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2024届高考物理一轮复习教案第一章运动的描述匀变速直线运动的研究专题强化二追及相遇问题（粤教版新教材）
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这是一份2024届高考物理一轮复习教案第一章运动的描述匀变速直线运动的研究专题强化二追及相遇问题（粤教版新教材），共11页。
题型一 追及相遇问题
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．追及相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例．
1．二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变．
(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离就不断减小．
2．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
3．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．
(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δs与时间t的二次函数关系，Δs＝0时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－eq \f(b,2a)时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．
4．常见追及情景
(1)速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大．
(2)速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间有最小值．
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距s0，当vB＝vA时，若sB>sA＋s0，则能追上；若sB＝sA＋s0，则恰好追上；若sB特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动．
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案 2 s 6 m
解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δs，则有v＝at
所以t＝eq \f(v,a)＝2 s，Δs＝vt－eq \f(1,2)at2＝6 m.
解法二(二次函数法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δs＝vt－eq \f(1,2)at2
代入已知数据得Δs＝6t－eq \f(3,2)t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δs有最大值为6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v1＝6 m/s
所以有t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(6,3) s＝2 s，
Δs＝eq \f(v1t1,2)＝eq \f(6×2,2) m＝6 m.
例2 汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距s0＝7 m处，有以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A恰好追上B.
答案 (1)16 m (2)8 s
解析 汽车A和B的运动过程如图所示．
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即vB－at＝vA，解得t＝3 s
此时汽车A的位移sA＝vAt＝12 m
汽车B的位移sB＝vBt－eq \f(1,2)at2＝21 m
故最远距离Δsmax＝sB＋s0－sA＝16 m.
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间
t1＝eq \f(vB,a)＝5 s
运动的位移sB′＝eq \f(vB2,2a)＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移
sA′＝vAt1＝20 m
此时相距Δs＝sB′＋s0－sA′＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝eq \f(Δs,vA)＝3 s
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式vBt－eq \f(1,2)at2＋s0＝vAt，解得经过t＝7 s(另一解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？
(2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距s0＝7 m处，有以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
答案 见解析
解析 (1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝eq \f(vB,a)＝5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动．
(2)由位移时间关系公式有：vBt－eq \f(1,2)at2＝s0＋vAt，解得t1＝(3－eq \r(2)) s，t2＝(3＋eq \r(2)) s.
例3 如图为A、B两辆小车，B车以vB＝15 m/s的速度匀速行驶，A车在B车后方以vA＝25 m/s的速度同向行驶，当两车相距Δs＝56 m时，A车司机准备超越B车，已知A车加速时加速度大小aA＝2 m/s2，刹车时加速度大小aA′＝5 m/s2.
(1)A车最少需要多长时间能追上B车？
(2)若A车和B车在同一直线上运动，A车司机放弃超车，为避免与B车相撞，立即刹车，同时鸣笛发出信号提示B车司机加速，B车司机经反应时间t0＝0.2 s后，立即以aB＝4 m/s2的加速度加速，判定两车能否相撞，若不能，求两车的最近距离．(结果保留一位小数)
答案 (1)4 s (2)不能 49.6 m
解析 (1)A车追上B车时，有vAt＋eq \f(1,2)aAt2＝vBt＋Δs，解得t＝4 s(t＝－14 s舍去)
故A车追上B车用时为t＝4 s
(2)两车共速时如果不相撞，之后就不会相撞，此时两车相距最近，设经t1时间两车速度相等，则有vA－aA′t1＝vB＋aB(t1－t0)
则A车的位移为sA′＝vAt1－eq \f(1,2)aA′t12
B车的位移为sB′＝vBt0＋vB(t1－t0)＋eq \f(1,2)aB(t1－t0)2
解得t1＝1.2 s，sA′＝26.4 m，sB′＝20 m
因为sA′<Δs＋sB′，所以两车不相撞，且最近距离为Δs′＝sB′＋Δs－sA′＝49.6 m.
