河北省衡水市故城县河北郑口中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题

这是一份河北省衡水市故城县河北郑口中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题，共15页。试卷主要包含了已知为虚数单位，复数，则等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题纸上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
2.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于的概率为0.3，质量不超过的概率为0.32，那么质量（单位：）在内的概率是（ ）

3.下列说法中正确的是（ ）
A.为单位向量
B.若，则
C.若共面，则它们所在的直线共面
D.已知，则在方向上的投影向量为
4.在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ）
A.矩形 B.梯形 C.平行四边形 D.菱形
5.甲､乙､丙三名同学相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人，则4次传球后球在甲手中的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生年级分布的鉼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列说法错误的是（ ）
A.在成绩前200名的200人中，高一的人数比高二的人数多30
B.在成绩第名的100人中，高一的人数不超过一半
C.在成绩第名的50人中，高三最多有32人
D.在成绩第名的50人中，高二的人数比高一多
7.如图，在长方体中，分别为的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则动点的轨迹长度为（ ）
A.2 B. C. D.
8.如图，在中，是上的点且满足是上的点且满足与交于点，且，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知为虚数单位，复数，则（ ）
A.
B.的共轭复数为
C.的虚部为
D.在复平面内，复数对应的点位于第二象限
10.直播带货助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也卖出了农产品，促进了经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中表示不超过的最大整数，则（ ）
A.事件发生的概率为
B.事件与互斥
C.事件与对立
D.事件发生的概率为
11.如图所示的八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ）
A.异面直线与所成角的大小为
B.二面角的平面角的余弦值为
C.此八面体存在外接球
D.此八面体内切球的表面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机取出了20颗，其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子大约有__________.颗.
13.如图，线段在平面内，，且，则__________.
14.如图，甲､乙做游戏，两人通过划拳（剪刀､石头､布）比赛决胜准首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳贏的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶.若一方连续贏两次，则他将额外获得上一级台阶的奖厉，除非已经登上第3个台阶.当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，内角所对的边分别为，且.
（1）证明：为等腰三角形；
（2）若是边的中点，，求的面积.
16.（15分）
陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，图①是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图②所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且.现有一箱这种陀螺，共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3.
（1）求该箱中共有多少个这样的陀螺；
（2）若要给这箱陀螺的每个陀螺的表面涂上一种特殊的颜料，则共需涂多少平方厘米的颜料？
17.（15分）
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值（结果保留三位小数）；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在内的平均成绩是54，方差是7，落在内的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
18.（17分）
如图，在四棱锥中，正方形的边长为3，点分别在棱上（不含端点），且，点在棱上，.
（1）证明：；
（2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的大小.
19.（17分）
对于平面向量，定义“变换”：，其中表示中较大的一个数，表示中较小的一个数.若，则.记.
（1）若，求及；
（2）若，将经过次“变换”后，最小，求的最小值；
（3）证明：对任意，经过若干次“变换”后，必存在，使得.
参考答案及解析
一､选择题
1.A 【解析】对于A项，若，则，又，所以，故A项正确；对于B项，若，此时与可能相交或平行，故B项错误；对于C项，若，此时或，由线面平行的判定定理可知或，故C项错误；对于D项，比如教室的一角三个面相互垂直，故D项错误.故选A项.
2.C 【解析】设质量小于为事件，质量不超过为事件，质量在内为事件，则，又与互斥，所以，即，所以.故选C项.
3.D 【解析】对于A项，，所以不是单位向量，A项错误；对于B项，若为零向量，则与不一定共线，B项错误；对于C项，例如在正方体中，因为，所以向量，
共面，但它们所在的三条直线显然不在同一平面内，C项错误；对于D项，在方向上的投影向量为，D项正确.故选D项.
4.B 【解析】由，得，
所以，则且，所以四边形一定是梯形.故选B项.
5.C 【解析】列举出4次传球的所有情况：
所以4次传球路线共16种，满足题意的有：甲—乙—甲—乙—甲､甲—乙—甲—丙—甲､甲—乙—丙—乙—甲､甲—丙—甲-甲—甲､甲—丙—甲—丙—甲､甲—丙—乙—丙—甲，共6种，所以4次传球后球在甲手中
的概率为.故选C项.
6.D 【解析】由饼状图可知在成绩前200名的200人中，高一的人数比高二的人数多，故A项正确；由条形图知在成绩第1~100名的100人
中，高一的人数为，故B项正确；在成绩第名的50人中，高一的人数为，所以高三最多有32人，故C项正确；在成绩第名的50人中，高一的人数为，高二最多有23人，故D项错误.故选D项.
