方向在同一直线上，可知，合运动为匀变速直线运动，故选项C正确，D错误．
例5 (2023·广东东莞市模拟)随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示．无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向的分速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直方向向上为正方向．下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
答案 C
解析 0～2 s内，无人机在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向也做匀加速直线运动，但初速度沿水平方向，合加速度与速度方向有夹角，因此，无人机做匀加速曲线运动，故选项A错误；2～4 s内，无人机在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项B错误；0～4 s内，竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，则t＝4 s时刻，竖直方向速度为0，无人机运动到最高点，故选项C正确；0～5 s内，无人机的水平位移为9 m，竖直位移为1.75 m，则合位移s＝eq \r(x2＋y2)≈9.2 m，故选项D错误．
考点三 小船渡河模型
两类问题，三种情景
考向1 渡河时间问题
例6 有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为v1.一条小船在河上横渡，已知船在静水中的速度大小为v2，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，第二次过河时行驶路线与河岸垂直．若v1、v2均不变，试求第一次过河与第二次过河所用时间的比值为( )
A.eq \f(v1,\r(v12－v22))B.eq \f(\r(v12－v22),v1)
C.eq \f(\r(v22－v12),v2)D.eq \r(\f(v22＋v12,v2))
答案 C
解析 根据题意，设河宽为d，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，则渡河时间为t1＝eq \f(d,v2)，第二次过河时行驶路线与河岸垂直，此时船的合速度为v＝eq \r(v22－v12)，渡河时间为t2＝eq \f(d,\r(v22－v12))，则第一次过河与第二次过河所用时间的比值为eq \f(t1,t2)＝eq \f(\r(v22－v12),v2)，故A、B、D错误，C正确．
考向2 最短位移渡河问题
例7 (多选)假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与上游河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸，两次渡河时小船相对于静水的速度大小相等．以下说法正确的是( )
A．水流的速度大小为0.2 m/s
B．船头与河岸间的夹角α为60°
C．小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D．河的宽度为200 m
答案 AD
解析 当船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示，有x＝v2t1，解得水流的速度大小为v2＝eq \f(x,t1)＝eq \f(120,600) m/s＝0.2 m/s，选项A正确；当船头保持与上游河岸成α角向上游航行时，如图乙所示，有v2＝v1cs α，d＝v1sin α·t2，由图甲可得d＝v1t1，联立解得sin α＝eq \f(4,5)，v1≈0.33 m/s，d＝
200 m，故船头与上游河岸间的夹角不是60°，选项B、C错误，D正确．
考向3 渡河中最小速度问题
例8 如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟，若采取冲锋舟最小速度和最短时间两种方案，沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2之比为( )
A．1∶2 B．1∶eq \r(3) C．2∶eq \r(3) D.eq \r(3)∶2
答案 D
解析 设冲锋舟以最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2分别从A运动到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB连线，且v1＝vsin 30° ，最短时间的冲锋舟速度v2垂直于平直河岸，且v2＝vtan 30°，可知eq \f(v1,v2)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，故选项D正确．
考点四 关联速度问题
例9 如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是( )
A．绳的拉力等于M所受的重力
B．绳的拉力大于M所受的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
答案 B
解析 汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，沿绳子方向的分速度v′＝vcs θ，汽车在匀速向左运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，故选项C、D错误；由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于物体M所受的重力，故选项A错误，B正确．
例10 曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转换的主要运动零件，如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P.在工作过程中，活塞Q在气缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0
答案 A
解析 当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度；将活塞的速度v分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度，则此时v0cs θ＝vcs θ，即v＝v0，选项A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线时，P沿连杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，选项C、D错误．
1．题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上．
2．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示．
课时精练
1．关于曲线运动，下列叙述不正确的是( )
A．做曲线运动的物体一定是变速运动
B．做曲线运动的物体所受的合外力一定不为零
C．如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动不可能是曲线运动
D．因曲线运动的速度在不断变化，所以不可能是匀变速运动