题型二 图像法在追及相遇问题中的应用
1．s－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为s－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．
考向1 利用s－t图像分析追及相遇问题
例4 (多选)(2023·广东汕头市金山中学摸底)甲、乙两车在同一平直公路的两条平行车道上同时(t＝0)并排出发，甲车做匀速直线运动，乙车做初速度为0的匀加速直线运动，它们的位移－时间图像如图所示，比较两车在0～10 s内的运动，以下说法正确的是( )
A．t＝5 s时，甲、乙两车速度大小相差最大
B．t＝10 s时，甲、乙两车速度大小相差最小
C．t＝5 s时，两车间距达到最大
D．t＝10 s时，乙车的速度一定是甲车的2倍
答案 CD
解析 乙车做初速度为0的匀加速直线运动，根据s＝eq \f(1,2)at2，将(10,100)代入可得a＝2 m/s2，甲车做匀速直线运动，速度为v甲＝eq \f(s,t1)＝eq \f(100,10) m/s＝10 m/s, t＝5 s时，甲、乙的速度分别为v甲＝10 m/s，v乙＝at2＝10 m/s，由此可知此时两车速度相等，故A错误；t＝10 s时，甲、乙的速度分别为v甲＝10 m/s，v乙′＝at1＝20 m/s，由此可知此时两车速度相差Δv＝v乙′－v甲＝10 m/s，乙车的速度是甲车的2倍，故B错误，D正确；两车同时同地出发，t＝5 s时两车速度相等，两车间距达到最大，故C正确．
考向2 利用v－t图像分析追及相遇问题
例5 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前方7.5 m处
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移知，0～3 s内甲车位移s甲＝eq \f(1,2)×3×30 m＝45 m，乙车位移s乙＝eq \f(1,2)×3×(10＋25) m＝52.5 m，故t＝0时，甲、乙两车相距Δs1＝s乙－s甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m处，选项B正确；0～1 s内，s甲′＝eq \f(1,2)×1×10 m＝5 m，s乙′＝eq \f(1,2)×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δs2＝s乙′－s甲′＝7.5 m＝Δs1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为s＝s甲－s甲′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确．
课时精练
1.(2023·河南省第一次月考)若甲、乙两物体同时出发，其s－t图像如图所示．下列说法中正确的是( )
A．两物体在0～3 s内的运动方向相同
B．乙物体在0～2 s内的位移为4 m
C．两物体在t＝2 s时相遇
D．甲、乙两物体在0～2 s内的位移相等
答案 C
解析 由题图可知，甲物体在3 s内沿着正方向运动，乙物体在3 s内沿着负方向运动，故A错误；乙物体在0～2 s内的位移为－4 m，故B错误；由题图可知，甲、乙在t＝2 s时相遇，故C正确；甲物体在0～2 s内的位移为s甲＝2 m，乙物体的位移s乙＝－4 m，二者不相等，故D错误．
2.(2023·四川南充市模拟)某车型在红绿灯停启、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等方面都能无干预自动驾驶．某次试乘时，甲、乙两车同时并排出发，沿着同一平直路面行驶，它们的速度v随时间t变化的图像如图所示．则下列说法中正确的是( )
A．t1～t2时间内，甲、乙两车的加速度不可能相同
B．t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离始终增大
C．t1～t2时间内，甲、乙两车相遇两次
D．t1～t2时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
答案 D
解析 由于v－t图像的斜率表示加速度，则由题图可看出，图线甲的斜率先减小后反向增大，存在某一时刻图线甲的斜率与图线乙的斜率相同，故在t1～t2时间内，存在甲、乙两车加速度相同的时刻，A错误；由题图可看出在0～t1时间内，乙的速度一直大于甲的速度，又根据题知甲、乙两车同时从同一位置出发，则二者距离先增大，且在t1时刻乙在甲前面，t1后甲的速度大于乙的速度，则二者越来越近，最后相遇，但甲的速度依然大于乙的速度，则二者的距离再增大，到t2时甲在乙前面，故在t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离先减小后增大，甲、乙两车相遇一次，B、C错误；根据平均速度的计算公式有eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)，由于v－t图像与横轴围成的面积表示位移，则在t1～t2时间内，s甲>s乙，则甲车的平均速度大于乙车的平均速度，D正确．
3.(多选)(2023·广东东莞市四中检测)甲、乙两车同时、同地向同一个方向做直线运动．它们在0～4 s内运动的v－t图像如图所示，由图像可知( )
