专题7.18 平面图形的认识（二）章末十四大题型总结（拔尖篇）（苏科版）（教师版）

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专题7.18 平面图形的认识（二）章末十四大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc10107" 【题型1 平行线在三角板中的运用】  PAGEREF _Toc10107 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12561" 【题型2 平行线在折叠中的运用】  PAGEREF _Toc12561 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc16094" 【题型3 旋转使平行】  PAGEREF _Toc16094 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc6584" 【题型4 利用平行线求角度之间的关系】  PAGEREF _Toc6584 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc12445" 【题型5 利用平行线解决角度定值问题】  PAGEREF _Toc12445 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc6407" 【题型6 平行线的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc6407 \h 45 HYPERLINK \l "_Toc11820" 【题型7 平行线的性质在生活中的应用】  PAGEREF _Toc11820 \h 55 HYPERLINK \l "_Toc17027" 【题型8 平行线与动点的综合应用】  PAGEREF _Toc17027 \h 59 HYPERLINK \l "_Toc3417" 【题型9 利用三角形的中线求面积】  PAGEREF _Toc3417 \h 69 HYPERLINK \l "_Toc19384" 【题型10 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】  PAGEREF _Toc19384 \h 75 HYPERLINK \l "_Toc20652" 【题型11 利用三角形的三边关系化简或证明】  PAGEREF _Toc20652 \h 78 HYPERLINK \l "_Toc27529" 【题型12 与角平分线有关的三角形角的计算问题】  PAGEREF _Toc27529 \h 82 HYPERLINK \l "_Toc8179" 【题型13 与平行线有关的三角形角的计算问题】  PAGEREF _Toc8179 \h 91 HYPERLINK \l "_Toc11559" 【题型14 与折叠有关的三角形角的计算问题】  PAGEREF _Toc11559 \h 103【题型1 平行线在三角板中的运用】【例1】（2023下·浙江温州·七年级校考期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．  (1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，直接写出此时t的值；(2)当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系．(3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边与ED平行时，请直接写出此时t的值．【答案】(1)3(2)∠ECB-∠DCA=15°(3)15或24或33【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACE=12∠DCE=15°，然后求出t的值即可；（2）根据旋转得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°-5t，∠ECB=45°-5t，即可得出∠ECB-∠DCA=15°；（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可．【详解】（1）解：如图2，∵∠EDC=90°，∠DEC=60°，  ∴∠DCE=30°，∵AC平分∠DCE，∴∠ACE=12∠DCE=15°，∴t=155=3，答：此时t的值是3；（2）解：当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3；  由旋转得：∠ACE=5t，∴∠DCA=30°-5t，∠ECB=45°-5t，∴∠ECB-∠DCA=45°-5t-30°-5t=15°；（3）解：分三种情况：①当AB∥DE时，如图4，  此时BC与CD重合，t=30+45÷5=15；②当AC∥DE时，如图5，  ∵AC∥DE，∴∠ACD=∠D=90°，∴∠ACE=90°+30°=120°，t=120÷5=24；③当BC∥DE时，如图6，  ∵BC∥DE∴∠BCD=∠CDE=90°∴∠ACD=90°+30°+45°=165°∴t=165÷5=33综上，t的值是15或24或33．故答案为：15或24或33．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，角平分线的计算，平行线的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．【变式1-1】（2023下·河南安阳·七年级统考期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；(2)类比探究，若按住三角板ABC不动，顺时针绕直角顶点C转动三角形DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．【答案】(1)∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°(2)当∠ACD=60°或120°时，CE//AB(3)∠ACD=45°，AC⊥DE或AC//DE【分析】（1）由三角板的特点可知∠ACB=∠DCE=90°，即可求出∠BCD=∠ACE．再根据∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，即可求出∠BCE+∠ACD=180°；（2）分类讨论结合平行线的性质即可求解；（3）由（1）∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD=45°，再分类讨论结合平行线的判定和性质即可得出DE与AC的位置关系．【详解】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE．∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，∴∠BCE+∠ACD=∠ACB+∠DCE=90°+90°=180°．故答案为：∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°；（2）分类讨论：①如图1所示，∵CE//AB，∴∠ACE=∠BAC=30°，∴∠ACD=∠DCE-∠ACE=90°-30°=60°；②如图2所示，∵CE//AB，∴∠BCE=∠B=60°，∴∠ACD=360°-∠ACB-∠DCE-∠BCE=360°-90°-90°-60°=120°．综上可知当∠ACD=60°或120°时，CE//AB；（3）根据（1）可知∠BCE+∠ACD=180°，∴3∠ACD+∠ACD=180°，∴∠ACD=45°．分类讨论：①如图3所示， ∵∠ACD=45°，∴∠BCD=45°=∠CDE，∴BC//DE．∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴AC⊥DE；②如图4所示，∵∠ACD=45°，∴∠ACD=45°=∠CDE，∴AC//DE．【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．【变式1-2】（2023上·湖南长沙·七年级校考期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）①如图1，∠DPC＝　 　度．②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°OB+OC，AB+BC>OA+OC，AC+BC>OA+OB，三个式子相加即可证得要求（3）由AB+AC+BC=10km，点O为ΔABC内一点，及（1）（2）可知12AB+BC+ACAB+AC+BC.故OA+OB+OC>12AB+BC+AC.（2）AB+AC>OB+OC，①同理，AB+BC>OA+OC，②AC+BC>OA+OB.③由①+②+③，得2AB+AC+BC>2OA+OB+OC，即AB+AC+BC>OA+OB+OC.（3）由AB+AC+BC=10km，点O为ΔABC内一点，及（1）（2）知12AB+BC+AC2BD，理由为：∵AB+AD>BD，BC+CD>BD，∴AB+AD+BC+CD>BD+BD即：AB+BC+CA>2BD（2）AB+AC>PB+PC，理由为：在△ABD中，AB+AD>BP+PD，在△PDC中，PD+DC>PC，两式相加得：AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC即：AB+AC>PB+PC（3）AB+AC>BD+DE+CE，理由为：如图，延长BD交CE的延长线于G，交AC于点F，在△ABF中，AB+AF>BD+DG+GF，①在△GFC中，GF+AC-AF>GE+EC，②△DEG中，DG+GE>DE，③①+②+③得：AB+AC>BD+DE+CE【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键．【变式11-3】（2023春·六年级单元测试）如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由【答案】H建在AC、BD的交点处，理由见解析．【分析】连接AC、BD相交于点H，任取一点H'，连接H'A、H'B、H'C、H'D，根据三角形三边关系得到H'A+H'C>AC，H'B+H'D>BD，进而得到H'A+H'B+H'C+H'D>HA+HB+HC+HD，即可推出结论．【详解】解：H建在AC、BD的交点处，理由如下：连接AC、BD相交于点H，任取一点H'，连接H'A、H'B、H'C、H'D，在△AH'C中，H'A+H'C>AC，在△BH'D中，H'B+H'D>BD，∴H'A+H'B+H'C+H'D>AC+BD，∵AC+BD=HA+HB+HC+HD，∴H'A+H'B+H'C+H'D>HA+HB+HC+HD，∴HA+HB+HC+HD最小，即维修站H建在AC、BD的交点处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小．【点睛】本题考查了线段最短，三角形的三边关系，作辅助线构造三角形，灵活运用三角形三边关系是解题关键．【题型12 与角平分线有关的三角形角的计算问题】【例12】（2023春·江苏苏州·七年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．(1)若∠A=60°，则∠BDC的度数为_________；(2)若∠A=α，直线MN经过点D．①如图2，若MN∥AB，求∠NDC-∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC-∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC-∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由；③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．【答案】(1)120°(2)①90°-α2 ②不变，90°-α2 ③∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90∘-α2．【分析】（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，分步计算即可．（2）①利用平角的定义，变形代入计算，注意与第（1）的结合． ②与 ①结合起来求解即可．③根据平角的定义，变形后结合前面的计算，求解即可．【详解】（1）∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD=12∠ACB，∴∠CBD+∠BCD=12∠ACB+12∠ABC=12(∠ABC+∠ACB)，∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴180°-∠BDC=12(180∘-∠A)，∴∠BDC=90∘+∠A2，∵∠A=60°，∴∠BDC=90∘+30∘=120°，故答案为：120°．（2）①∵∠NDC=180°-∠MDC，∴∠NDC-∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB=180°-（∠MDC+∠MDB）=180°-∠BDC=180°-（90∘+∠A2）=90∘-α2．②∠NDC-∠MDB保持不变，恒等于90°-α2．理由如下：∵∠NDC=180°-∠MDC，∴∠NDC-∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB=180°-（∠MDC+∠MDB）=180°-∠BDC=180°-（90∘+∠A2）=90∘-α2．