答案 D
解析 做曲线运动的物体，方向时刻在改变，则一定是变速运动，有可能是匀变速运动，故A正确，D错误；做曲线运动的物体，运动状态时刻在改变，物体所受合外力一定不为零，故B正确；如果物体不受外力，根据牛顿第一定律可知，物体将保持静止或做匀速直线运动，故C正确．
2．一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐增大．图中分别画出了汽车转弯时受到的合力F的四种方向，可能正确的是( )
答案 B
解析 由题意可得，合力F指向曲线的凹侧，由M向N行驶，速度逐渐增大，合力F需与速度成锐角，综合来看，B可能正确．
3.(2023·重庆市南开中学月考)如图所示，光滑水平面上的物体受五个沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做匀速直线运动，若撤去其中某个力(其他力不变)，则在以后的运动中，下列说法正确的是( )
A．若撤去的是F1，则物体将做圆周运动
B．若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
C．若撤去的是F3，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
D．无论撤去这五个力中的哪一个，物体在相同时间内的速度改变量一定都相同
答案 B
解析 撤去F1后，其他力的合力方向与速度方向垂直，物体做匀变速曲线运动，不会做圆周运动，因为受到的是恒力，故A错误；撤去F2后，其他力的合力方向与F2的方向相反，则物体在水平方向先减速到零，再反向加速，而竖直方向一直在加速，所以经过一段时间后有可能在某时刻速率再次变为v0，故B正确；撤去F3后，其他力的合力方向与速度方向成锐角，速度增大，则经过一段时间后，速率比v0大，故C错误；因为这五个力不完全相同，撤去其中一个力后，其他四个力的合力也不完全相同，根据牛顿第二定律可知加速度也不完全相同，所以物体在相同时间内的速度改变量不一定都相同，故D错误．
4.(2023·北京市育才学校月考)某质点在Oxy平面内运动的轨迹如图所示，则该质点在x、y两个正方向上的运动状况可能是( )
A．质点在x、y两方向上都匀速运动
B．质点在x方向上匀速运动，在y方向上先加速后减速
C．质点在y方向上匀速运动，在x方向上先加速后减速
D．质点在y方向上匀速运动，在x方向上先减速后加速
答案 C
解析 若质点在x方向上始终匀速运动，合力沿着y方向，根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知，合力先沿着y轴负方向后沿着y轴正方向，则质点在y方向上先减速后加速，故A、B错误；若质点在y方向上始终匀速运动，合力沿着x方向，根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知，合力先沿着x轴正方向后沿着x轴负方向，则在x方向上先加速后减速，故C正确，D错误．
5．(2023·广东揭阳市月考)如图所示，斜面的倾角为α，人用跨过定滑轮的绳子拉小车．现人以速度v匀速拉动绳子，当拉小车的绳子与斜面的夹角为β时，小车沿斜面运动的速度为( )
A.eq \f(v,cs α)B.eq \f(v,cs β)
C.eq \f(v,csα＋β)D.eq \f(v,csα－β)
答案 B
解析 小车在绳子的作用下，沿着斜面向上运动，则可将此运动分解成沿着绳子的方向与垂直绳子的方向．如图所示，因此有v车cs β＝v，即v车＝eq \f(v,cs β)，B正确．
6．(2023·湖北省模拟)有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示．下列说法正确的是( )
A．质点做匀变速直线运动
B．质点所受的合外力为22 N
C．2 s时质点的速度大小为6 m/s
D．零时刻质点的速度大小为5 m/s
答案 D
解析 由题图可知，质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向上做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向．在x轴方向上的初速度大小为3 m/s，在y轴方向上的速度大小为4 m/s，则初速度大小v0＝eq \r(32＋42) m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在x轴方向上的加速度为ax＝1.5 m/s2，y轴方向上的加速度为零，则合加速度为a＝1.5 m/s2，所以合外力为F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，故B错误；2 s末质点在x轴方向上的速度大小为vx＝6 m/s，在y轴方向上的速度大小为vy＝4 m/s，则合速度大小为v＝eq \r(62＋42) m/s>6 m/s，故C错误．
7．(2023·广东湛江市调研)如图所示，小船以大小为v1、方向与上游河岸成θ角的速度(在静水中的速度)从A处过河，经过时间t正好到达正对岸的B处．现要使小船在更长的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪一种( )
A．只要增大v1大小，不必改变θ角
B．只要增大θ角，不必改变v1大小
C．在增大v1的同时，也必须适当增大θ角
D．在减小v1的同时，也必须适当减小θ角
答案 D
解析 若只增大v1大小，不改变θ角，则船在沿水流方向的分速度增大，因此船不可能垂直到达对岸，故A错误；若只增大θ角，不改变v1大小，同理可知，船沿水流方向的分速度减小，而垂直河岸的分速度增大，船不可能垂直到达对岸，故B错误；在增大v1的同时，也必须适当增大θ角，这样才能保证水流方向的分速度不变，而垂直河岸的分速度在增大，则船还能垂直到达对岸，且时间更短，故C错误；若减小v1的同时适当减小θ角，则水流方向的分速度可能不变，能垂直到达对岸，而垂直河岸的分速度减小，则船垂直到达对岸的时间更长，故D正确．
8.(多选)(2023·广东茂名市高三检测)如图所示，小船从河岸的O点沿虚线运动，匀速运动到河对岸的P点，河水的流速v水、船在静水中的速度v静与虚线的夹角分别为α、θ，河宽为L，且v静、v水的大小不变，下列说法正确的是( )
A．渡河时间t＝eq \f(L,v静)
B．渡河时间t＝eq \f(L,v静sinθ＋α)
C．v水越小，渡河时间越短
D．当α＋θ＝90°时，渡河的时间最短
答案 BD
解析 根据速度的合成与分解及数学知识可知，渡河时间t＝eq \f(L,v静sinα＋θ)，与v水无关，选项A、C错误，B正确；当α＋θ＝90°时，渡河时间最短，为tmin＝eq \f(L,v静)，选项D正确．
9.如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙面和水平地面滑动．当AB杆和墙面的夹角为θ时，杆的A端沿墙面下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2.v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2B．v1＝v2cs θ
C．v1＝v2tan θD．v1＝v2sin θ
答案 C
解析 将A端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度v1∥＝v1cs θ，将B端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度v2∥＝v2sin θ，由于v1∥＝v2∥，所以v1＝v2tan θ，故选C.
