四川省眉山市仁寿县第一中学北校区2024届高三下学期模拟预测数学（文）试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则的虚部为（ ）
A. 2B. 4C. D.
3. 秦九昭是我国南宋时期的数学家，普州（现在四川安岳人），他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序给出了利用秦九昭算法求多项式值的一个实例.如输入的值分别是，则输出的的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. -1
6. 在不等式组表示的平面区域内任取一点，则满足的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A. B. C. D.
8. 已知动直线与圆（圆心为）交于点，则弦最短时，的面积为（ ）
A. 3B. 6C. D.
9. 已知函数，关于有下面四个说法：
的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到；
在区间上单调递增；
当时，的取值范围为；
区间上有个零点．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 在平行四边形中，，，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在直三棱柱中，，，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的取值范围为（ ）
A B. C. D.
12. 已知双曲线左、右焦点分别为，过的直线与的渐近线及右支分别交于两点，若，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式的第四项为_________.
14. 已知不等式组表示的平面区域不包含点，则实数的取值范围是__________．
15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是______.
16. 已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是____________.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知等差数列和等比数列均单调递增，前n项和分别为和，且满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前n项和．
18. 红铃虫（Pectinphra gssypiella）是棉花主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到数据，计算得到如下值：
表中；；；
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？
（2）根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程．
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，
19. 如图所示，四棱锥中，底面与交于点且，点为线段上靠近的三等分点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
20. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：.
21. 已知椭圆C：经过点，其右顶点为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为.求面积的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
［选修4-4：坐标系与参数方程］
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，点的极坐标为，求的值．
［选修4-5：不等式选讲]
23. 若a，b均为正实数，且满足.
（1）求的最大值；
（2）求证：.
25
2.9
646
168
422688
50.4
70308