A．乙车运动的加速度大小为5 m/s2
B．在第2 s末，两车相遇
C．在第4 s末，两车相距最远
D．在0～4 s内，甲、乙两车的位移相等
答案 AD
解析 根据速度－时间图像的斜率表示加速度，乙车运动的加速度大小为a＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(Δv,Δt)))＝eq \f(20,4) m/s2＝5 m/s2，故A正确；由题图知，在前2 s内乙车比甲车运动得快，乙车在甲车的前方，两车间距增大，在后2 s内，乙车比甲车运动得慢，乙车在甲车的前方，两车间距减小，因此在第2 s末两车相距最远，故B、C错误；根据v－t图像与t轴所围图形面积表示位移，可知在0～4 s内甲、乙两车的位移相等，故D正确．
4．(多选)近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，一辆和谐号动车正和一辆复兴号动车互相追赶(如图甲)．两车并排做直线运动，其v－t图像如图乙所示，t＝0时，两车车头刚好并排，则( )
A．10 s末和谐号的加速度比复兴号的大
B．图乙中复兴号的最大速度为78 m/s
C．0到32 s内，在24 s末两车车头相距最远
D．两车头在32 s末再次并排
答案 BC
解析 v－t图像的斜率表示加速度，可得和谐号的加速度为a1＝eq \f(72－60,24) m/s2＝eq \f(1,2) m/s2，复兴号的加速度为a2＝eq \f(72－60,24－8) m/s2＝eq \f(3,4) m/s2，则10 s末和谐号的加速度比复兴号的小，故A错误；题图乙中复兴号的最大速度为vm＝72 m/s＋a2×(32－24) m/s＝78 m/s，故B正确；因t＝0时两车车头刚好并排，在0到24 s内和谐号的速度大于复兴号的速度，两者的距离逐渐增大，速度相等后两者的距离缩小，则在24 s末两车车头相距最远，故C正确；由v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，则在0～24 s两者的最大距离为Δs＝eq \f(8×72－60,2) m＝48 m，而在24～32 s内缩小的距离为Δs′＝eq \f(78－72×32－24,2) m＝24 m<Δs，即32 s末复兴号还未追上和谐号，故D错误．
5.(多选)(2023·福建省三明一中模拟)甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两车的速度v随时间t的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等(S1＝S2)，则( )
A．甲、乙两车均做直线运动
B．在0～t2时间内，甲、乙两车相遇两次
C．在0～t2时间内，甲的加速度先减小后增大
D．在0～t2时间内(不包括t2时刻)，甲车一直在乙车前面
答案 AD
解析 甲、乙两车均做直线运动，A正确；从图像可知，在0～t2时间内，甲、乙两车图线与t轴所包围的“面积”相等，即两车的位移相等，所以t2时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一次，B错误；在0～t2时间内，甲车的v－t图线斜率不断增大，所以加速度不断增大，C错误；在0～t2时间内(不包括t2时刻)，甲车图线与t轴所包围的“面积”大于乙车图线与t轴所包围的“面积”，即甲车的位移大于乙车的位移，且甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点出发，所以甲车一直在乙车前面，D正确．
6．(多选)(2023·广东茂名市模拟)2021年7月31日，第二十届全国大学生机器人大赛ROBOCON圆满闭幕，本次大赛的主题项目为“投壶行觞”和“机器马术”．如图甲，在一次比赛中a、b两机器人从同一起跑线沿同一方向做直线运动，它们的速度—时间图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
A．20 s时，a、b两机器人在运动方向上相距约500 m
B．40 s时，a、b两机器人速度相等，在运动方向上相距最远，为400 m
C．60 s时，b机器人在a机器人的前方，在运动方向上相距400 m
D．a、b加速时，b机器人的加速度大于a机器人的加速度
答案 AD
解析 根据题图乙可知，t＝20 s时b机器人才出发，20 s时两者间距即为a机器人在0～20 s内的位移，速度—时间图像与时间轴围成的“面积”表示位移，则Δs＝sa＝eq \f(10＋40,2)×20 m＝500 m，故A正确；0～40 s内a比b多运动的位移为s＝(eq \f(10＋40,2)×20＋eq \f(1,2)×40×20)m＝900 m，故B错误；由题图乙知，60 s时二者的位移之差等于20 s时的位移差，由A选项分析可知，此时b机器人在a机器人的后方，在运动方向上相距500 m，故C错误；速度—时间图像图线的斜率表示加速度，由题图乙知：a、b加速时，a图线的斜率小于b图线的斜率，说明b机器人的加速度大于a机器人的加速度，故D正确．
7．(2023·广东省华南师大附中模拟)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示．已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了s1＝12 m.
