2023-2024学年山东省菏泽市高二下学期7月期末教学质量检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市高二下学期7月期末教学质量检测数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一质点A沿直线运动，位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为s=2t2+1，当位移大小为9时，质点A运动的速度大小为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
2.若X服从两点分布，P(X=1)−P(X=0)=0.32，则P(X=0)为( )
A. 0.32B. 0.34C. 0.66D. 0.68
3.下列说法正确的为( )
A. 线性回归分析中决定系数R2用来刻画回归的效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好;
B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好;
C. 正态分布N(μ,σ2)的图象越瘦高，σ越大;
D. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1．
4.已知函数f(x)=ax2+3x的单调递增区间为[1,+∞)，则a的值为( )
A. 6B. 3C. 32D. 34
5.若4×6n+5n−a(n∈N)能被25整除，则正整数a的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足a>b，c>d，则满足条件的排法种数为( )
A. 45B. 60C. 90D. 180
7.在(2+ x)2n+1(n∈N∗)的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为( )
A. 32n+1−1B. 32n+1+1C. 32n+1−12D. 32n+1+12
8.已知函数f(x)=13x3−x2，若f(m)=en−n，则m与n的大小关系为( )
A. m>nB. m=nC. m二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X~N(4,2),若P(X>6)=a,P(4< X<6)=b,则( )
A. a+b=12B. P(X<2)=aC. E(2X+1)=8D. D(2X+1)=8
10.已知曲线y=f(x)在原点处的切线与曲线y=xf(x)在(2,8)处的切线重合，则( )
A. f(2)=4
B. f′(2)=3
C. f′(0)=4
D. 曲线y=f(x)在(2,a)处的切线方程为y=a
11.假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn)，两个变量满足一元线性回归模型Y=bx+e,E(e)=0,D(e)=σ2.要利用成对样本数据求参数b的最小二乘估计b，即求使Q(b)=i=1n(yi−bxi)2取最小值时的b的值，若某汽车品牌从2020∼2024年的年销量为ω(万辆)，其中年份对应的代码t为1∼5，如表，
根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述令变量x=t−t，Y=ω−w，且变量x与变量Y满足一元线性回归模型Y=bx+e,E(e)=0,D(e)=σ2.则下列结论正确的有( )
A. b=i=1nxiyii=1nxi2B. b=i=1nxiyii=1nyi2
C. w=5.1t−1.3D. 2025年的年销售量约为34.4万辆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.A、B、C、D共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A和B去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你和B都没有得到冠军.”对B说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有 种(用数字作答)．
13.函数f(x)=ex(2x−1)x−1的极小值为 ．
14.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y=y条件下的期望为E(X|Y=y)=i=1nxi⋅P(X=xi|Y=y)=i=1nxi⋅P(X=xi,Y=y)P(Y=y)，其中{x1,x2,⋯,xn}为X的所有可能取值集合，P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”与事件“Y=y”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p(0四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某学校有南、北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的2×2列联表．
(1)对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据α=0.100的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联?
