专题7.17 平面图形的认识（二）章末十五大题型总结（培优篇）（苏科版）（教师版）

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专题7.17 平面图形的认识（二）章末十五大题型总结（培优篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc7387" 【题型1 对顶角、邻补角的运用】  PAGEREF _Toc7387 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2230" 【题型2 同位角、内错角、同旁内角的识别】  PAGEREF _Toc2230 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29079" 【题型3 添加条件判定平行】  PAGEREF _Toc29079 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc29132" 【题型4 由平行线的性质求角度】  PAGEREF _Toc29132 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc16401" 【题型5 由平行线的判定与性质判断多结论问题】  PAGEREF _Toc16401 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc10820" 【题型6 在平行线中添加推理依据进行证明】  PAGEREF _Toc10820 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc26517" 【题型7 利用平行线的判定及性质求角度】  PAGEREF _Toc26517 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc2836" 【题型8 利用平行线的判定及性质进行证明】  PAGEREF _Toc2836 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc24754" 【题型9 确定第三边的取值范围】  PAGEREF _Toc24754 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc26679" 【题型10 三角形的三边关系的应用】  PAGEREF _Toc26679 \h 38 HYPERLINK \l "_Toc7800" 【题型11 利用三角形的中线求长度】  PAGEREF _Toc7800 \h 40 HYPERLINK \l "_Toc9084" 【题型12 三角形的高与面积有关的计算】  PAGEREF _Toc9084 \h 43 HYPERLINK \l "_Toc12938" 【题型13 三角形的稳定性】  PAGEREF _Toc12938 \h 48 HYPERLINK \l "_Toc10939" 【题型14 三角形中的角平分线、中线、高有关的综合计算】  PAGEREF _Toc10939 \h 50 HYPERLINK \l "_Toc4871" 【题型15 三角形的内角和与外角有关的计算】  PAGEREF _Toc4871 \h 55【题型1 对顶角、邻补角的运用】【例1】（2023下·天津蓟州·七年级统考期中）如图，下列说法正确的是（　　）A．∠1和∠4互为内错角 B．∠2的同位角只有∠4C．∠6和∠7互补 D．∠2和∠1互为邻补角【答案】D【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和邻补角的概念解答即可．【详解】A、∠1和∠4互不是内错角，故此选项错误；B、∠2的同位角不是只有∠4，还有几个，如∠5也是，故此选项错误；C、∠6和∠7不一定互补，只有c∥d才互补，故此选项错误；D、∠2和∠1互为邻补角，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题考查同位角、同旁内角、内错角和邻补角，解题的关键是能够根据同位角、同旁内角、内错角和邻补角的概念解答．【变式1-1】（2023下·浙江·七年级统考期末）数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（    ）A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角C．内错角、同旁内角、同位角 D．内错角、同位角、同旁内角【答案】D【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是内错角，第二个图是同位角，第三个图是同旁内角．故选：D．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．【变式1-2】（2023上·福建泉州·七年级统考期末）如图所示，图中同旁内角的数量共有（    ）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【答案】C【分析】根据同旁内角的定义解答即可．【详解】解：直线AB、CD被射线PE所截，可以得到两对同旁内角，∠DQP与∠BPQ，∠QPO与∠PQO；直线AB、射线PE被直线CD所截，可以得到两对同旁内角，∠EQC与∠AOD，∠QOP与∠PQO；直线CD、射线PE被直线AB所截，可以得到一对同旁内角，∠QOP与∠QPO；因此共有5对同旁内角，故选：C．【点睛】本题考查同旁内角的定义，同旁内角就是在截线的同一旁，在两条被截线之间的两个角．【变式1-3】（2023下·山东济宁·七年级统考期末）如图，下列说法正确的是（   ）①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁内角；④∠1和∠4是内错角  A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】C【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可．