专题11 画轴对称图形（含答案）【暑假预习课堂】新八年级数学同步精讲精练（人教版）

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目录
【考点一 镜面对称】
【考点二 设计轴对称图形】
【考点三 坐标与图形变换-轴对称】
【考点四 轴对称综合题（几何变换）】
【聚焦考点1】
轴对称的性质
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，所得图形与原图形全等．
(2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点．
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分
【典例剖析1】
【典例1-1】小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为（ ）实际时间最接近9：00．
A．B．
C．D．
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称．
【解答】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，故应该在B和D选项中选择，B更接近9点．
故选：B．
【点评】考查了镜面对称，这是一道开放性试题，解决此类题注意技巧；注意镜面反射的原理与性质．
【典例1-2】如图，设L1和L2是镜面平行相对且间距为30cm的两面镜子，把一个小球A放在L1和L2之间，小球在镜L1中的像为A′，A′在镜L2中的像为A′′，则AA′′等于（ ）
A．10cmB．20cmC．40cmD．60cm
【分析】如图所示，经过反射后，A'B＝AB，A'C＝CA''，从而得到AA''＝AC+A''C＝AC+A'C＝AC+2AB+AC＝2BC，即可求解．
【解答】解：如图所示，经过反射后，A'B＝AB，A'C＝CA''，
∴AA''＝AC+A''C＝AC+A'C＝AC+2AB+AC＝2BC＝60cm．
故选：D．
【点评】本题考查的是镜面反射的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．
针对训练1
【变式1-1】小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现的样子是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．
【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与A显示的图片成轴对称，故选A．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
【变式1-2】光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1＝55°，∠3＝75°，则∠2＝（ ）
A．50°B．55°C．66°D．65°
【分析】由入射角等于反射角可得∠6＝∠1＝55°，∠5＝∠3＝75°，那么利用三角形的内角和定理和平角定义可得∠2+∠4＝∠5+∠6，所以∠5+∠6除以2即为∠2的度数．
【解答】解：∵∠6＝∠1＝55°，∠5＝∠3＝75°，
∴∠2＝（55+75）÷2＝65°，故选D．
【点评】解决本题的关键是得到所求角与所给角的数量关系；用到的知识点为：入射角等于反射角；三角形的内角和是180°等．
【变式1-3】一辆汽车车牌如图所示，则在正面看它在马路上水中的倒影为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片与A显示的图片成轴对称，所以在正面看它在马路上水中的倒影为A显示的图片．故选A．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
【能力提升1】
【提升1-1】某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 ．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
【提升1-2】如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4．若已知∠1＝55°，∠3＝75°，那么∠2等于 65 度．
【分析】由光线的入射角等于反射角，结合三角形内角和定理易求∠2．
【解答】解：根据题意：光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6＝55°，∠5＝∠3＝75°，
则180°﹣∠2﹣∠4＝180°﹣∠6﹣∠5．
即2∠2＝130度．
故∠2＝65度．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质，在镜面反射中，入射角等于反射角．解决此类题应认真观察，注意技巧．
【提升1-3】今天是2003年9月1日，小明拿起一盒牛奶刚要喝，妈妈说：“儿子，牛奶保质期过了，别喝了”，小明从镜子里看到保质期的数字是，牛奶真的过期了吗？为什么？
【分析】易得所求的日期与看到的日期关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求得保质日期．
【解答】解：|20030824，
∴实际的保质期应是20030824，故牛奶已经过期．
【点评】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．
【聚焦考点2】
画已知图形的轴对称图形
依据：
如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称，据此我们通过作出已知点的对称点的方法作出已知图形的轴对称图形．
(2)方法：
①选择一些特殊的点；
②过这些点分别作已知直线(对称轴)的垂线，并在垂线上找到一些点(截取)，使得这些点到对称轴的距离分别相等，从而得到已知点的对称点；
③顺次连接这些对称点得到的图形，即为已知图形的轴对称图形．
【典例剖析2】
【典例2-1】如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．
【详解】解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，展开得到结论．
故选：B．
【点评】此题主要考查了学生的动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【典例2-2】如图所示，在的正方形网格中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”. 是一个格点三角形，请你在图1，图2，图3中分别画出一个与成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影.（注：所画的三个图不能重复.）
【答案】图形见解析，答案不唯一，
【分析】根据题意画出图形即可.
