专题13 等边三角形（含答案）【暑假预习课堂】新八年级数学同步精讲精练（人教版）

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目录
【考点一 等边三角形性质】
【考点二 等边三角形判定】
【考点三 等边三角形判定性质综合应用】
【聚焦考点1】
等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【典例剖析1】
【典例1-1】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，若∠BEC＝90°，则∠ACE的度数（ ）
A．60°B．45°C．30°D．15°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，∠ACB=60°，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠BEC=90°，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故答案为：D.
【点评】根据等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出BE=CE，∠ACB=60°，再根据等腰直角三角形的性质得出∠EBC=∠ECB=45°，利用∠ACE=∠ACB-∠ECB即可得出答案.
【典例1-2】如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ．
【解答】解：是等边三角形，
，
是的平分线，
为的中点，
，
，
，
．
故答案为：3
【典例1-3】如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．
针对训练1
【变式1-1】如图，点在等边的边的延长线上，点在线段上，连接，，若，且，那么的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式1-2】如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：是等边三角形，点是的中点，
，，
，
，
，
在中，，，
在中，，，
故选：．
【变式1-3】如图，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一点，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示线段BD、CD、AC的数量关系，并证明．
【分析】延长BD至E，使BE＝AB，连接AE、CE，可得△ABE是等边三角形，即可求得AC＝AE，可得∠ACE＝∠AEC，即可求得∠DCE＝∠DEC，可得DE＝CD，即可解题．
【解答】解：AC＝BD+CD，理由如下：延长BD至E，使BE＝AB，连接AE、CE，
∵∠ABD＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，∠AEB＝60°，
∵AB＝AC，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACE﹣∠ACD＝∠AEC﹣∠AEB，
即∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝CD，
∴BE＝BD+DE＝BD+CD，
∴AC＝BE＝BD+CD．
【能力提升1】
【提升1-1】如图，是等边三角形，两个锐角都是的三角尺的一条直角边在上，则的度数为（ ）
B．C．D．
【分析】根据等边三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
解：∠1=∠3=180°-∠2-∠B=180°-45°-60°=75°，
故选：D．
【提升1-2】如图，等边中，，点是边上一点，则的最小值是
A．3B．4C．5D．
【解答】解：过点作于，如图，
为等边三角形，
，
，
当点与点重合时，的值最小，
的最小值是．
故选：．
【提升1-3】如图．已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CD＝CE，M是BE的中点．
（1）求∠E的度数；
（2）求证：DM⊥BC．
【分析】（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根据等边对等角可得：∠E＝∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；
（2）先连接BD，根据等边三角形的性质，得出∠DBC＝∠ABC＝30°，再根据CD＝CE，得出∠E＝∠EDC＝∠ACB＝30°，最后根据等腰三角形的性质得出结论即可．
【解答】（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°；
（2）证明：如图，连接BD，
∵正△ABC中，D是AC中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠EDC＝∠ACB＝30°，
∵∠E＝∠DBC，
∴BD＝DE，
∵M是BE中点，
∴DM⊥BE．
【聚焦考点2】
等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
【典例剖析2】
【典例2-1】下列对三角形的判断，错误的是
A．若，则是直角三角形
B．若，，则是等边三角形
C．若，，则是等腰三角形
D．若，，则
【解答】解：．若，，，，所以是直角三角形，正确，故选项不符合题意；
．若，，所以，，所以是等边三角形，正确，故选项不符合题意；
．若，，所以，，所以是等腰三角形，正确，故选项不符合题意；
．若，，所以，那么，故选项错误，符合题意．
故选：．
【典例2-2】如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）．
A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形D．不等边三角形
【分析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等边三角形．
解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形，故选A.