【详解】解：两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则∠1和∠3是同位角，∠1和∠5不是同位角，那么①正确，②错误；两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则∠1和∠2是同旁内角，那么③正确；两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的两侧，且在被截两直线a，b之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则∠1和∠4不是内错角，那么④错误；综上，正确的为①③，故选：C．【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．【题型2 同位角、内错角、同旁内角的识别】【例2】（2023下·山东济宁·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含的代数式表示）【答案】（1）∠BOF=33°；（2）∠AOC=72°；(3) ∠AOC=2x=（3607）°﹣47α°，∠BOF=（3607）°+37α°．【详解】试题分析：（1）由∠AOC=76°易得∠BOD=76°，结合OE平分∠BOD可得∠DOE=∠BOE=38°，由此可得∠COE=180°-38°=142°，结合OF平分∠COE可得∠EOF=71°，最后由∠BOF=∠EOF-∠BOE即可求得∠BOF的度数；（2）设∠BOE=x，由OE平分∠BOD，∠AOC=∠BOD可得∠DOE=∠BOE=x，∠AOC=2x，结合∠BOF=36°，OF平均∠EOF可得∠COF=∠EOF=x+36°，最后由∠AOC+∠COF+∠BOF=180°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC的度数；（3）设∠BOE=x，则由已知条件易得∠AOC=2x，∠BOF=90°-32x，这样结合|∠AOC﹣∠BOF|=α°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC和∠BOF的值.试题解析：（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=12∠BOD=12×76°=38°．∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=12∠COE=12×142°=71°，∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°．（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，∴设∠BOE=x，则∠DOE=x，故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，解得：x=36°，故∠AOC=72°．（3）设∠BOE=x，∵OE平分∠BOD，∠BOD=∠AOC，∴∠DOE=x，∠COA=2x，∴∠BOC=180°-2x，∴∠COE=180°-x，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=90°-12x，∴∠BOF=90°﹣32x，∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，∴|2x﹣（90°﹣32x）|=α°，解得：x=（1807）°+27α°或x=（1807）°﹣27α°，当x=（1807）°+27α°时，∠AOC=2x=（3607）°+47α°，∠BOF=90°﹣32x=（3607）°﹣37α°；当x=（1807）°﹣27α°时，∠AOC=2x=（3607）°﹣47α°，∠BOF=90°﹣32x=（3607）°+37α°．【变式2-1】（2023下·上海虹口·七年级上外附中校考期末）若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3的余角是∠4，若∠4=55°，则∠1＝ °．【答案】145【分析】根据余角、邻补角、对顶角的性质进行求解，即可得到答案．【详解】解：∵∠3的余角是∠4，∠4=55°，∴∠3=90°-∠4=35°，∵∠2的邻补角是∠3，∴∠2=180°-∠3=145°，∵∠1的对顶角是∠2，∴∠1=∠2=145°，故答案为：145．【点睛】本意考查了余角、邻补角、对顶角，熟练掌握相关性质是解题关键．【变式2-2】（2023上·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）如图，直线AB、EF相交于点D，∠ADC=90°．若∠ADE与∠ADC的度数之比为1:3，则∠CDF的度数是 °．  【答案】120【分析】根据题意求得∠ADE=30°，进而根据对顶角相等得出∠BDF=∠ADE=30°，根据∠CDF=∠BDC+∠BDF即可求解．【详解】∵∠ADC=90°，∠ADE与∠ADC的度数之比为1:3，∴∠ADE=90°×13=30°，∵直线AB、EF相交于点D，∴∠BDF=∠ADE=30°，∵∠BDC=180°-∠ADC=90°，∴∠CDF=∠BDC+∠BDF=90°+30°=120°，故答案为：120．【点睛】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．【变式2-3】（2023上·江苏盐城·七年级统考期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．【答案】（1）60，75；（2）152秒；（3）3或12或21或30【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．（2）由题意先根据α=60°，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．【详解】解：（1）∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=α＝30°，∴∠EOC=90°-30°=60°，∠AOD=180°-30°=150°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD=12∠AOD=12×150°=75°；故答案为：60，75；（2）当α=60°，∠EOF=90°+60°=150°．