2023-2024学年广西钦州市高二下学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广西钦州市高二下学期期末教学质量监测数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间( )
A. 可能存在负相关B. 可能存在正相关C. 一定存在正相关D. 一定存在负相关
2.在等比数列an中，a7a8=8a12，则a3=( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
3.已知随机变量X服从二项分布B(5,34)，则D(X)=( )
A. 54B. 154C. 516D. 1516
4.已知函数f(x)=xx+2−ax，x∈[1,+∞),f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)≤0，则a的最小值为( )
A. 23B. 29C. 13D. 19
5.甲、乙两人同时去乘坐一列有6节车厢的地铁，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有( )
A. 10种B. 5种C. 12种D. 6种
6.某班举办知识竞赛，已知题库中有A,B两种类型的试题，A类试题的数量是B类试题数量的两倍，且甲答对A类试题的概率为12，答对B类试题的概率为23，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为( )
A. 29B. 49C. 59D. 79
7.《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
8.已知定义域均为R的函数fx,gx的导函数分别为f′x,g′x，且gx>0,f5=g5,f′xgx−fxg′xgx2<0，则不等式fxA. −∞,5B. 5,+∞C. −∞,1D. 1,+∞
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X服从正态分布N14,σ2，且PXa+4=0.1，则( )
A. a=12B. a=11
C. P12≤X≤14=0.3D. P12≤X≤14=0.4
10.已知函数f(x)有2个极值点，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=sinx+3xB. f(x)=x3−3x+1
C. f(x)=(x2−x)exD. f(x)=xlnx
11.已知数列{an}满足an≠±1，且an+1an+an+1=2，bn=|an+2an−1|，则下列说法正确的是( )
A. 数列{an}可能为常数列
B. 数列{bn}可能为等比数列
C. 若a1=2，则i=120bi=221−2
D. 若a1=−52，记Sn是数列{1bn}的前n项积，则Sn的最大值为S3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某一电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)=4t2−2lnt，则在第2秒时该电路的电流为 A.
13.袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为 ．
14.若函数f(x)的定义域为D，对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，则称f(x)为单射函数．已知集合A={−1,−2,0,3,5}，且a∈A，b∈A，则函数g(x)=ax+bx是单射函数的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列an是等差数列，且a1+a3+a5=18,a2=2a1．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=4anan+1，求数列bn的前n项和Sn．
16.(本小题12分)
某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表：
(1)判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.当χ2>6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联．
17.(本小题12分)
在二项式 x−2xn的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32．
(1)求n；
(2)求第4项的系数；
(3)求(x3+1) x−2xn的展开式的常数项．
18.(本小题12分)
某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为12，每次参加面试通过的概率均为13，且每次考试是否通过相互独立．
(1)求甲在一年内考试失败的概率；
(2)求甲在一年内参加考试次数X的分布列及期望．
