专题9.7 整式乘法与因式分解章末八大题型总结（培优篇）（苏科版）（教师版）

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专题9.7 整式乘法与因式分解章末八大题型总结（培优篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc7423" 【题型1 整式的乘除中的错解问题】  PAGEREF _Toc7423 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5062" 【题型2 整式乘除的计算与化简】  PAGEREF _Toc5062 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc31771" 【题型3 整式混合运算的应用】  PAGEREF _Toc31771 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc9356" 【题型4 因式分解（提公因式与公式法综合）】  PAGEREF _Toc9356 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc28827" 【题型5 因式分解（十字相乘法）】  PAGEREF _Toc28827 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc16179" 【题型6 因式分解（分组分解法）】  PAGEREF _Toc16179 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc29265" 【题型7 利用因式分解求值】  PAGEREF _Toc29265 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc5819" 【题型8 整式的乘除中的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc5819 \h 20【题型1 整式的乘除中的错解问题】【例1】（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）某同学计算一个多项式乘-3x2时，因抄错符号，算成了加上-3x2，得到的答案是x2-12x+1，那么正确的计算结果是 ．【答案】-12x4+32x3-3x2【分析】先用错误的结果减去已知多项式求得原式，再乘以-3x2即可解答．【详解】解：这个多项式是（x2-0.5x+1）-（-3x2）=4x2-0.5x+1，正确的计算结果是：（4x2-0.5x+1）（-3x2）=-12x4+32x3-3x2．故答案为-12x4+32x3-3x2．【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键．【变式1-1】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）小林同学把9(M-5)错抄为9M-5，抄错后算得的答案为a，则正确答案为 ．【答案】a-40【分析】将错就错根据9M-5=a求出M，代入正确式子计算．【详解】解：由题意可得：9M-5=a，∴9M=a+5，∴9(M-5)=9M-45=a+5-45=a-40，故答案为：a-40．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式1-2】（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）在计算x+ax+b时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙把a错看成-a，得到结果是：x2+x-6．(1)求出a，b的值；(2)在（1）的条件下，计算x+ax-b的结果．【答案】(1)a=2，b=3(2)x2-x-6【分析】（1）根据题意得出(x+a)(x+6)=x2+(6+a)x+6a=x2+8x+12，(x-a)(x+b)=x2+(-a+b)x-ab=x2+x-6，得出6+a=8，-a+b=1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【详解】（1）根据题意得：x+ax+6=x2+6+ax+6a=x2+8x+12，x-ax+b=x2+-a+bx-ab=x2+x-6，所以6+a=8，-a+b=1，解得：a=2，b=3；（2）当a=2，b=3时，x+ax-b=x+2x-3=x2-x-6．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．【变式1-3】（2023春·湖南永州·七年级统考期末）甲、乙两人共同计算一道整式：x+a2x+b，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2-7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x-3．(1)求-2a+ba+b的值；(2)若整式中的a的符号不抄错，且a=3，请计算这道题的正确结果．【答案】(1)-14．(2)x2+5x-3【分析】（1）根据题意，列出关于a和b的代数式的值，直接代入计算即可；（2）先求出b的值，再代入计算．【详解】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：x-a2x+b=2x2+-2a+bx-ab=2x2-7x+3，因为对应的系数相等，故-2a+b=-7，ab=-3乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：x+ax+b=x2+a+bx+ab=x2+2x-3．因为对应的系数相等，故a+b=2，ab=-3，∴-2a+ba+b=-7×2=-14（2）解：乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果得出：a+b=2，故3+b=2，∴b=-1，把a=3，b=-1代入x+a2x+b，得(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3，故答案为：2x2+5x-3．【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．【题型2 整式乘除的计算与化简】【例2】（2023秋·上海金山·八年级校联考期末）已知： a+b=32，ab=1，化简a-2b-2的结果是 ．【答案】2【分析】先把所求式子化简为ab-2a+b+4，然后把已知条件式整体代入求解即可．【详解】解：a-2b-2 =ab-2a-2b+4=ab-2a+b+4，∵a+b=32，ab=1，∴原式=1-2×32+4=1-3+4=2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键．【变式2-1】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）已知m满足3m-20152+2014-3m2=5．(1)求2015-3m2014-3m的值．(2)求6m-4029的值．【答案】(1)-2(2)±3【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，计算即可确定出原式的值；（2）原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．【详解】（1）解：设a=3m-2015，b=2014-3m，可得a+b=-1，a2+b2=5，∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴1=5+2ab，即ab=-2，则2015-3m2014-3m=3m-20152014-3m=-ab=2；（2）解：设a=3m-2015，b=2014-3m，可得6m-4029=3m-2015-2014-3m=a-b，∵a-b2=a2+b2-2ab，∴6m-40292=a-b2=a2+b2-2ab=5+4=9，则6m-4029=±3．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．【变式2-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）（1）运用乘法公式计算：9992-1002×998+1（2）先化简，再求值：2x+y2x-y-3x+yx-2y-x2÷-12y，其中x=-1，y=2．【答案】（1）-1994；（2）-2y-10x，6【分析】（1）把原式化为1000-12-1000+21000-2+1，再利用乘法公式进行简便运算即可；（2）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把x=-1，y=2代入化简后的代数式进行计算即可．【详解】解：（1）9992-1002×998+1=1000-12-1000+21000-2+1=10002-2000+1-10002+4+1=-1994；（2）2x+y2x-y-3x+yx-2y-x2÷-12y=4x2-y2-3x2+6xy-xy+2y2-x2÷-12y=y2+5xy÷-12y=-2y-10x；当x=-1，y=2时，原式=-2×2-10×-1=-4+10=6．【点睛】本题考查的是整式的化简求值，整式的混合运算，完全平方公式与平方差公式的灵活运用，熟记运算公式与运算法则是解本题的关键．【变式2-3】（2023春·福建三明·八年级统考期中）为了比较两个数的大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若M=a+3a-4，N=a+22a-5，其中a为有理数，(1)求M-N，要求化简为关于a的多项式；(2)比较M，N的大小．【答案】(1)-a2-2(2)M”或“(3)△ABC的周长为7【分析】、（1）将x2+2y2-2xy-8y+16=0变形为x-y2+y-42=0，然后根据二次方的非负性求出结果即可；（2）求出A-B=a-12+2>0，得出A>B即可；（3）先根据a2+b2-6a-2b+10=0求出，a=3，b=1，根据三角形三边关系求出2B．故答案为：>．（3）解：∵a2+b2-6a-2b+10=0，∴a2-6a+9+b2-2b+1=0，∴a-32+b-12=0，∴a-3=0，b-1=0，解得：a=3，b=1，∵a、b、c是三角形的三边，∴3-1