设当射线OE'与射线OF'重合时至少需要t秒，可得12t+8t=150，解得：t=152；答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要152秒；（3）设射线OE'转动的时间为t秒，由题意得：12t+8t=150-90或12t+8t=150+90或8t+12t=360+150-90或12t+8t=360+150+90，解得：t=3或12或21或30．答：射线OE'转动的时间为3或12或21或30秒．【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．【题型3 添加条件判定平行】【例3】（2023下·湖北孝感·七年级统考期中）如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（    ）  A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°【答案】B【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．【详解】解：A、∵∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得l1∥l2，故该选项不符合题意；B、根据∠2=∠3，不能判断直线l1∥l2，故该选项符合题意C、∵∠4=∠5，根据同位角相等，两直线平行可得l1∥l2，故该选项不符合题意；D、∵∠2+∠4=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得l1∥l2，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确把握平行线的判定方法是解题关键．【变式3-1】（2023下·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）如图，A，D，E三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使AB∥CD（填一个即可）．  【答案】∠EDC=∠A（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理即可得到答案．【详解】解：根据平行线的判定定理可得：∠EDC=∠A；∠A+∠ADC=180°；∠B+∠DCB=180°都可判断AB∥CD，故答案为：∠EDA=∠A（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式3-2】（2023下·湖南益阳·七年级统考期末）如图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；⑤∠D=∠5，则一定能判定AB∥CD的条件有 (填写所有正确的序号)．  【答案】①③④【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断．【详解】解：①若∠B＋∠BCD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥CD，符合题意；②若∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，不合题意；③若∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，符合题意；④若∠B=∠5，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，符合题意；⑤若∠D＝∠5，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，不合题意；故答案为①③④．【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握两直线平行的判定方法是解题关键．【变式3-3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=120°，添加一个条件，仍不能判定AB∥CD，添加的条件可能是（           ）   A．∠BOE=60° B．∠DOF=30°C．∠AOF=30° D．∠BOE+∠AOF=90°【答案】D【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可．【详解】解：A、∵OE平分∠BOD，∠BOE=60°，∴∠BOD=2∠BOE=120°∵∠D=120°∴∠BOD=∠D=120°∴AB∥CD，故A不符合题意；B、∵OF⊥OE，∴∠FOE=90°∵∠DOF=30°∴∠DOE=∠FOE-∠DOF=90°-30°=60°∵OE平分∠BOD∴∠BOD=2∠DOE=120°∵∠D=120°∴∠BOD=∠D=120°∴AB∥CD，故B不符合题意；C、∵OF⊥OE，∴∠FOE=90°∵∠AOF=30°∴∠BOE=180°-∠AOF-∠FOE=60°∵OE平分∠BOD∴∠BOD=2∠BOE=120°∵∠D=120°∴∠BOD=∠D=120°∴AB∥CD，故C不符合题意；D、∵∠BOE+∠AOF=90°，∴∠FOE=90°不能判断AB∥CD，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键．【题型4 由平行线的性质求角度】【例4】（2023下·云南昆明·七年级统考期末）已知，在同一平面内，∠ABC=110°，AD∥BC，∠BAD的平分线交直线BC于点E，那么∠AEB度数为 ．【答案】35°或55°【分析】画出相应的简图，再利用平行线的性质及角平分线的定义进行求解即可．【详解】解：①如图， ∵AD∥BC，∠ABC=110°，∴∠BAD=180°-∠ABC=70°，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=12∠BAD=35°，∴∠AEB=35°；②如图， ∵AD∥BC，∠ABC=110°，∴∠BAD=∠ABC=110°，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=12∠BAD=55°，∴∠AEB=55°．