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小．
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离s0应满足什么条件？
答案 (1)12 m/s 3 m/s2 (2)s0>36 m
解析 (1)在t1＝1 s时，A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得s1＝vBt1，解得B车的速度大小为vB＝12 m/s，图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝eq \f(vB,t2－t1)，其中t2＝5 s，解得A车的加速度大小为a＝3 m/s2.
(2)两车的速度达到相同时，两车的距离达到最小，对应v－t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则s＝eq \f(1,2)vB(t1＋t2)，代入数据解得s＝36 m，因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离应满足条件为s0>36 m.
8．(2023·山东省实验中学月考)足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中，某标准足球场长105 m，宽68 m．攻方前锋在中线处将足球沿边线向前路踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12 m/s的匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2，试求：
(1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移为多大；
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球．他的启动过程可以视为初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8 m/s，该前锋队员至少经过多长时间能追上足球．
答案 (1)36 m (2)6.5 s
解析 (1)依题意，足球做匀减速运动，到停下来，由速度与时间关系得v1＝a1t1，代入数据得t1＝6 s，
根据s1＝eq \f(v1,2)t1，代入数据得s1＝36 m.
(2)前锋队员做匀加速直线运动达到最大速度的时间和位移分别为t2＝eq \f(v2,a2)＝4 s，s2＝eq \f(v2,2)t2＝16 m，之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动，其位移为s3＝v2(t1－t2)＝16 m，由于s2＋s39．甲、乙两车均沿同一平直公路同向行驶．初始时刻，甲车在乙车前方s0＝75 m处．甲车始终以v1＝10 m/s的速度匀速运动．乙车做初速度为零，加速度a＝2 m/s2的匀加速直线运动．求：
(1)乙车追上甲车之前，两车之间的最大距离smax；
(2)经过多少时间，乙车追上甲车？
(3)当乙车刚追上甲车时，乙车立即刹车，减速过程的加速度大小a′＝5 m/s2，则再经过多长时间，甲、乙两车再次相遇？
答案 (1)100 m (2)15 s (3)9 s
解析 (1)两车速度相等时，相距最远，设用时为t1，则有v1＝at1
两车距离smax＝s0＋v1t1－eq \f(1,2)at12
代入数据解得smax＝100 m
(2)设乙车追上甲车用时为t，则有eq \f(1,2)at2－v1t＝s0
解得t＝15 s(t＝－5 s舍去)
(3)设乙车追上甲车时速度为v2，
则v2＝at＝2×15 m/s＝30 m/s
设从刹车到停止运动所用时间为t2，
则t2＝eq \f(v2,a′)＝eq \f(30,5) s＝6 s
设两车再次相遇用时t3，
应满足v1t3＝v2t3－eq \f(1,2)a′t32
解得t3＝8 s>6 s
所以，乙车停下后，甲车才追上，故乙车此后行驶距离：
s＝eq \f(v2t2,2)＝eq \f(30×6,2) m＝90 m
甲、乙两车再次相遇，所用时间t′＝eq \f(s,v1)＝eq \f(90,10) s＝9 s.