【典例2-3】小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明．
（1）请根据以上命题和图形写出已知和求证：
已知： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点 ，
求证： △ABC是等腰三角形 ．
（2）请证明以上命题．
【分析】（1）根据命题和图形写出已知和求证即可；
（2）
【解答】（1）解：已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点．
求证：△ABC是等腰三角形；
故答案为：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点，△ABC是等腰三角形；
（2）证明：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
针对训练2
【变式2-1】下列推理中，不能判断是等边三角形的是
A．B．，
C．，D．，且
【解答】解：、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意．
、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意．
、由“，”可以得到“”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意．
、由“，且”只能判定是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：．
【变式2-2】如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．
【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，求出△ECB≌△EDF，得出△BEF为等边三角形，从而得出BE＝BF，结合AE＝BD推出AB＝BC，进一步得出结论即可．
【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，
∵EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠ECB＝∠EDF，
∴△ECB≌△EDF（SAS），
∴BE＝EF，∠B＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BE＝BF，
∵AE＝BD，
∴DF＝AB，BC＝DF，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．
【变式2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【分析】先利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△BDF，再利用全等三角形的性质可得∠A=∠B，再利用等角对等边的性质可得CA=CB，再结合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可证明△ABC是等边三角形
【解析】证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
AD=BDDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)，
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴ΔABC是等边三角形．∴AB=BC=AC
【能力提升2】
【提升2-1】如图，在中，是边上的高，平分交边于，两线相交于点．
（1）若，，求的大小；
（2）若是的中点，，求证：是等边三角形．
【解答】（1）解：，，
，
平分，
，
，
，
．
（2）证明：，平分，
，
，，
，
是等边三角形．
【提升2-2】．如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接．
（1）请说出的理由；
（2）试说出的理由；
（3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明．
【解答】解：（1）和均为等边三角形
，
；
（2）
，点、、在同一条直线上
又
；
（3）是等边三角形，理由如下：
（全等三角形的对应边相等）
又
是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；
【提升2-2】如图，△ABC ≌ △ADE，∠BAD ＝ 60°．求证：△ACE是等边三角形．
【答案】解：∵ △ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE．
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．即 ∠BAD＝∠CAE．
∵∠BAD＝60°，
∴∠CAE＝60°．
又∵ AC＝AE，
∴△ACE是等边三角形
【点评】根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，进而可得∠BAD＝∠CAE，然后根据有一个角为60°的等腰三角形即可判断△ACE是等边三角形.
【聚焦考点3】
等边三角形的判定与性质
等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
【典例剖析3】
【典例3-1】如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为1s．
（1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？
（3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；
（2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝9cm，
∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，
∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，
∵点Q的运动速度为5cm/s，运动时间为ts，
∴BQ＝5t（cm）；
（2）若△PBQ为等边三角形，
则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，
∴s时，△PBQ第一次为等边三角形；
（3）设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，
即6s时，两点第一次相遇．
当t＝6s时，P走过的路程为2×6＝12cm，
而9＜12＜18，即此时P在AB边上，
∴经过6秒后点P与点Q在AB上第一次相遇．
【典例3-2】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC=12×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC=12∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC=12×120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
∠DBE=∠DAF=60°BD=AD∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
【典例3-3】小明遇到这样一个问题：△ABC是等边三角形，点D在射线BC上，且满足∠ADE＝60°，DE交等边△ABC外角平分线CE于点E，试探究AD与DE的数量关系．
（1）（初步探究）
小明发现，当点D为BC的中点时，如图①，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段AD与DE的数量关系，请直接写出结论；
（2）（类比探究）
当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）（拓展应用）
当点D在BC的延长线上时，满足CD＝BC，其他条件不变，连接AE，请在图③中补全图形，并直接写出∠AED的大小．
【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（3）由BC＝CD，得到AC＝CD，得到CE垂直平分AD，证出△ADE是等边三角形．
【解答】解：（1）AD＝DE．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BFD＝60°．
∴△BDF是等边三角形，∠AFD＝180°﹣∠BFD＝120°．
∴DF＝BD．
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD．
∴DF＝CD．
∵EC是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE=12（180°﹣∠ACB）＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°＝∠AFD．
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