综上所述，∠AEB的度数为：35°或55°．故答案为：35°或55°．【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-1】（2023下·北京朝阳·七年级校考期末）如图，a∥c,b∥d，∠1=30°，求∠3的度数．  【答案】30°【分析】根据两直线平行内错角相等，解答即可．【详解】解：∵a∥c，∠1=30°，∴∠2=∠1=30°，又∵b∥d，∴∠3=∠2=30°，∴∠3的度数为30°．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是对以上知识的熟练掌握．【变式4-2】（2023下·广东深圳·七年级统考期末）如图，AB∥CD，∠G=∠FEH=90°，∠GEF=45°，∠H=60°，若∠AEG=26°，则∠DFH= ．  【答案】41°【分析】由平角关系可求得∠BEH，过点H作HM∥AB，则AB∥CD∥HM，由平行线的性质即可求得结果．【详解】解：∵∠AEG+∠GEF+∠FEH+∠BEH=180°，∠GEF=45°，∠AEG=26°，∴∠BEH=180°-(∠AEG+∠GEF+∠FEH)=19°，过点H作HM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥HM，∴∠EHM=∠BEH=19°，∠DFH=∠MHF，∵∠MHF=∠EHF-∠EHM=60°-19°=41°，∴∠DFH=41°；故答案为：41°．    【点睛】本题考查了平行线的性质，平角等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-3】（2023下·贵州黔南·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE=90°，点E在线段AB上，∠FCG=90°，点F在直线AD上，∠AHG=90°．  (1)图中与∠D相等的角有__________；(2)若∠ECF=25°，求∠BCD的度数；(3)在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求∠BAF的度数．【答案】(1)∠DCG，∠ECF，∠B(2)155°(3)25°或155°【分析】（1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与∠D相等的角；（2）根据∠ECF=25°，∠DCE=90°，可得∠FCD=65°，再根据∠BCF=90°，即可得到∠BCD=65°+90°=155°；（3）分两种情况讨论：当点C在线段BH上；点C在BH延长线上，根据平行线的性质，即可得到∠BAF的度数为25°或155°．【详解】（1）解：∵AD∥BC，∴∠D=∠DCG，∵∠FCG=90°，∠DCE=90°，∴∠ECF=∠DCG，∴∠D=∠ECF，∵AB∥DC，∴∠DCG=∠B，∴∠D=∠B；∴与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B；（2）解：∵∠ECF=25°，∠DCE=90°，∴∠FCD=65°，∵∠BCF=90°，∴∠BCD=65°+90°=155°；（3）解：分两种情况进行讨论：①如图a，当点C在线段BH上时，点F在DA的延长线上，此时∠ECF=∠DCG=∠B=25°，∵AD∥BC，∴∠BAF=∠B=25°；②如图b，当点C在BH的延长线上时，点F在线段AD上．∵∠B=25°，AD∥BC，∴∠BAF=180°-25°=155°，综上所述，∠BAF的度数为25°或155°．    【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．【题型5 由平行线的判定与性质判断多结论问题】【例5】（2023下·重庆云阳·七年级校联考期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠FGA=42°；④∠MGK=21°．其中正确结论的个数有（  ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD∥BC，故①正确；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，∵∠FGA=∠DGH，∴90°-2∠FGA=16°，∴∠FGA=∠DGH=37°，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④错误，综上，①②正确，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角相等，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-1】（2023下·四川南充·七年级统考期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，∠C=∠EDF，则下列结论错误的是（    ）A．∠ADE=∠B B．DF∥AC C．∠BFD=∠AED D．∠B+∠CED=180°【答案】D【分析】结合已知条件，利用平行线的性质定理和判定定理逐项判断即可得出答案．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，故A选项结论正确，不合题意；∵DE∥BC，∴∠EDF+∠DFC=180°，又∵∠C=∠EDF，∴∠C+∠DFC=180°，∴DF∥AC，故B选项结论正确，不合题意；∴∠BFD=∠C，又∵DE∥BC，∴∠AED=∠C，∠C+∠CED=180°，∴∠BFD=∠AED，故C选项结论正确，不合题意；∵∠C+∠CED=180°，∠C不一定等于∠B，∴现有条件无法推出∠B+∠CED=180°，故D选项结论不正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟练运用平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．