题型一 追及相遇问题
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．追及相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例．
1．二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲
(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离就不断减小．
2．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
3．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．
(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δs与时间t的二次函数关系，Δs＝0时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－eq \f(b,2a)时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．
4．常见追及情景
(1)速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大．
(2)速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间有最小值．
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距s0，当vB＝vA时，若sB>sA＋s0，则能追上；若sB＝sA＋s0，则恰好追上；若sB
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案 2 s 6 m
解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δs，则有v＝at
所以t＝eq \f(v,a)＝2 s，Δs＝vt－eq \f(1,2)at2＝6 m.
解法二(二次函数法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δs＝vt－eq \f(1,2)at2
代入已知数据得Δs＝6t－eq \f(3,2)t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δs有最大值为6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v1＝6 m/s
所以有t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(6,3) s＝2 s，
Δs＝eq \f(v1t1,2)＝eq \f(6×2,2) m＝6 m.
例2 汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距s0＝7 m处，有以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A恰好追上B.
答案 (1)16 m (2)8 s
解析 汽车A和B的运动过程如图所示．
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即vB－at＝vA，解得t＝3 s
此时汽车A的位移sA＝vAt＝12 m
汽车B的位移sB＝vBt－eq \f(1,2)at2＝21 m
故最远距离Δsmax＝sB＋s0－sA＝16 m.
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间
t1＝eq \f(vB,a)＝5 s
运动的位移sB′＝eq \f(vB2,2a)＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移
sA′＝vAt1＝20 m
此时相距Δs＝sB′＋s0－sA′＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝eq \f(Δs,vA)＝3 s
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式vBt－eq \f(1,2)at2＋s0＝vAt，解得经过t＝7 s(另一解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？
(2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距s0＝7 m处，有以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
答案 见解析
解析 (1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝eq \f(vB,a)＝5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动．
(2)由位移时间关系公式有：vBt－eq \f(1,2)at2＝s0＋vAt，解得t1＝(3－eq \r(2)) s，t2＝(3＋eq \r(2)) s.
例3 如图为A、B两辆小车，B车以vB＝15 m/s的速度匀速行驶，A车在B车后方以vA＝25 m/s的速度同向行驶，当两车相距Δs＝56 m时，A车司机准备超越B车，已知A车加速时加速度大小aA＝2 m/s2，刹车时加速度大小aA′＝5 m/s2.
(1)A车最少需要多长时间能追上B车？
(2)若A车和B车在同一直线上运动，A车司机放弃超车，为避免与B车相撞，立即刹车，同时鸣笛发出信号提示B车司机加速，B车司机经反应时间t0＝0.2 s后，立即以aB＝4 m/s2的加速度加速，判定两车能否相撞，若不能，求两车的最近距离．(结果保留一位小数)
答案 (1)4 s (2)不能 49.6 m
解析 (1)A车追上B车时，有vAt＋eq \f(1,2)aAt2＝vBt＋Δs，解得t＝4 s(t＝－14 s舍去)
故A车追上B车用时为t＝4 s
(2)两车共速时如果不相撞，之后就不会相撞，此时两车相距最近，设经t1时间两车速度相等，则有vA－aA′t1＝vB＋aB(t1－t0)
则A车的位移为sA′＝vAt1－eq \f(1,2)aA′t12
B车的位移为sB′＝vBt0＋vB(t1－t0)＋eq \f(1,2)aB(t1－t0)2
解得t1＝1.2 s，sA′＝26.4 m，sB′＝20 m
因为sA′<Δs＋sB′，所以两车不相撞，且最近距离为Δs′＝sB′＋Δs－sA′＝49.6 m.