10.图甲为我国运动员参加冰壶比赛的场景．比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转(自旋)，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶前方受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动．在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶的运动轨迹(虚线表示)可能正确的是( )
A．①③B．①④
C．②③D．②④
答案 B
解析 由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶前方受到的摩擦力，而后方受到的摩擦力几乎不变，若冰壶按如图的方向逆时针旋转，则沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，则冰壶的运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按顺时针方向旋转，冰壶运动轨迹向右偏转，即①④正确，故选B.
11．(多选)(2023·广东深圳市模拟)如图所示，A、B两球分别套在两光滑无限长的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮(轴心固定不动)相连，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，A球向左的速度为v，下列说法正确的是( )
A．此时B球的速度为eq \f(vcs α,cs β)
B．此时B球的速度为eq \f(vcs β,cs α)
C．当β增大到90°时，B球的速度达到最大
D．在β增大到90°的过程中，绳对B球的拉力一直做正功
答案 ACD
解析 将A球和B球的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子的方向，A沿绳子方向的分速度等于B沿绳子方向的分速度．A沿绳子方向的分速度为v绳＝vcs α，所以vB＝eq \f(v绳,cs β)＝eq \f(vcs α,cs β)，故A正确，B错误；当β增大到90°时，B球沿绳子方向的分速度等于0，所以A沿绳子方向的分速度也是0，而cs α不等于0，所以A球的速度为0；此时A的动能全部转化为B的动能，所以B球的速度达到最大，故C正确；在β增大到90°的过程中，绳子的方向与B球运动的方向之间的夹角始终是锐角，所以绳对B球的拉力一直做正功，故D正确．
12.(2023·山西大同市模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
(2)A、B两点间的距离；
(3)小球的最大速率vmax.
答案 (1)eq \f(mv02,2F) (2)eq \f(2m2gv02,F2) (3)eq \f(v0,F)eq \r(F2＋4m2g2)
解析 (1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，v02＝2axxmax，
解得xmax＝eq \f(mv02,2F).
(2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝eq \f(v0,ax)
由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
竖直方向上有y＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(2m2gv02,F2).
(3)小球运动到B点时速率最大，此时有vx＝v0
vy＝gt，则vmax＝eq \r(vx2＋vy2)＝eq \f(v0,F)eq \r(F2＋4m2g2).考情分析
运动的合成与分解
2019·全国卷Ⅱ·T19
平抛运动
2022·广东卷·T6 2022·北京卷·T17 2021·山东卷·T11
2021·山东卷·T16 2020·全国卷Ⅱ·T16 2020·江苏卷·T8
2020·浙江1月选考·T5
斜抛运动
2022·山东卷·T11 2021·浙江1月选考·T9 2020·山东卷·T16
圆周运动
2022·全国甲卷·T14 2022·河北卷·T10 2022·辽宁卷·T13
2022·北京卷·T8 2021·全国甲卷·T15 2021·浙江6月选考·T7 2020·全国卷Ⅰ·T16 2020·浙江7月选考·T2
实验：探究平抛运动的特点
2021·全国乙卷·T22 2019·浙江4月选考·T17
试题情境
生活实践类
生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究类
小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
渡河时间
(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关；
(2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝eq \f(d,v船)(d为河宽)
渡河位移
若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且smin＝d
若v船
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