【变式5-2】（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，EF是△DEC的角平分线，有下列四个结论： ①∠BDE=∠DBE； ②EF∥BD； ③∠CDE=∠ABC； ④S四边形ABED=S△ABF．其中，正确的是（    ）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】利用DE∥AB，BD平分∠ABC，EF平分∠DEC，可以判断出①②正确；再根据∠A 与∠ABC不一定相等，再利用∠A 与∠CDE相等，可判断出③不一定正确；根据EF∥BD，推出△BDF与△BDE是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．【详解】∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE，∠ABC=∠DEC，∵BD平分∠ABC，EF平分∠DEC，∴∠ABD=∠DBE，∠DEF=∠FEC，∴∠BDE=∠DBE，∠FEC=∠DBC，∴EF∥BD，故①②正确；∴∠A 与∠ABC不一定相等，由题意可知∠A=∠CDE，∴∠CDE与∠ABC不一定相等，故③错误；∵EF∥BD，∴△BDF与△BDE是等底等高的三角形，∴S△BDF=S△BDE，∴S四边形ABED=S△ABF，故④正确，∴①②④正确．故选：D．【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．【变式5-3】（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得∠D+∠DCG+∠GCK=180°，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得∠D+∠DCG=2∠GKC，又根据AD∥BC，得∠D+∠DCG=2∠AGK，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD∥BC，故①正确；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；∵AD∥BC，∴∠D+∠DCG+∠GCK=180°，∵∠CKG＝∠CGK，∴∠D+∠DCG+180°-2∠GKC=180°，∴∠D+∠DCG=2∠GKC，又∵AD∥BC，∴∠AGK=∠CKG，∴∠D+∠DCG=2∠AGK，要使GK∥CD，就要使∠D=∠AGK且∠D=∠DCG，∴就要GD=GC，但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC，∴故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④错误，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．【题型6 在平行线中添加推理依据进行证明】【例6】（2023下·北京东城·七年级北京二中校考期末）补全证明过程，并在（    ）内填写推理的依据．已知：如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠1，求证：AD是∠BAC的角平分线．  证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC∴∠EGD=∠ADC=90°（①___________）∴AD∥EG（②___________）∴∠E=∠③___________，∠1=∠BAD（④___________）∵∠E=∠1∴∠CAD=∠BAD∴AD是∠BAC的角平分线（⑤___________）【答案】垂直的定义，同位角相等、两直线平行, DAC，两直线平行，内错角相等，角平分线的定义．【分析】根据垂直的定义、平行线的判定与性质、角平分线的定义逐步分析即可解答．【详解】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴∠EGD=∠ADC=90°（垂直的定义），∴AD∥EG（同位角相等、两直线平行），∴∠E=∠ DAC，∠1=∠BAD（两直线平行，内错角相等），∵∠E=∠1，∴∠CAD=∠BAD，∴AD是∠BAC的角平分线（角平分线的定义）．故答案为：垂直的定义，同位角相等、两直线平行, DAC，两直线平行，内错角相等，角平分线的定义．【点睛】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解答本题的关键．【变式6-1】（2023下·山东临沂·七年级统考期末）请在括号内完成证明过程和填写上推理依据．如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠4，试判断∠ACB与∠3的大小关系，并说明理由．  解：∠ACB=∠3，理由如下：∵∠1+∠2=180°又∵（______）+∠2=180°（邻补角定义）∴（______）=∠1（__________________）∴（______）∥AB（__________________）∴∠AFE=∠4（__________________）∵∠B=∠4，∴（______）=∠B（__________________）∴EF∥BC（__________________）∴∠ACB=∠3（__________________）【答案】∠5；∠5，同角的补角相等；DE，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠AFE，等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相【分析】根据邻补角的定义，平行线的判定和性质，进行作答即可．【详解】解：∠ACB=∠3，理由如下：∵∠1+∠2=180°又∵∠5 +∠2=180°（邻补角定义）∴∠5 =∠1（同角的补角相等）∴DE∥AB（内错角相等，两直线平行）∴∠AFE=∠4（两直线平行，内错角相等）∵∠B=∠4∴∠AFE =∠B（等量代换）∴EF∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠ACB=∠3（两直线平行，同位角相等）．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理．