7.B 【解析】如图，取的中点的中点，连接，根据长方体的结构特征，易得，因为平面平面，所以平面，同理平面，又平面，所以平面平面，因为平面，且平面，所以平面，即点在平面与平面的交线上，由题知，所以动点的轨迹长度为.故选B项.
8.A 【解析】设，则，又y），所以解得，可得，因为，所以，所以.故选A项.
二､多选题
9.BC 【解析】由题意可知，对于A项，因为，所以，故A项错误；对于B项，因为，所以的共轭复数为，故B项正确；对于C项，因为，所以的虚部为，故C项正确；对于D项，因为，
所以复数对应的点为，位于第四象限，故D项错误.故选BC项.
10.BD 【解析】由题知从中有放回的随机取两次，结果有（记为）：，
，
，共36种，若，此时取1，4或2，3，所以，故A项错误；若，则恒成立，与互斥，故B项正确；当时，1，此时事件与均未发生，所以事件与不对立，故C项错误；，故D项正确.故选BD项.
11.ACD 【解析】连接交于点，连接，由正方形，得，又八面体的每个面都是正三角形，所以三点共线，且平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.对于A项，，则，所以异面直线与所成角的大小为项正确.对于B项，，.设平面的法向量为，则，，得.设平面的法向量为，则，，得，所以，又平面与平面所成的二面角
的平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为，B项错误.对于C项，因为，即为该八面体外接球的球心，所以该八面体一定存在外接球，C项正确.对于D项，设内切球的半径为，八面体的表面积，则八面体的体积，又八面体的体积为，所以，解得，所以内切球的表面积为，D项正确.故选ACD项.
三､填空题
12.300 【解析】设白色围棋子的数目为，则由已知可得，解得，即白色围棋子大约有300颗.
13.4 【解析】连接，如图，在中，，因为，所以，所以.
14. 【解析】设事件为“第次划拳甲赢”，事件为“第次划拳平局”，事件为“第次划拳甲输”，则.设为游戏结束时划拳的次数，则.
四､解答题
15.（1）证明：由题意及正弦定理得，
因为，所以，
因为，由余弦定理得，
代入，化简可得，
所以，
所以为等腰三角形.
（2）解：由题可知，
因为是边的中点，所以，
在和中，
由余弦定理得，
代入，可得，
由，得，
则.
16.解：（1）因为，
所以，
圆锥部分的体积为，
圆柱部分的体积为，
所以一个陀螺的体积为，质量为，
所以该箱中共有陀螺个.
（2）易知，
则圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，
底面面积为，
所以一个陀螺的表面积为，
所以，
所以给这箱陀螺的每个陀螺的表面涂上颜料，共需涂
（5的颜料.
17.解：（1）由所有小矩形的面积之和为1，
得，解得.
（2）设样本成绩的第75百分位数为，
成绩落在内的频率为0.65，
落在内的频率为，
显然，
所以，解得，
所以第75百分位数为84.
（3）由图可知成绩在内的市民人数为，
成绩在内的市民人数为20，故.
设成绩在内10人的分数分别为，，
成绩在内20人的分数分别为，，
则由题意可得，
，
所以，
，
所以
，
所以两组成绩的总平均数是62，总方差是37.
18.（1）证明：过点作，垂足为，连接.
因为，所以，
因为平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为平面平面平面，
，
所以平面，
又平面，所以.
因为平面平面，所以，
又，所以在平面中，，
因为，所以，
易得四边形是矩形.
因为
，所以，
又由已知得，
所以四边形为矩形，所以.
因为平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）解：由（1）可知，又，所以，
因为，所以.
以为坐标原点，向量的方向分别为轴的正方向，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得.
设平面的法向量为，
则
令，则.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角为.
19.（1）解：因为，所以，
所以，
所以.
（2）解：因为2025，
所以或
所以，
即.
由题意可得，
，
，
根据规律可得且），
由且，可得的最大值为674，
所以，
所以
，此后进入循环.
所以当时，；
当时，；
当时，.
所以当最小时，的最小值为1349.
（3）证明：当时，显然存在，使得.
当时，，
即，存在，使得.
同理，当时，存在，使得.
当时，
若，则，存在
，使得.
若，设.
假设对任意，则均不为0.
因为，所以.
若，则
若，则，
所以，
所以，即.
因为，所以，
所以，
所以，
与矛盾，故假设不成立，
即存在，使得.
综上，对于任意，经过若干次“变换”后，必存在，使得.