题型二 图像法在追及相遇问题中的应用
1．s－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为s－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．
考向1 利用s－t图像分析追及相遇问题
例4 (多选)(2023·广东汕头市金山中学摸底)甲、乙两车在同一平直公路的两条平行车道上同时(t＝0)并排出发，甲车做匀速直线运动，乙车做初速度为0的匀加速直线运动，它们的位移－时间图像如图所示，比较两车在0～10 s内的运动，以下说法正确的是( )
A．t＝5 s时，甲、乙两车速度大小相差最大
B．t＝10 s时，甲、乙两车速度大小相差最小
C．t＝5 s时，两车间距达到最大
D．t＝10 s时，乙车的速度一定是甲车的2倍
答案 CD
解析 乙车做初速度为0的匀加速直线运动，根据s＝eq \f(1,2)at2，将(10,100)代入可得a＝2 m/s2，甲车做匀速直线运动，速度为v甲＝eq \f(s,t1)＝eq \f(100,10) m/s＝10 m/s, t＝5 s时，甲、乙的速度分别为v甲＝10 m/s，v乙＝at2＝10 m/s，由此可知此时两车速度相等，故A错误；t＝10 s时，甲、乙的速度分别为v甲＝10 m/s，v乙′＝at1＝20 m/s，由此可知此时两车速度相差Δv＝v乙′－v甲＝10 m/s，乙车的速度是甲车的2倍，故B错误，D正确；两车同时同地出发，t＝5 s时两车速度相等，两车间距达到最大，故C正确．
考向2 利用v－t图像分析追及相遇问题
例5 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前方7.5 m处
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移知，0～3 s内甲车位移s甲＝eq \f(1,2)×3×30 m＝45 m，乙车位移s乙＝eq \f(1,2)×3×(10＋25) m＝52.5 m，故t＝0时，甲、乙两车相距Δs1＝s乙－s甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m处，选项B正确；0～1 s内，s甲′＝eq \f(1,2)×1×10 m＝5 m，s乙′＝eq \f(1,2)×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δs2＝s乙′－s甲′＝7.5 m＝Δs1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为s＝s甲－s甲′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确．
课时精练
1.(2023·河南省第一次月考)若甲、乙两物体同时出发，其s－t图像如图所示．下列说法中正确的是( )
A．两物体在0～3 s内的运动方向相同
B．乙物体在0～2 s内的位移为4 m
C．两物体在t＝2 s时相遇
D．甲、乙两物体在0～2 s内的位移相等
答案 C
解析 由题图可知，甲物体在3 s内沿着正方向运动，乙物体在3 s内沿着负方向运动，故A错误；乙物体在0～2 s内的位移为－4 m，故B错误；由题图可知，甲、乙在t＝2 s时相遇，故C正确；甲物体在0～2 s内的位移为s甲＝2 m，乙物体的位移s乙＝－4 m，二者不相等，故D错误．
2.(2023·四川南充市模拟)某车型在红绿灯停启、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等方面都能无干预自动驾驶．某次试乘时，甲、乙两车同时并排出发，沿着同一平直路面行驶，它们的速度v随时间t变化的图像如图所示．则下列说法中正确的是( )
A．t1～t2时间内，甲、乙两车的加速度不可能相同
B．t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离始终增大
C．t1～t2时间内，甲、乙两车相遇两次
D．t1～t2时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
答案 D
解析 由于v－t图像的斜率表示加速度，则由题图可看出，图线甲的斜率先减小后反向增大，存在某一时刻图线甲的斜率与图线乙的斜率相同，故在t1～t2时间内，存在甲、乙两车加速度相同的时刻，A错误；由题图可看出在0～t1时间内，乙的速度一直大于甲的速度，又根据题知甲、乙两车同时从同一位置出发，则二者距离先增大，且在t1时刻乙在甲前面，t1后甲的速度大于乙的速度，则二者越来越近，最后相遇，但甲的速度依然大于乙的速度，则二者的距离再增大，到t2时甲在乙前面，故在t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离先减小后增大，甲、乙两车相遇一次，B、C错误；根据平均速度的计算公式有eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)，由于v－t图像与横轴围成的面积表示位移，则在t1～t2时间内，s甲>s乙，则甲车的平均速度大于乙车的平均速度，D正确．
3.(多选)(2023·广东东莞市四中检测)甲、乙两车同时、同地向同一个方向做直线运动．它们在0～4 s内运动的v－t图像如图所示，由图像可知( )