【变式6-2】（2023下·重庆彭水·七年级校联考期末）推理填空：如图，点D，E，H分别在△ABC的边AB，BC，AC上，连接DE，过点C作CF交DH的延长线于点F且满足∠B+∠BCF=180°；若DE∥AC，∠1=∠3．求证：∠B=∠F．  证明：∵DE∥AC（已知）∴∠1= （两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠3（已知）∴∠3=∠2（ ）∴DF∥BC（ ）∴∠4=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠B+∠BCF=180°（已知）∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行）∴∠4= （两直线平行，内错角相等）∴∠B=∠F（等量代换）【答案】∠2；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB；CF；∠F【分析】先根据平行线的性质得到∠1=∠2，进而等量代换得到∠3=∠2，由此可证明DF∥BC得到∠4=∠B，再证明AB∥CF得到∠4=∠F，即可证明∠B=∠F．【详解】证明：∵DE∥AC（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠3（已知）∴∠3=∠2（等量代换）∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行）∴∠4=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠B+∠BCF=180°（已知）∴AB∥CF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠4=∠F（两直线平行，内错角相等）∴∠B=∠F（等量代换）故答案为：∠2；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB；CF；∠F．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．【变式6-3】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）在下面的括号内，填上推理的根据．如图，点D，E分别为三角形ABC的边AB，AC上的点，点F，G分别在BC，AB上，∠AED=∠C，∠DEF=∠B，∠EFG=90°．求证FG⊥AB．证明：∵∠AED=∠C∴DE∥BC（                           ）∴∠DEF=∠EFC（                           ）∵∠DEF=∠B∴∠EFC=∠B∵∠EFC+∠EFB=180° ∴∠B+∠EFB=180°（                           ）∴DB∥EF（                           ）∴∠AGF+∠EFG=180°（                           ）∵∠EFG=90° ∴∠AGF=90° ∴FG⊥AB（                           ）【答案】见解析【分析】由∠AED=∠C判定DE∥BC，得到∠DEF=∠EFC，利用等量代换得到∠B+∠EFB=180°，推出DB∥EF，则有∠AGF+∠EFG=180°，根据∠EFG=90°，算出∠AGF=90°，即可证明．【详解】解：证明：∵∠AED=∠C，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠DEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠DEF=∠B，∴∠EFC=∠B，∵∠EFC+∠EFB=180°，∴∠B+∠EFB=180°（等量代换）∴DB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠AGF+∠EFG=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠EFG=90°，∴∠AGF=90°，∴FG⊥AB（垂线的定义）【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，灵活运用平行线的判定和性质得出角的关系式解题的关键．【题型7 利用平行线的判定及性质求角度】【例7】（2023下··浙江·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE；（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）40°【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．【详解】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，过点H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝12∠BGH，∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝12∠HED，∵MQ∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵MQ∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣10x，∵FK平分∠AFE，∴∠AFK＝∠KFE＝12 ∠AFE，即12(180°-10x)=13x，解得：x＝5°，∴∠BGH＝10x＝50°，∵HP∥AB，HP∥CD，∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，∵∠GHE＝90°，∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED＝40°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键．