专题03 多边形及其内角和（含答案）【暑假预习课堂】新八年级数学同步精讲精练（人教版）

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【考点一 多边形】
【考点二 多边形的内角】
【考点三 多边形外角】
【聚焦考点1】
定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形.
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
凸多边形
凹多边形
要点诠释：
（1）正多边形必须满足两个条件（1）各边相等，各角相等。
（2）过多边形一个顶点有（n-3）条对角线。N边形共有n(n−3)2条对角线
（3）过n边形一个顶点把n边形分成(n-2)个三角形。
【典例剖析1】关于正多边形的概念，下列说法正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形
D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
【答案】D
【提示】
根据正多边形的定义判定即可．
【详解】
解：A．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
B．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
C．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】
本题考查了正多边形的定义、熟记各边相等、各角也相等的多边形是正多边形是解决问题的关键．
【典例1-2】若一个多边形的对角线共有14条，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．10D．14
【答案】B
【提示】
根据多边形的对角线的条数公式 列式计算即可求解．
【详解】
解：设这个多边形的边数是n，
则＝14，
整理得，n2﹣3n﹣28＝0，
解得：n＝7，n＝﹣4（舍去）．
故选：B．
【点评】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握多边形对角线条数与边数的关系，并据此列出方程．
针对训练1
【变式1-1】下列平面图形中，属于八边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．平面内不在同一条直线上的八条线段首尾顺次相接组成的图形叫八边形，据此解答．
【解答】解：A、是六边形，故此选项不符合题意；
B、是四边形，故此选项不符合题意；
C、是八边形，故此选项符合题意；
D、是圆，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形．理解多边形的定义，能够根据多边形的定义进行正确判断是解题的关键．
【变式1-2】三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（ ）根木条．
A．1B．2C．3D．4
【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5﹣3＝2条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，作出图形更形象直观
【变式1-3】若一个正多边形每一个外角都相等，且一个内角的度数是140°，则这个多边形是（ ）
A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形
【分析】先根据平角的定义求出每一个外角的度数，再根据边数＝360°÷外角度数计算即可．
【解答】解：180°﹣140°＝40°，
360°÷40°＝9，
∴这个多边形是正九边形．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形的外角与外角和的关系，需要熟练掌握并灵活运用．
【能力提升1】 多边形
【提升1-1】已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求（n﹣m）t的值．
【分析】根据题意，由多边形的性质，分析可得答案．
【解答】解：依题意有n＝4+3＝7，
m＝6+2＝8，
t＝63÷7＝9
则（n﹣m）t＝（7﹣8）9＝﹣1．
【点评】本题考查正多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n﹣3）条对角线，一共有n(n−3)2条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．这些规律需要学生牢记．
【提升1-2】（1）如图，要使四边形木架（由四根木条钉成）不变形，可以再钉上几根木条．请在图①中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？
（2）五边形呢？请在图②中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？
（3））由以上探究猜想，要使n边形的木架不变形，至少要钉上几根木条？
【分析】从n边性的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线．据此解答．
【解答】解：（1）如图①根据三角形具有稳定性可知：要使木架不变形，则需要将四边形木架钉木条转化为三角形，至少需再钉4﹣3＝1（根）木条；
（2）如图②五边形木架钉木条转化为三角形，至少需再钉5﹣3＝2（根）木条；
（3）四边形木架至少需再钉1根木条，五边形木架至少需再钉2根木条，综上可得要使n边形木架不变形，至少需要再钉（n﹣3）根木条．
【点评】本题主要考查多边形的对角线、三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
【聚焦考点2】
n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°
【典例剖析2】多边形的内角和
【典例2-1】（1）正八边形的每个内角是每个外角的m倍，求m的值；
（2）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．