19.(本小题12分)
已知函数fx=lnx+x+a的图象在点1,f1处的切线方程为bx−y=0．
(1)求a,b的值；
(2)证明：fx答案解析
1.A
【解析】解：从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势，所以据此可以推断变量x与y之间可能存在负相关，
故选：A．
2.C
【解析】解：由题意得a7a8=a3a12=8a12，得a3=8．
故选：C
3.D
【解析】解：由题意得D(X)=5×34×14=1516．
故选：D．
4.B
【解析】解：由题意得f′(x)=2(x+2)2−a≤0，则a≥2(x+2)2⇔a≥2(x+2)2max．
注意到y=x+22在[1,+∞)上单调递增，y=1x+22在[1,+∞)上单调递减．
则2x+22max=21+22=29，所以a≥29，即a的最小值为29．
故选：B
5.A
【解析】解：先选出2节相邻的车厢有5种方法，
再将甲、乙两人排列有A22种方法，
所以，两人乘坐的车厢相邻的方案共有5×A22=10种．
故选：A
6.C
【解析】解：设“选出A类试题”为事件A1，“选出B类试题”为事件A2，“甲答对题目”为事件B，
则PA1=23,PA2=13,PB∣A1=12,PB∣A2=23，
所以PB=PB∣A1PA1+PB∣A2PA2=23×12+13×23=59．
故选：C．
7.B
【解析】解：设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为a1,a2,a3,a4，由题意得{2(a1+a2)=a3+a4,+a2+a3+a4=12,a2=a1+a32a3=a2+a42
通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，
设该数列为an，公差为d，则．由题意得2a1+a2=a3+a4,a1+a2+a3+a4=12,
即22a1+d=2a1+5d,4a1+6d=12,解得a1=32,d=1．
故选：B．
8.B
【解析】解：令ℎx=fxgx，则ℎ′x=f′xgx−fxg′xgx2<0，所以ℎx单调递减．
由fxgx,gx0,f5=g5，
得ℎx=fxgx<ℎ5=f5g5=1，所以x>5．
故选：B．
9.AD
【解析】解：随机变量X服从正态分布N14,σ2，
所以正态分布的对称轴为x=14，
根据对称性可知：a+a+42=14，得a=12， A正确，B错误；
则P(X<12)=P(X>16)=0.1⇒P(12故选：AD
10.BC
【解析】解：由题意得f(x)的导函数f′(x)有两个变号零点．
由f(x)=sinx+3x，得f′(x)=csx+3>0恒成立，fx单调递增，无极值点， A错误．
由f(x)=x3−3x+1，得f′(x)=3x2−3，令f′(x)=0，得x=±1，而且±1是导函数的变号零点，所以有2个极值点，B正确．
由f(x)=(x2−x)ex，得f′(x)=(x2+x−1)ex，令f′(x)=0，得x2+x−1=0，因为Δ=12−4×(−1)=5>0，所以f′(x)有两个异号零点，所以函数有2个极值点，C正确．
由f(x)=xlnx，得f′(x)=lnx+1，令f′(x)=0，得x=1e，1e是唯一的变号零点，所以函数只有1个极值点，D错误．
故选：BC
11.ABD
【解析】解：假设数列{an}为常数列，设an=m，
则由an+1an+an+1=2，可得
m2+m−2=0，
则m=−2或m=1，
因为an≠1，所以an=−2，
此时数列{an}为常数列，故A正确；
由an≠−1，且an+1an+an+1=2，
可得an+1=2an+1，
bn+1=an+1+2an+1−1=2an+1+22an+1−1
=2an+4−an+1=2an+2an−1=2bn，
若bn≠0，即an≠−2，
此时数列{bn}是公比为2的等比数列，故B正确；
若a1=2，则b1=a1+2a1−1=4，
由B选项可知数列{bn}是公比为2的等比数列，
则i=120bi=41−2201−2=222−4，故C错误；
若a1=−52，则b1=a1+2a1−1=17，
数列{1bn}是以7为首项，12为公比的等比数列，
所以1bn=7×12n−1，数列{1bn}单调递减，
Sn=71×72×722×⋯×72n−1，
当n=3时，1b3=722=74>1，
当n=4时，1b4=78<1，
所以Sn的最大值为S3，故D正确．
故选：ABD．
12.15
【解析】解：由题意得Q′(t)=8t−2t，则Q′(2)=15，即第2秒时该电路的电流为15A．
故答案为：15
13.12或0.5
【解析】解：在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为6−1−110−1−1=12．
故答案为：12
14.825或0.32
【解析】解：当a>0，b>0时，g(x)在0, ba上单调递减，在 ba,+∞上单调递增，g(x)不是单射函数．
当a<0，b<0时，g(x)在0, ba上单调递增，在 ba,+∞上单调递减，g(x)不是单射函数．
当a>0，b<0或a<0，b>0时，g −ba=g− −ba=0，g(x)不是单射函数．