【变式7-1】（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，∠1+∠2=180°,∠A=∠3．  (1)求证：AB∥CD；(2)若∠B=78°,∠BDE=2∠3，求∠DEA的度数．【答案】(1)见解析(2)∠DEA=146°【分析】（1）由∠1+∠2=180°得到DE∥AC，即可得到∠A＝∠DEB，再根据等量代换得到∠3＝∠DEB即可证明；（2）由平行的性质得到∠BDC+∠B=180°，求出∠3=34°即可求出答案．【详解】（1）∵∠1+∠2=180°，∴DE∥AC，∴ ∠A＝∠DEB，∵ ∠A＝∠3，∴ ∠3＝∠DEB，∴ AB∥CD；（2）∵ AB∥CD，∴ ∠BDC+∠B=180°，∵ ∠B=78°，∠BDE=2∠3，∴ 2∠3+∠3+78°=180°，∴ ∠3=34°，∵ AB∥CD，∴ ∠3+∠DEA=180°，∴ ∠DEA=146°．【点睛】本题主要考查平行的判定与性质，熟练掌握平行的判定与性质是解题的关键．【变式7-2】（2023下·安徽六安·七年级校考期末）如图1，已知点B和点C分别是AF和DE上的点，∠DAF=∠BCD，∠F=∠ECF． (1)试说明：AD∥BC；(2)如图2，连接AC，已知AC⊥CF，∠ECF=m∠BCF．①当m=1时，∠DAF=62°，求∠ACB的度数；②若∠ACD+∠ABC=150°，则∠D=__________．（用含m的代数式表示）【答案】(1)见解析(2)①∠ACB=31°；②∠D=60°1+m【分析】（1）先根据∠F=∠ECF证明DE∥AF，得到∠DAF+∠D=180°，进而可证∠BCD+∠D=180°，根据同旁内角互补两直线平行可证AD∥BC；（2）①由AD∥BC可得∠CBF=62°，由DE∥AF可得∠BCE=118°，进而求出∠ECF=∠BCF=59°，结合AC⊥CF可求出∠ACB=31°； ②由DE∥AF可求得∠ACB=30°，进而求出∠BCF=60°，∠BCE=60°1+m，然后根据两直线平行同位角相等可求∠D的度数．【详解】（1）∵∠F=∠ECF∴DE∥AF∴∠DAF+∠D=180°∵∠DAF=∠BCD∴∠BCD+∠D=180°∴AD∥BC（2）①∵AD∥BC，∠DAF=62°∴∠CBF=62°∵DE∥AF∴∠BCE=180°-62°=118°∵∠ECF=∠BCF∴∠ECF=∠BCF=12×118°=59°∵AC⊥CF∴∠ACF=90°∴∠ACB=90°-59°=31°②∵DE∥AF∴∠ACD+∠ACB+∠ABC=180°∵∠ACD+∠ABC=150°∴∠ACB=30°∵AC⊥CF∴∠ACF=90°∴∠BCF=90°-30°=60°∵∠ECF=m∠BCF∴∠ECF=60°m∴∠BCE=60°1+m∵AD∥BC∴∠D=∠BCE=60°1+m故答案为：60°1+m【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．【变式7-3】（2023下·浙江·七年级期末）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a,b，且a//b,△ABC是直角三角形，∠BCA=90°，操作发现：（1）如图1．若∠1=48°，求∠2的度数；（2）如图2，若∠A=30°,∠1的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2-∠1=120°，请说明理由．（3）如图3，若∠A=30°，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并说明理由．【答案】（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析【分析】（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案；（2）过点B作BD∥a．由平行线的性质得∠2+∠ABD=180°，∠1=∠DBC，则∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，进而得出结论；（3）过点C 作CP∥a，由角平分线定义得∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，由平行线的性质得∠1=∠BAM=60°，∠PCA=∠CAM=30°，∠2=∠BCP=60°，即可得出结论．【详解】解：（1）∵∠1=48°，∠BCA=90°，∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-48°=42°，∵a∥b，∴∠2=∠3=42°；（2）理由如下：过点B作BD∥a．如图2所示：则∠2+∠ABD=180°，∵a∥b，∴b∥BD，∴∠1=∠DBC，∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，∴∠2+60°-∠1=180°，∴∠2-∠1=120°；（3）∠1=∠2，理由如下：过点C 作CP∥a，如图3所示：∵AC平分∠BAM∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，又∵a∥b，∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，∴∠PCA=∠CAM=30°，∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°，又∵CP∥a，∴∠2=∠BCP=60°，∴∠1=∠2．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．【题型8 利用平行线的判定及性质进行证明】【例8】（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）如图，AB∥CD ，连接BD，E是直线FD上的一点，∠ABC=140°，∠CDF=40°．  (1)判断BC与EF平行吗？为什么？(2)若BD∥AE，∠BAE=110°，则BD是否平分∠ABC？请说明理由．【答案】(1)BC∥EF，理由见解析(2)BD平分∠ABC，理由见解析【分析】（1）由AB∥CD，∠ABC=140°，得到∠BCD=40°，则∠BCD=∠CDF，即可证明BC∥EF；（2）BD∥AE，∠BAE=110°，则∠ABD=180°-∠BAE=70°，求出∠CBD=70°，则∠ABD=∠CBD，即可证明BD平分∠ABC．