故保持不变，且为90∘-α2．③∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90∘-α2．理由如下：∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC，∵∠BDC=90∘+α2，∴∠NDC+∠MDB=180°-（90∘+α2）=90∘-α2．【点睛】本题考查了角的平分线的定义，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握三角形内角和定理，平角的定义是解题的关键．【变式12-1】（2023秋·河南漯河·七年级校考期中）（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；（2）如果图2中，∠D=40°,∠B=36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的角平分线，试求∠P的度数；（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．【答案】（1）∠A+∠D =∠C+∠B（2）∠P=38°（3）∠D+∠B=2∠P【分析】（1）根据三角形的内角和定理和对顶角相等就可以得出∠A，∠D，∠C，∠B的数量关系；（2）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得∠D+∠B=2∠P，再把∠D=40°，∠B=36°代入计算即可得到答案；（3）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得∠D+∠B=2∠P.【详解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，且∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D =∠C+∠B；（2）由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，∴∠D+∠B=2∠P，又∵∠D=40°，∠B=36°，∴40°+36°=2∠P，∴∠P=38°；（3）存在的数量关系为：∠D+∠B=2∠P，由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，∴∠D+∠B=2∠P.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理以及角平分线的性质是解题的关键.【变式12-2】（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)．(1)如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO=BO时∠AEB= °；(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；(3)如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．【答案】(1)135°(2)∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，值为45°(3)60°或45°【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；（3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出∠EAF=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．【详解】（1）解：∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∴∠EBA=12∠OBA，∠BAE=12∠BAO，∵∠MON=90°，∴∠EAB+EBA=90°，∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，∴∠AEB=180°-∠EBA-∠BAE，=180°-12∠OBA+∠BAO，=180°-12×90°，=180°-45°，=135°；（2）解： ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=45°+α，∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；（3）解：∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，∴∠AOE=135°，∴∠E=180°-∠EAO-∠AOE，=45°-∠EAO，=45°-12∠BAO，=45°-12(180°-90°-∠ABO)，=12∠ABO∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，∴∠EAF=12∠BAO+12∠GAO=12×180°=90°，在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°；②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°，此时∠ABO=120°＞90°，舍去；③当∠F=3∠E时，得∠E=14×90°=22.5°，此时∠ABO=45°；．④当∠E=3∠F时，得∠E=34×90°=67.5°，此时∠ABO=135°＞90°，舍去．综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．【点睛】前两问熟练运用三角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明∠EAF=90°，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键．【变式12-3】（2023秋·安徽宣城·七年级校考期中）如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．(1)若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．①若∠BAO=60°，则∠D=______°；②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．(2)如图2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35∠NBA，则∠D=______°；(3)若将∠MON=90°改为∠MON=120°（如图3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余条件不变，则∠D=______（用含m，n的代数式表示，其中m