【详解】答案不唯一，例如：
【点评】本题考查格点画图能力,关键在于理解题意,由题意画图.
针对训练2
【变式2-1】如图，点A，B，C都落在网格的顶点上．
(1)写出点A，B，C的坐标；
(2)△与△ABC关于y轴对称，画出△．
【答案】(1)A，B，C的坐标分别是（0，1），（1，3），（4，3）；
(2)见解析
【分析】（1）依据点A，B，C的位置即可得到其坐标；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即可；
【详解】（1）解：由点A，B，C在坐标系中的位置可得点A，B，C的坐标分别是（0，1），（1，3），（4，3）；
（2）△如图所示：
【点评】本题主要考查了利用轴对称作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照轴对称确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到轴对称后的图形．
【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，
（1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标；
（2）请计算的面积；
【答案】（1）见解析； ；（2）5．
【分析】（1）分别找到点A、B、C的关于y轴的对称点A1、B1、C1，连接A1B1，A1C1，B1C1，即可画出，然后根据关于y轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得出结论；
（2）用一个长方形将△ABC框住，然后用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得出结论．
【详解】（1）根据题意，分别找到点A、B、C的关于y轴的对称点A1、B1、C1，连接A1B1，A1C1，B1C1，如图所示：即为所求．
∵点A的坐标为（0,-2），点B的坐标为（2，-4），点C的坐标为（4,-1）
∴；
（2）用一个长方形将框住，如上图所示，
∴的面积为: ；
【点评】此题考查的是画关于y轴对称的图形、求关于y轴对称的点的坐标和求三角形的面积，掌握关于y轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标相等和用一个长方形将△ABC框住，△ABC的面积等于长方形的面积减去三个直角三角形的面积是解决此题的关键．
【能力提升2】
【提升2-1】．如图，△ABC在正方形网格中，若A(0，3)，按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出B和C的坐标；
（3）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
【答案】（1）见解析；（2）B(﹣3，﹣1)，C(1，1)；（3）见解析
【分析】（1）根据题意建立适当平面直角坐标系，即可求解；
（2）根据（1）中，建立平面直角坐标系，即可求解；
（3）根据题意可得：点 的对应点的坐标为 ，再顺次连接，即可求解．
【详解】解：（1）所建立的平面直角坐标系如图所示：
（2）点B和点C的坐标分别为：B(﹣3，﹣1)，C(1，1)；
（3）根据题意得：点 的对应点的坐标为 ，
如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标与图形，轴对称图形，熟练掌握平面直角坐标系内坐标的特征和轴对称图形的性质是解题的关键．
【提升2-2】如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)在x轴上作出点P，使得最短，并写出点P的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】（1）根据A（4，1），B（﹣4，﹣2），C（1，﹣3）和轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，进而写出点B1的坐标；
（2）连接B1C交x轴于点P即可使得PB+PC最短，进而可以写出点P的坐标．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
点B1的坐标为（﹣4，2）；
（2）解：如图，点P即为所求；点P的坐标：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称﹣最短路径问题，坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握旋转的性质．
【聚焦考点3】
1.关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点(x，y)
关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)
关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)
关于原点对称的点的坐标为(－x，—y)，
2.平面直角坐标系中的轴对称
方法：先求出已知图形中一些特殊点关于x轴(或y轴)的对称点的坐标，描出这些点，并顺次连接，就可得到这个图形关于x轴(或y轴)的对称图形．
3.P(x，y)关于直线x＝m，直线y＝n对称的点的坐标
（1）点(x，y)关于直线x＝m对称的点的坐标关系是：两对称点横坐标之和等于2m，即所求点的横坐标x1＝2m－x，纵坐标不变；
（2）关于直线y＝n对称的点的坐标关系是：两对称点纵坐标之和等于2n，即所求点的纵坐标y1＝2n－y. 横坐标不变。
【典例剖析3】
【典例3-1】已知点M（3a﹣11，5），N（﹣2，2b﹣1）．
（1）若M，N关于y轴对称，求a，b的值；
（2）若点M向左平移3个单位长度后与点N关于x轴对称，求a+b的平方根．
【分析】（1）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得关于a，b的方程组，进而得出a，b的值．
（2）关于x轴的对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变．据此可得关于a，b的方程组，进而得出a+b的平方根．