A．乙车运动的加速度大小为5 m/s2
B．在第2 s末，两车相遇
C．在第4 s末，两车相距最远
D．在0～4 s内，甲、乙两车的位移相等
答案 AD
解析 根据速度－时间图像的斜率表示加速度，乙车运动的加速度大小为a＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(Δv,Δt)))＝eq \f(20,4) m/s2＝5 m/s2，故A正确；由题图知，在前2 s内乙车比甲车运动得快，乙车在甲车的前方，两车间距增大，在后2 s内，乙车比甲车运动得慢，乙车在甲车的前方，两车间距减小，因此在第2 s末两车相距最远，故B、C错误；根据v－t图像与t轴所围图形面积表示位移，可知在0～4 s内甲、乙两车的位移相等，故D正确．
4．(多选)近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，一辆和谐号动车正和一辆复兴号动车互相追赶(如图甲)．两车并排做直线运动，其v－t图像如图乙所示，t＝0时，两车车头刚好并排，则( )
A．10 s末和谐号的加速度比复兴号的大
B．图乙中复兴号的最大速度为78 m/s
C．0到32 s内，在24 s末两车车头相距最远
D．两车头在32 s末再次并排
答案 BC
解析 v－t图像的斜率表示加速度，可得和谐号的加速度为a1＝eq \f(72－60,24) m/s2＝eq \f(1,2) m/s2，复兴号的加速度为a2＝eq \f(72－60,24－8) m/s2＝eq \f(3,4) m/s2，则10 s末和谐号的加速度比复兴号的小，故A错误；题图乙中复兴号的最大速度为vm＝72 m/s＋a2×(32－24) m/s＝78 m/s，故B正确；因t＝0时两车车头刚好并排，在0到24 s内和谐号的速度大于复兴号的速度，两者的距离逐渐增大，速度相等后两者的距离缩小，则在24 s末两车车头相距最远，故C正确；由v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，则在0～24 s两者的最大距离为Δs＝eq \f(8×72－60,2) m＝48 m，而在24～32 s内缩小的距离为Δs′＝eq \f(78－72×32－24,2) m＝24 m<Δs，即32 s末复兴号还未追上和谐号，故D错误．
5.(多选)(2023·福建省三明一中模拟)甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两车的速度v随时间t的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等(S1＝S2)，则( )
A．甲、乙两车均做直线运动
B．在0～t2时间内，甲、乙两车相遇两次
C．在0～t2时间内，甲的加速度先减小后增大
D．在0～t2时间内(不包括t2时刻)，甲车一直在乙车前面
答案 AD
解析 甲、乙两车均做直线运动，A正确；从图像可知，在0～t2时间内，甲、乙两车图线与t轴所包围的“面积”相等，即两车的位移相等，所以t2时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一次，B错误；在0～t2时间内，甲车的v－t图线斜率不断增大，所以加速度不断增大，C错误；在0～t2时间内(不包括t2时刻)，甲车图线与t轴所包围的“面积”大于乙车图线与t轴所包围的“面积”，即甲车的位移大于乙车的位移，且甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点出发，所以甲车一直在乙车前面，D正确．
6．(多选)(2023·广东茂名市模拟)2021年7月31日，第二十届全国大学生机器人大赛ROBOCON圆满闭幕，本次大赛的主题项目为“投壶行觞”和“机器马术”．如图甲，在一次比赛中a、b两机器人从同一起跑线沿同一方向做直线运动，它们的速度—时间图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
A．20 s时，a、b两机器人在运动方向上相距约500 m
B．40 s时，a、b两机器人速度相等，在运动方向上相距最远，为400 m
C．60 s时，b机器人在a机器人的前方，在运动方向上相距400 m
D．a、b加速时，b机器人的加速度大于a机器人的加速度
答案 AD
解析 根据题图乙可知，t＝20 s时b机器人才出发，20 s时两者间距即为a机器人在0～20 s内的位移，速度—时间图像与时间轴围成的“面积”表示位移，则Δs＝sa＝eq \f(10＋40,2)×20 m＝500 m，故A正确；0～40 s内a比b多运动的位移为s＝(eq \f(10＋40,2)×20＋eq \f(1,2)×40×20)m＝900 m，故B错误；由题图乙知，60 s时二者的位移之差等于20 s时的位移差，由A选项分析可知，此时b机器人在a机器人的后方，在运动方向上相距500 m，故C错误；速度—时间图像图线的斜率表示加速度，由题图乙知：a、b加速时，a图线的斜率小于b图线的斜率，说明b机器人的加速度大于a机器人的加速度，故D正确．
7．(2023·广东省华南师大附中模拟)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示．已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了s1＝12 m.
