2021-2022学年高一下学期期末数学模拟测试卷09

这是一份2021-2022学年高一下学期期末数学模拟测试卷09，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．已知中，，，，则等于( )
A．B．C．D．
2．已知数列的前项和，则的通项公式( )
A．B．C．D．
3．已知平面，，直线，，下列命题中假命题是( )
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
4．设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．B．C．D．
5．一个圆锥的侧面展开图是一个的圆面，则这个圆锥的表面积和侧面积的比是( )
A．B．C．D．
6．过点且与直线垂直的直线方程是( )
A．B．
C．D．
7．已知点是圆上任意一点，则的取值范围是( )
A．B．
C．D．
8．过点且平行于直线的直线方程为( )
A．B．C．D．
9．设，且，则下列判断一定正确的是( )
A．B．C．D．
10．若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A．B．C．D．
11．若圆与圆相切，则等于( )
A．16B．7C．-4或16D．7或16
12．二面角的大小为，是棱上的两点，分别在半平面内，，，，，，则的长度为( )
A．B．C．D．
二、填空题
13．直线被圆所截得的弦长为__________．
14．已知为正项等比数列，且是方程的两个实数根，则_________．
15．矩形中， ， ，沿将折起到使平面平面， 是线段的中点， 是线段上的一点，给出下列结论：
①存在点，使得平面；②存在点，使得平面；
③存在点，使得平面；④存在点，使得平面．
其中正确结论的序号是__________．
16．如图，在三棱锥中，侧棱平面， ，底面是边长为2的正三角形，则此三棱锥的表面积为__________．
三、解答题
17．在中，，，的对边分别为，，，若，
(1)求的大小；(2)若，，求，的值．
18．已知为等差数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若等比数列满足，，求的前项和公式.
19．某租赁公司，购买了一辆小型挖掘机进行租赁．据市场分析，该小型挖掘机的租赁利润(单位：万元)与租赁年数的关系为．
(1)该挖掘机租赁到哪几年时，租赁的利润超过万元？
(2)该挖掘机租赁到哪一年时，租赁的年平均利润最大？
20．如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面平面, ,点在棱上, ,点是棱的中点,求证：
(1) 平面;
(2) 平面．
21．已知圆的圆心为，直线与圆相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线过点，且被圆所截得弦长为，求直线的方程．
22．如图(1)在等腰中，，，分别是，和边的中点，，现将沿翻折成直二面角.(如图(2))
(I)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(II)求二面角的余弦值；
(III)在线段是否存在一点，但？证明你的结论.
参考答案
一、选择题
1．D
解析：由正弦定理可知，即，所以，因为，所以，所以，解得．故选D．
2．B
解析：令，得， ，当时， ，所以，所以，所以数列是以1为首项， 为公比的等比数列，所以，故选B．
3．D
解析：中， ， ，故正确，
中 ， ， ，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面可知， 正确；
中 ， ，由面面垂直判定定理可知，故正确；
故选
点睛：根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到正确， 根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可知错误，，由此得到正确的答案。
4．B
解析：依题意可得，该球是长方体的外接球，其直径等于长方体的体对角线，所以该球的表面积，故选B
5．A
解析：设该圆锥体的底面半径为，母线长为，根据题意得；
所以这个圆锥的侧面积与表面积的比是
故答案为A
6．C
解析：与直线垂直的直线的斜率为，有过点，
∴所求直线方程为：
即
故选：C
7．C
解析：设，即直线和圆有公共点，则，即，解得．故选C．
8．A
解析：由题意可设所求的直线方程为x−2y+c=0
∵过点(−1,3)
代入可得−1−6+c=0则c=7
∴x−2y+7=0
故选A．
9．A
解析：对于A :函数在R上单调递增，当时，有，故A对；
对于B：当时，有但，故B错；
对于C：当时，有但，故C错；
对于D：当时， 但，故D错；
故选A．
10．C
解析：联立方程 得交点 ，由交点在第一象限知： 解得 ，即是锐角，故 ，选C．
11．C
解析：整理圆的方程为标准型即： ，
圆心距为： ，两圆半径为： ，
当两圆外切时： ，
当两圆内切时，由于，故有： ，
综上可得： 等于-4或16．
本题选择C选项．
点睛：两圆相切包括内切和外切两种情况，注意分类讨论．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
12．B
解析：
选B
二、填空题
13．
解析：由题意可知：
弦长为
14．
解析：是方程的两个实数根， ， ，
故答案为．
15．①④
解析：①存在中点，则，利用线面平行的判定定理可得平面，故正确；
若平面，则平面平面，显然不成了，故错误；
因为 是矩形， ， ，所以， 在上的射影不是同一点，所以不存在点， 平面，故错误；
，利用面面垂直的性质，可得平面，故正确；
综上所述，①④是正确的。
点睛：本题是一道空间位置关系的综合题，解题的关键是掌握面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理；在说明一个命题是错误时只要能找出一个反例即可。
16．
解析：
所以表面积为
三、解答题
17．（1）（2），或，
解：（1）由已知得
∴
∵
∴
∵
∴，
（2）∵
即
∴
∴
∵
∴，或，
18．解：（1）设等差数列的公差
因为
所以
解得
所以
（2）设等比数列的公比为
因为，
所以即
所以的前项和公式为
19．解：（1）由题意，得，
整理，得，
解得，
所以该挖掘机租赁到第，，年时，租赁的利润超过万元．
（2）租赁的年平均利润为．
因为，
所以当且仅当时，即时，，
所以该挖掘机租赁到第年时，租赁的年平均利润最大．
20．证明(1)因为在中, ，
所以点是棱的中点．
又点是棱的中点,
所以是的中位线,
所以．
因为底面是矩形,
以,
所以．
又平面, 平面,所以平面．
(2)因为平面平面, 平面，
平面平面，
所以平面．
又平面,所以．
因为,, ,平面,平面,
所以平面．
21．（1）圆心直线的距离．
所以，圆心，半径，圆的标准方程：．
①当直线的斜率存在时，设直线
即：，，又，所以，解得
②当的斜率不存在时，满足条件．
故的方程为：或．
22．解：（I）如图1在中，由，分别是，中点，得，
又平面，平面，∴平面.
（II）∵，,∴是二面角的平面角，∴，
∴平面，
取的点，使，∴平面，
过作于点，连接，则，
∴是二面角的平面角.
设，则，，
在中，设底边上的高为
由中，，，∴
从而
（III）在线段上不存在点，使，
证明如下：在图2中，作，交于交于 由已知得，
于是点在的延长线上，从而在的延长线上，过作交于，
∴平面，∴，∴平面，∴.
但在的延长线上.
图1
图2