【分析】（1）利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求得正八边形的一个内角的度数，继而求得一个外角的度数，两者作商即可；
（2）设这个多边形的边数为n，利用多边形的内角和与外角和列得方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵正八边形的每个内角为：（8﹣2）×180°÷8＝135°，
∴它的每个外角为：180°﹣135°＝45°，
则m＝135÷45＝3；
（2）设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°×＝360°，
解得：n＝14，
即这个多边形的边数为14．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【典例2-2】在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
【问题再现】：
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，∠A＝40°，则∠BPC＝ 110 °；
【问题解决】：
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BPC的度数；
【问题推广】：
（3）如图3，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝82°，直接写出∠PBH＝ 49 °；
【拓展提升】：
（4）在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在射线DE上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由折叠的性质和平角的定义得到∠AED+∠ADE＝130°，进而求出∠A＝50°，同（1）即可得到答案；
（3）先由角平分线的定义得到∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP＝∠BAP+41°，根据三角形内角和定理推出∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝41°，再由垂线的定义得到∠BHP＝90°，则∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝49°；
（4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB（角平分线的定义），
∴2∠PBC+2∠PCB＝140°，
即∠PBC+∠PCB＝70°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝110°，
故答案为：110；
（2）由折叠的性质可得∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE，
∵∠1+∠AEP＝180°，∠2+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝100°，
∴2∠AED+2∠ADE＝260°，
∴∠AED+∠ADE＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝50°，
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB（角平分线的定义），
∴2∠PBC+2∠PCB＝130°，
即∠PBC+∠PCB＝65°，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°；
（3）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，
∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP（角平分线的定义），
∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB，
∴∠CBP＝∠BAP+41°，
∵∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC，
∴∠ABC＝98°﹣2∠BAP，
则∠ABC+∠CBP+∠BAP+∠P＝180°（平角定义），
∴∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABC﹣∠CBP＝41°，
∵BH⊥AP，
即∠BHP＝90°（垂直定义），
∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝49°；
故答案为：49；
（4）当F在E点左侧时，如图4﹣1所示：
∵DE∥CD，
∴∠CBE+∠BCD＝180°，
∵BQ平分∠EBF，CQ平分∠DCF，
∴∠EBQ＝∠EBF＝，
∠QCF＝∠DCF＝，
∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°﹣∠QBE﹣∠EBC﹣∠FCB﹣∠QCF＝，
当F在D，E之间时，如图所示：
同理可得，，
∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠DCF﹣∠EBF＝180°﹣α﹣β，
∴；
综上所述，F在ED中间；F在D左侧∠Q＝．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
【典例2-3】将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A′处．
【感知】如果点A′落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A′与∠2之间的关系是 ∠2＝2∠EA'D ；
【探究】如果点A′落在四边形BCDE的内部（如图①），那么∠A′与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如果点A′落在四边形BCDE的外部（如图②），那么请直接写出∠A′与∠1、∠2之间存在数量关系 2∠A′＝∠2﹣∠1 ．