【解答】解：（1）依题意得3a﹣11＝2，2b﹣1＝5，
∴a＝，b＝3．
（2）点M向左平移3个单位长度后的坐标为（3a﹣14，5），
∵点M向左平移3个单位长度后与点N关于x轴对称，
∴3a−14＝−2，2b﹣1＝﹣5，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴a+b＝2﹣2＝0，
∴a+b的平方根为0．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【典例3-2】在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x﹣my，mx﹣y）（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A（1，2）的“3族衍生点”B的坐标为（1﹣3×2，3×1﹣2），即B（﹣5，1）．
（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为 ；
（2）若点A的“3族衍生点”B的坐标是（﹣1，5），则点A的坐标为 ；
（3）若点A（x，0）（其中x≠0），点A的“m族衍生点“为点B，且AB＝OA，求m的值；
（4）若点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”关于y轴对称，则点A在 ；
（5）若点A（x，y）的“m族衍生点”（m≠1）在第一、三象限的角平分线上，则点A在 ．（描述点A的位置）
【分析】（1）利用“m族衍生点”的定义可求解；
（2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解；
（3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解；
（4）先求出点A（x，y）的“m族衍生点”为（x﹣my，mx﹣y），点A（x，y）的“﹣m族衍生点”为（x+my，﹣mx﹣y），由关于y轴对称的性质可求x＝0，即可求解；
（5）确定点A（x，y）的“m族衍生点”，再根据第一、三象限的角平分线的性质列等式可解答．
【解答】解：（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为（2﹣2×0，2×2﹣0），即（2，4），
故答案为（2，4）；
故答案为：（2，4）；
（2）设点A坐标为（x，y），
由题意可得：，
∴，
∴点A坐标为（2，1）；
故答案为：（2，1）；
（3）∵点A（x，0），
∴点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），
∴AB＝|mx|，
∵AB＝OA，
∴|x|＝|mx|，
∴m＝±1；
（4）∵点A（x，y），
∴点A（x，y）的“m族衍生点”为（x﹣my，mx﹣y），点A（x，y）的“﹣m族衍生点”为（x+my，﹣mx﹣y），
∵点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，
∴，
∴x＝0，
∴点A在y轴上，
故答案为：y轴上；
（5）∵点A（x，y）的“m族衍生点”的坐标为（x﹣my，mx﹣y），且在第一、三象限的角平分线上，
∴x﹣my＝mx﹣y，
∴x+y＝m（x+y），
∴（x+y）（m﹣1）＝0，
∴m≠1，
∴x+y＝0，
∴点A在第二、四象限角平分线上．
故答案为：在第二、四象限角平分线上．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，轴对称的性质，理解“m族衍生点”的定义并能运用是本题的关键．
针对训练3
【变式3-1】已知点A（m﹣2，5）和B（3，n+4），A，B两点关于y轴对称，求m﹣n的值．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（m﹣2，5）和B（3，n+4）两点关于y轴对称，
∴m﹣2＝﹣3，n+4＝5，
解得m＝﹣1，n＝1，
∴m﹣n＝﹣1﹣1＝﹣2．
【点评】此题主要考查了关于x，y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
【变式3-2】如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）
（1）图中点C的坐标是 （3，﹣2） ．
（2）三角形ABC的面积为 15 ．
（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是 （3，2） ．
（4）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′，那么A、B′两点之间的距离是 5 ．
（5）图中四边形ABCD的面积是 21 ．
【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标；
（2）根据三角形的面积公式可得答案；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标；
（4）根据点的平移：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得B′点坐标，进而得到答案；
（5）用△ABC的面积加上△ACD的面积即可．
【解答】解：（1）根据题意得点C的坐标为（3，﹣2）；
故答案为：（3，﹣2）；
（2）△ABC的面积：．
故答案为：15；
（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是（3，2）；
故答案为：（3，2）；
（4）将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′（﹣3+3，﹣2），即（0，﹣2），
A、B′两点之间的距离是：3﹣（﹣2）＝5；
故答案为：5；
（5），
∴四边形ABCD的面积为：S△ABC+S△ACD＝15+6＝21．
故答案为：21
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关于x轴对称的点的坐标，平面直角坐标系，以及三角形的面积，关键是掌握点的坐标的变化规律．
【能力提升3】