当a=0，b=0时，g(x)=0不是单射函数．
当a≠0，b=0时，g(x)=ax是单射函数．
当a=0，b≠0时，g(x)=bx是单射函数．
故g(x)是单射函数的概率为4+45×5=825．
故答案为：825
15.解：(1)设等差数列an的公差为d,a1+a3+a5=3a3=18，解得a3=6．
a2=2a1，可得a3−d=2a3−2d，解得d=2．
所以an=a3+2n−3=2n．
(2)bn=4anan+1=1nn+1=1n−1n+1，
所以Sn=b1+b2+b3+⋯+bn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1
【解析】(1)由题可得a1+a3+a5=3a3=18a3−d=2a3−2d，从而求出a3，d，进而得到数列an的通项公式；
(2)由(1)得bn=1n−1n+1，采用裂项相消法求出Sn．
16.解：(1)根据列联表中的数据，计算得到χ2=1000×(400×200−200×200)2600×400×600×400=2509≈27.8．
因为27.8>6.635，所以有99%的把握判断数学成绩与语文成绩有关联．
(2)由题意得选取的5人中数学成绩优秀的学生人数为6001000×5=3，
不优秀的学生人数为5−3=2，
则恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率为C32C21C53=35．
【解析】(1)首先计算χ2，再和6.635比较大小，即可判断是否有关联；
(2)首先确定5人中优秀和不优秀的人数，再利用组合数公式和古典概型概率公式，即可求解．
17.解：(1)由题意得所有偶数项的二项式系数之和为12×2n=32，
得2n=64，即n=6．
(2)由题意得第4项为C63×( x)3×−2x3=−160x−32，
所以第4项的系数为−160．
(3)(x3+1) x−2x6=x3 x−2x6+ x−2x6，
在 x−2x6的展开式中，含x−3的项为C64×( x)2×−2x4=240x−3，
常数项为C62×( x)4×−2x2=60，
所以(x3+1) x−2xn的展开式的常数项为240x−3⋅x3+60=300
【解析】(1)根据二项式系数和的性质即可求解，
(2)根据二项式展开式的通项特征即可求解，
(3)利用分配律，结合通项特征即可求解．
18.解：(1)甲每次参加笔试未通过的概率均为1−12=12，每次参加面试未通过的概率均为1−13=23．
甲两次笔试均未通过的概率为12×12=14，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为12×23×23=29，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为12×12×23×23=19
所以甲在一年内考试失败的概率为14+19+29=712．
(2)由题意得X的可能取值为2,3,4，
PX=2=12×12+12×13=512,
PX=3=12×12×13+12×23=512,
PX=4=12×12×23=16,
所以X的分布列为
故EX=2×512+3×512+4×16=114．
【解析】(1)由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率；
(2)由X可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望
19.解：(1)由题意得f′x=1x+1，
由切线bx−y=0的斜率为b，得b=f′1=2，
则切线方程为2x−y=0，
当x=1时，y=2，所以f1=1+a=2，得a=1．
(2)证明：由(1)可知fx=lnx+x+1,x>0，
要证fx设gx=lnx+x−xex，则g′x=1x+1−x+1ex=x+11x−ex．
令ℎx=1x−ex,x>0，则ℎ′x=−1x2−ex<0(x>0)，
所以ℎx在(0,+∞)上递减，
因为ℎ12=2− e>0,ℎ1=1−e<0，
所以存在唯一x0∈12,1，使得ℎx0=1x0−ex0=0，即x0=1ex0．
当x∈0,x0时，g′x>0,gx单调递增，当x∈x0,+∞时，g′x<0,gx单调递减，
所以gxmax=gx0=lnx0+x0−x0ex0=ln1ex0+x0−1ex0⋅ex0=−x0+x0−1=−1．
设ux=xlnx−x，则u′x=lnx．
当x∈0,1时，u′x<0,ux单调递减，当x∈1,+∞时，u′x>0,ux单调递增，
所以uxmin=u1=−1．
因为gx=lnx+x−xex≤−1,ux=xlnx−x≥−1(两个不等式中的等号不能同时成立)，所以lnx+x−xex即fx 【解析】(1)先利用导数的几何意义求出切线方程，再利用切点是公共点结合斜率可求出a,b的值；
(2)将问题转化为证lnx+x−xex语文成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
400
200
600
不优秀
200
200
400
合计
600
400
1000
X
2
3
4
P
512
512
16