【分析】（1）根据三角形外角性质得出，∠2＝∠A+∠A'，即可求出答案；
（2）根据折叠性质得出∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠ADE，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）沿DE折叠A和A′重合，利用三角形外角性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，
∵∠2＝∠A+∠EA′D，由折叠可知：∠A＝∠EA'D，
∴∠2＝2∠EA'D；
故答案为：2∠EA'D＝∠2；
（2）图1中，2∠A'＝∠1+∠2．
理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，
∴∠A＝∠A'，∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∵∠1+∠2＝180°+180°﹣2 （∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2＝360°﹣2 （180°﹣∠A）＝2∠A，
∴2∠A＝∠1+∠2；
∵∠A＝∠A'，
∴∠1+∠2＝2∠A'．
（3）如图2，2∠A＝∠2﹣∠1，
理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，
∴∠A＝∠A′，
∵∠DME＝∠A'+∠1，∠2＝∠A+∠DME，
∴∠2﹣∠A＝∠A+∠1，即 2∠A＝∠2﹣∠1．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，及三角形外角的性质等知识，根据已知得出△ADE≌△A'DE是解题关键．
针对训练2
【变式2-1】如图，已知四边形纸片ABCD的边AB∥CD，E是边CD上任意一点，沿BE折叠△BCE，点C落在点F的位置．
（1）如图①，点F落在四边形ABED的内部，探索∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点F落在边CD的上方，设BF与CD交于点N，直接写出∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，不需要说明理由．
【分析】（1）数量关系：∠FED+∠ABF＝∠C．理由：过点F作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，由平行线的性质可得∠FED＝∠EFN，根据平行公理的推论可得MN∥AB，继而得到∠NFB＝∠ABF，再结合折叠的性质可得数量关系．
（2）过点F作GH∥CD，由平行线的性质可得∠FED＝∠HFE，根据平行公理的推论可得GH∥AB，继而得到得∠ABF＝∠HFB，再结合折叠的性质可得数量关系．
【解答】解：（1）∠FED，∠ABF，∠C 之间的数量关系：∠FED+∠ABF＝∠C．
理由如下：如图①，过点F作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N
则∠FED＝∠EFN，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB，
∴∠NFB＝∠ABF，
∴∠FED+∠ABF＝∠EFN+∠NFB＝∠EFB，
由折叠的性质得，△BCE≌△BFE，
∴∠EFB＝∠C，
∴∠FED+∠ABF＝∠C，
∴∠FED，∠ABF，∠C 之间的数量关系是：∠FED+∠ABF＝∠C．
（2）如图②，过点F作GH∥CD
则∠FED＝∠HFE，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB，
∴∠ABF＝∠HFB＝∠HFE+∠BFE＝∠FED+∠BFE，
由折叠的性质得，△BCE≌△BFE，
∴∠BFE＝∠C，
∴∠ABF＝∠FED+∠C，即∠ABF﹣∠FED＝∠C，
∴∠FED，∠ABF，∠C 之间的数量关系是：∠ABF﹣∠FED＝∠C．
【点评】本题考查折叠的性质，平行线的性质，平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．
【变式2-2】阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
​
（1）这个“多加的锐角”是 30 ​度．
（2）小明求的是几边形内角和？
（3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
【分析】（1）根据多边形内角和的计算方法进行估算即可；
（2）根据对话和多边形内角和的计算方法列方程求解即可；
（3）根据正多边形内角的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）12边形的内角和为（12﹣2）×180°＝1800°，而13边形的内角和为（13﹣2）×180°＝1980°，
由于小红说“多边形的内角和不可能是1830°，你一定是多加了一个锐角”，
所以这个“多加的锐角”是1830°﹣1800°＝30°，
故答案为：30；
（2）设这个多边形为n边形，由题意得，
（n﹣2）×180°＝1800°，
解得n＝12，
答：小明求的是12边形内角和；
（3）正十二边形的每一个内角为＝150°，
答：这个正多边形的一个内角是150°．
【点评】本题考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及正多边形的性质是正确解答的前提．
【变式2-3】如图1，四边形ABCD中，∠PAD，∠QCD是四边形ABCD的外角．
（1）若∠B＝40°，∠ADC＝120°，则∠PAD+∠QCD＝ 160 °；
（2）如图2，AE平分外角∠PAD，CF平分外角∠QCD，AE与CF相交于点M，若∠ADC＝∠B+90°，求∠AMC的度数；
（3）如图3，AE平分外角∠PAD，CF平分外角∠QCD，若∠ADC＝∠B，判断AE与CF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）通过连接BD，根据三角形外角性质及∠ABC和∠ADC的度数求出答案；