【提升3-1】如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连OB、OC．
（1）判断△AOG的形状，并予以证明；
（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．
【分析】（1）易证∠CAO＝∠AOG和∠CAO＝∠GAO，即可判定△AOG是等腰三角形；
（2）连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，易证△ANG≌△BKG，即可证明∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，根据三角形内角和为180°性质即可解题．
【解答】解：（1）△AOG是等腰三角形；
证明：∵AC∥y轴，
∴∠CAO＝∠AOG，
∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO＝∠GAO，
∴∠GAO＝∠AOG，
∴AG＝GO，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）证明：连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，
∵AC∥y轴，点B、C关于y轴对称，
∴AN＝CK＝BK，
在△ANG和△BKG中，
，
∴△ANG≌△BKG，（AAS）
∴AG＝BG，
∵AG＝OG，（1）中已证，
∴AG＝OG＝BG，
∴∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，
∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG＝180°，
∴∠AOG+∠BOG＝90°，
∴AO⊥BO．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ANG≌△BKG是解题的关键．
【提升3-2】在平面直角坐标系中，有点A（a，1）、点B（2，b）．
（1）当A、B两点关于直线y＝﹣1对称时，求△AOB的面积；
（2）当线段AB∥x轴，且AB＝4时，求a﹣b的值．
【分析】（1）利用对称的性质得a＝2，b＝﹣3，进而得到A（2，1），B（2，﹣3），然后根据三角形面积公式求解；
（2）利用AB∥x轴得到A、B的纵坐标相同，则b＝1，所以|a﹣2|＝4，解得b＝﹣2或b＝6，然后分别计算对应的a﹣b的值．
【解答】解：（1）由题意，得a＝2，b＝﹣3，则A（2，1），B（2，﹣3）．
设AB与x轴相交于点D，则OD＝2，AB＝4．
∴S△AOB＝AB×OD＝×4×2＝4．
（2）∵AB∥x轴，
∴A、B的纵坐标相同，
∴b＝1．
∴B（2，1）
∵AB＝4，
∴|a﹣2|＝4．
解得a＝﹣2或a＝6．
当a＝﹣2，b＝1时，a﹣b＝﹣3．
当a＝6，b＝1时，a﹣b＝5．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称：关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数．
【聚焦考点4】
【典例剖析4】
【典例4-1】如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
【分析】根据∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的内角和定理分别求得∠BCA，∠ABC，∠BAC的度数，然后根据折叠的性质求出∠D、∠DAE、∠BEA的度数，在△AOD中，根据三角形的内角和定理求出∠AOD的度数，继而可求得∠EOF的度数，最后根据三角形的外角定理求出∠EFC的度数．
【解析】在△ABC中，
∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，
∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x，
则28x+5x+3x＝180°，
解得：x＝5°，
则∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，
由折叠的性质可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，
在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，
∴∠EOF＝∠AOD＝110°，
∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
【典例3-2】在△ABC中，∠ACB＝90°AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当MN绕点C旋转到图1的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系（直接写出结论，不要求写出证明过程）；
（2）当MN绕点C旋转到图2的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明；
（3）当MN绕点C旋转到图3的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明．
【分析】（1）根据题意推出△ADC≌△CEB，即可，（2）根据题意推出△ACD≌△CBE，即可推出DE＝AD﹣BE，（3）根据题意推出△ACD≌△CBE，即可推出DE＝BE﹣AD．
【解析】（1）线段DE、AD、BE之间的数量关系是DE＝AD+BE．（2分）
（2）如图2，
猜想：（1）中得到的结论发生了变化．
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°．
∴∠BCE+∠CBE＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°．
∴∠ACD＝∠CBE．
∵AC＝CB，
∴△ACD≌△CBE．（3分）
∴AD＝CE，CD＝BE．（4分）
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣BE．（5分）
（3）如图3，