又∵∠BDF＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADF＝∠EDC＝30°．
在△AFD和△ECD中，
∠AFD=∠ECDFD=CD∠ADF=∠EDC，
∴△AFD≌△DCE（ASA）．
∴AD＝DE．
（2）AD＝DE．
证明如下：如图2，
过点D作DF∥AC，交AB于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BFD＝60°．
∴△BDF是等边三角形，∠AFD＝120°．
∴BF＝BD．
∴AB﹣BF＝BC﹣BD，
即AF＝CD．
∵CE是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE=12（180°﹣∠ACB）＝60°，
∴∠DCE＝120°＝∠AFD．
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD．
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝60°+∠EDC．
∴∠BAD＝∠EDC．
在△AFD和△DCE中，
∠AFD=∠DCEAF=DC∠FAD=∠CDE，
∴△AFD≌△DCE（ASA）．
∴AD＝DE．
（3）如图3，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC．
∵BC＝CD，
∴AC＝CD．
∵CE平分∠ACD，
∴CE垂直平分AD．
∴AE＝DE．
∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，中垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】如图，、、三点在同一直线上，分别以、为边，在直线的同侧作等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接得．
（1）求证：．
（2）试判断的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）证明：等边和等边，
，，，
，
在和中，
，
；
（2）为等边三角形，理由为：
证明：，
，
又，
，
即，
在和中，
，
，
，，
则为等边三角形．
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿线段BC方向，在线段BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在线段BC上方，作等边△AMN，连结CN．
（1）当∠BAM＝ °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件： ▲ ，使得△ABC为等边三角形；当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC．
【答案】（1）30
（2）解：AB＝AC；证明：如图1中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∴AC＝BC＝CN+MC．
【解析】【解答】解：（1）当∠BAM＝30°时，
∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB＝2BM；
故答案为：30；
【点评】（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）利用等边三角形的判定即可解答；利用等边三角形的性质和可证△BAM≌△CAN（SAS），可得BM＝CN，即AC＝BC＝CN+MC．
【变式3-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，BD平分∠ABC．
（1）求∠A、∠ABC的度数；
（2）连接CE，且CE=12AB，求证：△BCE是等边三角形．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角可得∠DBA＝∠A，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得BE＝CE，根据等边三角形的判定方法即可得出△BCE是等边三角形．
【解答】（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，AE＝BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD+∠A＝90°
∴∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°；
∴∠ABC＝60°．
（2）证明：∵CE是斜边AB的中线，
∴BE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及三角形的内角和定理，熟记各性质是解题的关键．
【能力提升3】
【提升3-1】在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC边所在的直线上，点E在射线AC上，且始终保持∠ADE＝∠AED．
（1）如图1，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图2，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；
（3）如图3，当点D在BC边的延长线上时，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）在三角形ABD中，利用三角形内角和定理求出∠ADB的度数，根据∠BAC﹣∠BAD求出∠DAE度数，进而求出∠ADE度数，由∠AED﹣∠C求出∠EDC第三节课；
（2）由∠ACB为三角形DCE外角，利用外角性质求出∠CDE度数，进而求出∠ADB度数，再由∠ABC为三角形ABD外角，利用外角性质求出∠BAD度数即可；
（3）当点D在线段BC的延长线上时，设∠ABC＝∠ACB＝x，∠ADE＝∠AED＝y，∠CDE＝α，∠BAD＝β，则有∠ADC＝x﹣α，根据三角形内角和定理列出关系式，消去x与y得到α与β关系式，即可得证．
【解答】解：（1）在△ABD中，∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°，
∴∠ADB＝180°﹣（∠B+∠BAD）＝180°﹣110°＝70°，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣80°＝40°，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠EDC＝70°﹣30°＝40°；
（2）∵∠ACB为△DCE的外角，
∴∠ACB＝∠AED+∠CDE，
∵∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，
∴∠ADE＝∠AED＝55°，
∴∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝40°，
∵∠ABC为△ABD的外角，
∴∠ABC＝∠ADC+∠BAD，
∴∠BAD＝30°；
（3）∠CDE和∠BAD的数量关系是∠BAD＝2∠CDE，理由如下：
当点D在BC的延长线上时，
设∠ABC＝∠ACB＝x，∠ADE＝∠AED＝y，∠CDE＝α，∠BAD＝β，则有∠ADC＝y﹣α，
根据题意得：，
②﹣①得：2α﹣β＝0，即2α＝β，
故∠BAD＝2∠CDE．
【提升3-2】如图，点是等边内一点，，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）探究：当为多少度时，是等腰三角形？
【解答】（1）证明：将绕点按顺时针方向旋转得，
，，
是等边三角形；
（2）解或或时，是等腰三角形．
理由：是等边三角形．
，
将绕点按顺时针方向旋转得，
，
①若，是等腰三角形，
②若，是等腰三角形
则
③若，是等腰三角形
则
或或时，是等腰三角形
【提升3-3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；
（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）要使△PBQ是等边三角形，即可得：PB＝BQ，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．
∴AB＝24cm，
可得：PB＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
即24﹣2t＝t，
解得：t＝8，
故答案为：8；
（2）当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，
∴AB＝2BC＝12×2＝24（cm），
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发，
∴BP＝AB﹣AP＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
∵△PBQ是直角三角形，
∴BP＝2BQ或BQ＝2BP，
当BP＝2BQ时，
24﹣2t＝2t，
解得t＝6；
当BQ＝2BP时，
t＝2（24﹣2t），
解得t＝．
所以，当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形．