（2）通过延长CD交AM于点G，连接BD，根据三角形外角性质即可得到∠ADC＝∠DAM+∠DCM+∠AMC，根据（1）中结论，即可得到∠PAD+∠QCD＝∠ABC+∠ADC，根据角平分线的定义即可得到，根据∠ADC＝∠ABC+90°，即可求出答案；
（3）先判断出AE与CF的位置关系为AE∥CF，过点D作DN∥AE，根据（1）中结论及∠ADC＝∠B，即可得到∠PAD+∠QCD＝2∠ADC，据平行线性质即可得到∠DAE＝∠ADN，进一步得到∠CDN＝∠DAF，即可判断出结论成立．
【解答】解：（1）如图，连接BD，
∵∠PAD是△ABD的外角，∠QCD是△BCD的外角，
∴∠PAD＝∠ABD+∠ADB，∠QCD＝∠CBD+∠CDB，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝40°，∠ADB+∠CDB＝∠ADC＝120°，
∴∠PAD+∠QCD＝∠ABD+∠ADB+∠CBD+∠CDB＝∠ABC+∠ADC＝160°，
故答案为：160；
（2）如图，延长CD交AM于点G，连接BD，
∵∠AGC是△CGM的外角，
∴∠AGD＝∠AMC+∠DCM，
∵∠ADC是△ADG，
∴∠ADC＝∠DAM+∠AGC＝∠DAM+∠DCM+∠AMC，
由（1）可知：∠PAD+∠QCD＝∠ABC+∠ADC，
∵AE平分∠PAD，CF平分∠QCD，
∴，，
∴∠DAM+∠DCM＝＝，
∴∠DAM+∠DCM＝＝∠ABC+45°，
∴∠ABC+90°＝∠AMC+∠ABC+45°，
∴∠AMC＝45°；
（3）AE与CF的位置关系为AE∥CF理由如下：
如图，过点D作DN∥AE，
由（1）知：∠PAD+∠QCD＝∠B+∠ADC，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠PAD+∠QCD＝2∠ADC，
∵AE平分∠PAD，CF平分∠QCD，
∴，
∴∠DAE+∠DCF＝＝，
∵AE∥DN，
∴∠DAE＝∠ADN，
∴∠CDN＝∠DCF，
∴DN∥CF，
∴AE∥CF．
【点评】本题考查了角平分线的定义与三角形的外角性质的应用及平行线的性质，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【能力提升2】多边形的内角和
【提升2-1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F．
（1）若∠A＝∠C＝90°，试说明DF∥BE．
（2）若DF∥BE，则结论“∠A＝∠C＝90°”一定成立吗？说明你的理由．
【分析】（1）根据四边形内角和得到∠ABC+∠ADC＝180°，再根据角平分线定义得到∠ABE＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC，则∠ABE+∠ADF＝90°，加上∠AFD+∠ADF＝90°，利用等角的余角相等得∠AFD＝∠ABE，然后根据平行线的判定定理得到DF∥BE；
（2）先根据∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F得∠ABE＝∠ABC，而∠ADF＝∠ADE，再根据三角形内角和定理得出结论．
【解答】解：（1）DF∥BE，理由：
∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE是∠ABC、DF是∠ADC的平分线，
∴∠ABE＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF＝90°，
而∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝∠ABE，
∴DF∥BE；
（2）不成立，理由：
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵∠ADF＝∠AFD＝∠ADE，
∵BE∥DF，
∴∠ABE＝∠AFD＝∠CBE，∠ADF＝∠CDF＝∠CEB，
∵∠C+∠CEB+∠CBE＝180°＝∠A+∠AFD+∠ADF，
∴∠A＝∠C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质以及角平分线的定义是正确解答的前提．
【提升2-2】已知，如图，AD与BC交于点O．
（1）如图1，判断∠A+∠B与∠C+∠D的数量关系： ∠A+∠B＝∠C+∠D ，并证明你的结论．
（2）如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度数为 540° ．
（3）如图3，若CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，CF与DE交于点M，∠E+∠F＝50°，请直接写出∠A+∠B＝ 100° ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得结论；
（2）利用（1）的结论以及五边形的内角和计算方法进行计算即可；
（3）利用角平分线的定义以及（1）的结论可得∠A+∠B＝∠OCD+∠ODC＝2（∠E+∠F）即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝180°＝∠COD+∠C+∠D，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，连接AB，
由（1）得，∠OBA+∠OAB＝∠C+∠D，
∴∠DAM+∠CBE+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度数为五边形ABEFM的内角和，
即（5﹣2）×180°＝540°，
故答案为：540°；
（3）∵CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴∠MCD＝∠OCD，∠MDC＝∠ODC，
由（1）可得，∠E+∠F＝∠MCD+∠MDC，
∴∠OCD+∠ODC＝50°，
∴∠OCD+∠ODC＝100°，
∴∠A+∠B＝∠OCD+∠ODC＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及角平分线的定义，掌握三角形内角和是180°，角平分线的定义以及多边形内角和的计算方法是正确解答的前提．
【提升2-3】直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧!