猜想：（1）中得到的结论发生了变化．
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°．
∴∠BCE+∠CBE＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°．
∴∠ACD＝∠CBE．
∵AC＝CB，
∴△ACD≌△CBE．（6分）
∴AD＝CE，CD＝BE．（7分）
∵DE＝CD﹣CE，
∴DE＝BE﹣AD．（8分）
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，关键在于求证相关的三角形全等，找出等量关系进行代换即可．
针对训练4
【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）当CF＝AB时，点E运动多长时间？并说明理由．
【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；
（2）如图，分点E在射线BC上移动和点E在射线CB上移动两种情况，证△CEF≌△ACB得CE＝AC＝5，继而得出BE的长，从而得出答案．
【解析】（1）∵∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD；
（2）如图，当点E在射线BC上移动时，
∵∠A＝∠BCD，∠BCD＝∠ECF，
∴∠A＝∠ECF，
在△CFE与△ABC中，
∠CEF=∠ACB∠ECF=∠ACF=AB，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7，
∴BE＝BC+CE＝12，
∴t＝12÷2＝6（s）；
当点E在射线CB上移动时，
同理△CF′E′≌△CBA（AAS），
∴CE′＝AC＝7，
∴BE′＝CE′﹣CB＝2，
∴t＝2÷2＝1（s）
总之，当点E在射线CB上移动6s或1s时，CF＝AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式4-2】如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，证明△BAD≌△BED，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAC＝105°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解析】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
BA=BEBD=BDDA=DE，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
【能力提升4】
【提升4-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：
（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．
【分析】（1）由题意得t+3t＝6+8，即可求得P、Q两点相遇时，t的值；
（2）根据题意即可得出CP的长为6−t(t≤6)t−6(6＜t≤14)；
（3）分两种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长．
【解析】（1）由题意得t+3t＝6+8，
解得t=72（秒），
当P、Q两点相遇时，t的值为72秒；
（2）由题意可知AP＝t，
则CP的长为6−t(t≤6)t−6(6＜t≤14)；
（3）当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB＝90，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∴△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，
∴CQ＝8﹣3t＝5；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，
由题意得，6﹣t＝3t﹣8，
解得t＝3.5，
∴CQ＝3t﹣8＝2.5，
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．
【提升3-2】将两个全等的△ABC和△DBE按图1方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于F．
（1）求证：AF+EF＝DE；
（2）若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转角a，且60°＜α＜180°，其他条件不变，如图2，请直接写出此时线段AF、EF与DE之间的数量关系．
【分析】（1）由全等三角形的性质可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可证Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由线段之间关系可求解；
（2）由全等三角形的性质可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可证Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由线段之间关系可求解．
证明：（1）连接BF，
∵△ABC≌△DBE
∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，
∵BE＝BC，BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴EF＝CF
∴DE＝AC＝AF+CF＝AF+EF
（2）连接BF，
∵△ABC≌△DBE
∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，
∵BE＝BC，BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴EF＝CF
∴AF＝AC+CF＝DE+EF
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．