【详解】（1）BC∥EF，理由如下：∵AB∥CD，∠ABC=140°， ∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-140°=40°，∵∠CDF=40°，∴∠BCD=∠CDF，∴BC∥EF；（2）BD平分∠ABC，理由如下：∵BD∥AE，∠BAE=110°，∴∠ABD=180°-∠BAE=180°-110°=70°，∵∠ABC=140°，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=140°-70°=70°，∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握利用平行线的判定和性质进行证明是解题的关键．【变式8-1】（2023下·江苏镇江·七年级统考期末）已知：如图，∠BAP+∠APD =180°，∠1 =∠2.求证：AE∥PF．  【答案】见解析【分析】由∠BAP+∠APD =180°可得AB∥CD，进而得到∠BAP=∠CPA,然后根据角的和差可得∠EAP=∠FPA运用内错角相等、两直线平行证明即可.【详解】证明：∵∠BAP+∠APD =180°∴AB∥CD∴∠BAP=∠CPA∵∠1 =∠2∴∠BAP-∠1=∠CPA-∠2，即∠EAP=∠FPA∴AE∥PF【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是灵活应用平行线的性质定理和判定定理.【变式8-2】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期末）如图，已知BC∥AD,∠C=∠A,∠3=∠4．求证：  (1)AB∥CD(2)∠1=∠2【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质得出∠C=∠6，根据已知∠C=∠A，可得∠A=∠6，进而可得AB∥CD；（2）根据平行线的性质以及已知条件得出∠ABE=∠CBG，进而结合图形，即可求解．【详解】（1）证明：∵ BC∥AD（已知）∴∠C=∠6（两直线平行，同位角相等）∵∠C=∠A（已知）∴∠A=∠6（等量代换）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）)（2）∵ AB∥CD（已知）∴∠4=∠ABE（两直线平行，内错角相等）∵ BC∥AD（已知）∴∠3=∠CBG（两直线平行，同位角相等）∵∠3=∠4（已知）∴∠ABE=∠CBG（等量代换）∵∠ABE=∠2+∠5，∠CBG=∠1+∠5∴∠2+∠5=∠1+∠5，∴∠1=∠2（等式的性质）【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式8-3】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．(1)如图1，当点G在F右侧时，求证：BD//EF；(2)如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE=∠BDG+∠FEG；(3)如图3，在2的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠DBF-∠DNG=∠EDN，则∠DBF的度数是多少．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)60°【分析】（1）通过证明∠DBF=∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；（2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；（3）设∠BDM=∠MDG=α，则∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α，∠PDE=180°-4α，∠PDM=180°-α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠DBF-∠DNG=∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B=180°-4α，结论可求．【详解】（1）证明：∵DG平分∠BDE，∴∠BDG=∠ADG，又∵∠BDG=∠BGD，∴∠ADG=∠DGB，∴AD//BC，∴∠DEF=∠EFG，∵∠DBF=∠DEF，∴∠DBF=∠EFG，∴BD//EF；（2）证明：过点G作GH//BD，交AD于点H，如图，由（1）可知：BD//EF，∴GH//EF，∴∠BDG=∠DGH，∠GEF=∠HGE，∵∠DGE=∠DGH+∠HGE，∴∠DGE=∠BDG+∠FEG；（3）解：设∠BDM=∠MDG=α，则∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α，∠PDE=180°-4α，∴∠PDM=180°-α，∵DN平分∠PDM，∴∠PDN=∠MDN=90°-12α，∴∠EDN=∠PDN-∠PDE=90°-12α-(180°-4α)=72α-90°，∴∠GDN=∠MDN-∠MDG=90°-12α-α=90°-32α，∵DG⊥ON，∴∠DNG=90°，∴∠DNG=90°-(90°-32α)=32α，∵DE//BF，∴∠DBF=∠PDE=180°-4α，∵∠DBF-∠DNG=∠EDN，∴180°-4α-32α=72α-90°，解得：α=30°，∴∠DBF=180°-4α=60°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，利用平行线的性质和角平分线的定义得出角度的关系式是解题的关键．【题型9 确定第三边的取值范围】【例9】（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）一个三角形的3边长分别是xcm、3x-3cm，x+2cm，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（    ）A．53