【问题探究】
（1）①如图1，若AB∥CD，点P在AB，CD内部，∠B＝55°，∠D＝30°，则∠BPD＝ 85° ；
②如图2，若AB∥CD，将点P在AB，CD外部，则∠BPD，∠B，∠D之间数量关系： ∠BFD+∠D＝∠B （不需证明）；
③如图3，写出∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系： ∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD （不需证明）．
【变式拓展】
（2）如图4，五角星ABCDE，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180° ．
（3）如图5，将五角星ABCDE去掉一个角后，∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q是多少？请证明你的结论．
【分析】（1）①根据平行线的性质即可得出答案；
②利用平行线的性质以及三角形的内角和定理可得答案；
③利用三角形的外角的性质可得答案；
（2）利用三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可；
（3）利用三角形的内角和定理以及四边形的内角和是360°进行计算即可．
【解答】解：（1）①如图1，过点P作PQ∥AB，
∵ABCD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠B＝∠BPQ，∠D＝∠DPQ，
∴∠BPD＝∠B+∠D
＝55°+30°
＝85°，
故答案为：85°；
②如图2，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BQD，
又∵∠BQD＝∠D+∠BPD，
∴∠B＝∠BPD+∠D，
故答案为：∠B＝∠BPD+∠D；
③如图3，延长BP交CD于点E，
∵∠BPD＝∠D+∠BED，∠BED＝∠QBP+∠BQD，
∴∠BPD＝∠D+∠QBP+∠BQD，
即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D，
故答案为：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；
（2）如图4，
∵∠CMN＝∠A+∠D，∠CNM＝∠B+∠E，
又∵∠CMN+∠CNM+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
故答案为：180°；
（3）证明：如图5，连接CD，
∵∠B+∠E+∠BME＝∠DCE+∠BDC+∠CMD＝180°，∠BME＝∠CMD，
∴∠B+∠E＝∠DCE+∠BDC，
∵∠PCE+∠DCE+∠BDC+∠BDQ+∠P+∠Q＝360°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q＝360°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角，掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提.
【聚焦考点3】
n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°（与多边形的形状和边数无关）。
【典例剖析3】多边形的外角和
【典例3-1】一个多边形的外角和与它的内角和的比是2：9，求这个多边形的边数．
【分析】根据多边形内角和公式180°（n﹣2）和外角和360°，列式计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∴多边形的内角和是180°（n﹣2），
又∴多边形的外角和是360°，
∴，
解得n＝11，
经检验n＝11符合题意，
∴这个多边形的边数是11．
【点评】本题考查了多边形的内角和、外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和计算公式，外角和360°．
【典例3-2】如图，淇淇从点A出发，前进10米后向右转20°，再前进10米后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）求淇淇一共走了多少米？
（2）求这个多边形的内角和．
【分析】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20＝18，
18×10＝180（米）．
答：淇淇一共走了180米．
（2）根据题意，得（18﹣2）×180°＝2880°，
答：这个多边形的内角和是2880°．
【点评】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和，第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形是关键．
针对训练3
【变式3-1】阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）多加的那个外角为多少度？
【分析】（1）根据多边形内角和公式判断即可；
（2）根据多边形内角和公式判断即可；
（3）由（2）即可得出答案．
【解答】解：（1）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，故不可能是多边形内角和；
（2）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，2020÷180＝11……40，所以n﹣2＝11，所以n＝13故多边形是十三边形；
（3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°．
【点评】本题考查了多边形内角和公式，熟记多边形内角和180°（n﹣2）是解题的关键．
【变式3-2】（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形？
（2）小明求得一个多边形的内角和为1180°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，你能求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数是多少吗？
【分析】（1）由多边形内角和定理，多边形的外角和是360°，即可求解；
（2）由多边形内角和定理，即可求解．
【解答】解：（1）设这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×2，
∴n＝6，
答：这个多边形是6边形；
（2）设这个多边形的边数是m，重复加的那个角的度数是x°，
由题意得：（m﹣2）×180°+x°＝1180°，
∴（m﹣2）×180°＝1180°﹣x°，
∵1180°÷180°＝6……100°，
∴x＝100，（m﹣2）×180°＝1080°，
∴m＝8．
答：这个多边形的边数是8，重复加的那个角的度数是100°．
【点评】本题考查多边形的内角和定理，关键是掌握多边形的内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）．
【能力提升3】多边形的外角和
【提升3-1】利用图形这一直观性语言，在一定程度上可以降低我们认识和理解抽象逻辑推理的难度；利用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化．让我们在如下的问题解决中体验一下吧!