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小．
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离s0应满足什么条件？
答案 (1)12 m/s 3 m/s2 (2)s0>36 m
解析 (1)在t1＝1 s时，A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得s1＝vBt1，解得B车的速度大小为vB＝12 m/s，图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝eq \f(vB,t2－t1)，其中t2＝5 s，解得A车的加速度大小为a＝3 m/s2.
(2)两车的速度达到相同时，两车的距离达到最小，对应v－t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则s＝eq \f(1,2)vB(t1＋t2)，代入数据解得s＝36 m，因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离应满足条件为s0>36 m.
8．(2023·山东省实验中学月考)足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中，某标准足球场长105 m，宽68 m．攻方前锋在中线处将足球沿边线向前路踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12 m/s的匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2，试求：
(1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移为多大；
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球．他的启动过程可以视为初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8 m/s，该前锋队员至少经过多长时间能追上足球．
答案 (1)36 m (2)6.5 s
解析 (1)依题意，足球做匀减速运动，到停下来，由速度与时间关系得v1＝a1t1，代入数据得t1＝6 s，
根据s1＝eq \f(v1,2)t1，代入数据得s1＝36 m.
(2)前锋队员做匀加速直线运动达到最大速度的时间和位移分别为t2＝eq \f(v2,a2)＝4 s，s2＝eq \f(v2,2)t2＝16 m，之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动，其位移为s3＝v2(t1－t2)＝16 m，由于s2＋s3
(1)乙车追上甲车之前，两车之间的最大距离smax；
(2)经过多少时间，乙车追上甲车？
(3)当乙车刚追上甲车时，乙车立即刹车，减速过程的加速度大小a′＝5 m/s2，则再经过多长时间，甲、乙两车再次相遇？
答案 (1)100 m (2)15 s (3)9 s
解析 (1)两车速度相等时，相距最远，设用时为t1，则有v1＝at1
两车距离smax＝s0＋v1t1－eq \f(1,2)at12
代入数据解得smax＝100 m
(2)设乙车追上甲车用时为t，则有eq \f(1,2)at2－v1t＝s0
解得t＝15 s(t＝－5 s舍去)
(3)设乙车追上甲车时速度为v2，
则v2＝at＝2×15 m/s＝30 m/s
设从刹车到停止运动所用时间为t2，
则t2＝eq \f(v2,a′)＝eq \f(30,5) s＝6 s
设两车再次相遇用时t3，
应满足v1t3＝v2t3－eq \f(1,2)a′t32
解得t3＝8 s>6 s
所以，乙车停下后，甲车才追上，故乙车此后行驶距离：
s＝eq \f(v2t2,2)＝eq \f(30×6,2) m＝90 m
甲、乙两车再次相遇，所用时间t′＝eq \f(s,v1)＝eq \f(90,10) s＝9 s.
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