【模块探究】
如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C
【直观应用】
（1）应用上述结论，若图2中，∠EOF＝α，则∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度数之和等于 2α （直接给出结论，不必说明理由）
（2）应用上述结论，求图3所示的五角星中，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数之和是多少？证明你的结论；
【类比联系】
如图4，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G的度数之和是多少？证明你的结论．
【分析】模块探究，由三角形外角的性质，即可证明；
直观应用，应用模块探究的结论，即可解决问题；
类比联系，应用模块探究的结论，即可解决问题．
【解答】
模块探究，证明：延长BO交AC于D，
∵∠BOC＝∠C+∠CDO，∠CDO＝∠A+∠B，
∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
直观应用，解：（1）由上述结论得：∠BOC＝∠A+∠B+∠C，∠EOF＝∠D+∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠BOC+∠EOF＝2α，
故答案为：2α．
（2）∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数之和是180°，
证明：∵∠BOC＝∠A+∠B+∠C，∠COD＝∠E+∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠E+∠D＝∠BOC+∠COD＝180°；
类比联系：∵∠DMN＝∠G+∠GNM，∠GNM＝∠BNC＝∠F+∠B+∠C，
∴∠DMN＝∠G+∠F+∠B+∠C，
∵∠EMD＝∠A+∠E+∠D
∴∠A+∠E+∠D+＝∠G+∠F+∠B+∠C＝∠EMD+∠DMN＝180°．
【点评】本题考查角的计算，关键是注意应用题目中的结论．
【提升3-2】（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．
如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是 ∠1+∠2＝∠A+∠D ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝220°，求∠E的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且，，求∠P的度数．
【分析】（1）根据两个等式，可以得出∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系．
（2）根据第（1）问结论，先确定∠MDA与∠DAN的和，再根据角平分线的性质，可以确定∠EDA与∠DAE的和．这样就可以确定∠E的度数．
（3）先确定∠CDN与∠CBM之和，再确定∠CDP与∠CBP之和，进而确定∠ADC与∠ABP之和，再根据四边形内角和，就可以确定∠P的度数．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠D．
故答案为：∠1+∠2＝∠A+∠D．
（2）根据第（1）问的结论，可知：
∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝220°，
∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线，
∴2∠EDA+2∠DAE＝220°，
∴∠EDA+∠DAE＝110°．
∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝70°．
（3）根据第（1）问的结论，可得：∠CDN+∠CBM＝∠ABC+∠ADC，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠CDN+∠CBM＝360°﹣（∠A﹣∠C）＝180°．
∵∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，
∴∠CDP+∠CBP＝（∠CDN+∠CBM）＝60°，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+60°＝240°，
即∠ADP+∠ABP＝240°，
∵∠A＝90°，
∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝30°．
【点评】本题是一道阅读题，主要考查四边形的两个外角和的性质，先读清题目所给材料是关键，然后在此基础上进行拓展和延伸．属于考查能力的题型，新的中考改革比较侧重考查学生对数学知识的活学活用的能力．
【提升3-3】如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．
（1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ 45 °；
②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；
（2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①先根据垂直的定义求出∠POQ＝90°，即可利用三角形内角和定理和邻补角的定义求出∠QPO＝30°，∠AQP＝120°，再由角平分线的定义分别求出∠EQP＝60°，∠HPQ＝15°，最后根据三角形外角的性质求解即可；②同①方法求解即可；
（2）如图所示，连接EE'，先求出∠CPQ+∠PQA＝270°，再由角平分线的定义求出∠EPQ+∠EQP＝135°，则∠PEQ＝45°，由折叠的性质可知∠GE'F＝∠PEQ＝45°，进而推出∠EFE'+∠EFE'＝270°即可得到答案．
【解答】解：（1）①∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠PQB＝60°，
∴∠QPO＝30°，∠AQP＝120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°，
故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE＝45°，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∴∠QPO＝90°﹣∠PQO，∠AQP＝180°﹣∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°；
（2）∠PFE'+∠QGE'＝90°，理由如下：
如图2所示，连接EE'，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠CPQ+∠QPO＝180°，∠PQA+∠PQO＝180°，
∴180°﹣∠CPQ+180°﹣∠PQA＝90°，
∴∠CPQ+∠PQA＝270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP＝45°，
由折叠的性质可知∠GE'F＝∠PEQ＝45°，
∵∠FEE'+∠EFE'+∠EE'F＝180°＝∠GEE'+∠EGE'+∠EE'G，
∴∠FEG+∠FE'G+∠EFE'+∠EGE'＝360°，
∴∠EFE'+∠EFE'＝270°，
∵∠EFE'+∠PFE'＝180°＝∠EGE'+∠QGE'，
∴∠PFE'+∠QGE'＝360°﹣∠EFE'﹣∠EFE'＝90°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．