(2)若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d;
16.(本小题12分)
由0，1，2，3这四个数组成无重复数字的四位数中．
(1)求两个奇数相邻的四位数的个数(结果用数字作答);
(2)记夹在两个奇数之间的偶数个数为X，求X的分布列与期望．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−1)lnx−ax．
(1)若a=2，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)的图象恒在x轴的上方，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知离散型随机变量X服从二项分布B(n,p)．
(1)求证：kCnk=nCn−1k−1，(n≥k，且n为大于1的正整数);
(2)求证：E(X)=np;
(3)一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是20%，设同时发生故障的车床数为X，记X=k时的概率为P(X=k).试比较P(X=k)最大时k的值与E(X)的大小．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−a)2(x−b)ex(a,b∈R)．
(1)当a=1，b=2时，求函数f(x)的单调区间;
(2)若x=a是f(x)的一个极大值点，求b的取值范围;
(3)令g(x)=e−xf(x)且(a答案解析
1.D
【解析】解：当s=9时，9=2t2+1，解得t=2，
因为s′=4t，
所以质点A运动的速度大小为4×2=8．
故选D．
2.B
【解析】解：根据题意及两点分布的性质可知： P(X=1)−P(X=0)=0.32,P(X=1)+P(X=0)=1,
解得P(X=0)=0.34．
3.B
【解析】解：对于A： R2 值越大，模型的拟合效果越好，故A错误；
对于B，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确．
对于C，正态分布 Nμ,σ2 的图象越瘦高， σ 越小，故C错误；
对于D，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于1，故 D错误．
故选B．
4.C
【解析】解：因为f(x)=ax2+3x，且定义域为−∞,0∪0,+∞，
所以f′x=2ax−3x2，
因为函数f(x)=ax2+3x的单调递增区间为[1,+∞)，
所以f′x=2ax−3x2⩾0的解集为[1,+∞)，
即2ax3−3⩾0的解集为[1,+∞)，
所以1为2ax3−3=0的实数根，
所以2a−3=0，解得a=32．
故选C．
5.C
【解析】解：4×6n+5n−a=4(5+1)n+5n−a
=4(Cn05n+Cn15n−1+…+Cnn−252+Cnn−15+Cnn)+5n−a
=4(Cn05n+Cn15n−1+…+Cnn−252)+25n+4−a
=4×25×(Cn05n−2+Cn15n−3+…+Cnn−2)+25n+4−a，
因为4×25×(Cn05n−2+Cn15n−3+…+Cnn−2) , 25n均能被25整除，
故4−a能被25整除，故正整数a的最小值为4．
故选C．
6.C
【解析】解：先从6张卡片中任取2张卡片放入表格第一行中，有C62种选法，
因为a>b，
所以每一个选法对应一种放法，
再从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入表格第二行中，有C42种选法，
因为c>d，所以每一个选法对应一种放法，
所以满足条件的排法种数为C62⋅C42=90．
故选C．
7.D
【解析】解：(2+ x)2n+1(n∈N∗)的展开式的通项公式为Tr+1=C2n+1rx2n+1−r2．2r，
由于x的幂指数为整数，因此，r为奇数，
记S=C2n+11⋅2+C2n+13⋅23+C2n+15⋅25+⋯+C2n+12n+1⋅22n+1，
由于(1+2)2n+1=C2n+10+C2n+11⋅2+C2n+11⋅22+⋯−C2n+12n+1⋅22n+1，
(1−2)2n+1=C2n+10−C2n+11⋅2+C2n+11⋅22−⋯−C2n+12n+1⋅22n+1，
因此，将以上两式相减，即可得到S=12(32n+1+1)．
故选D．
8.A
【解析】解：因为f′(x)=xx−2，
所以当02时，f′(x)>0，
因此函数f(x)在−∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减，
且f0=0，f2=−43．
令gx=ex−x，则g′x=ex−1，
因此当x<0时，g′x<0，函数gx单调递减；当x>0时，g′x>0，函数gx单调递增，
所以函数gx的最小值为g0=1．
设fm=en−n=t，作直线y=t和函数f(x)、函数gx的图象如下：
令ℎx=gx−fx=ex−x−13x3+x2x>1，则ℎ′x=ex−1−x2+2xx>1．
令Hx=ℎ′x=ex−1−x2+2xx>1，则H′x=ex−2x+2x>1．
令tx=H′x=ex−2x+2x>1，则t′x=ex−2>e−2>0x>1，
因此函数tx是增函数，即H′x是增函数．
因为H′1=e，函数H′x是增函数，所以H′x>H′1=e>0，
因此函数Hx是增函数，即函数ℎ′x是增函数．
因为ℎ′1=e+2，函数ℎ′x是增函数，所以ℎ′x>ℎ′1=e+2>0，
因此函数ℎx是增函数．
因为ℎ1=e−1−13+1=e−13，函数ℎx是增函数，
所以ℎx>ℎ1=e−13>0，即当x>1时，gx>fx，
因此由直线y=t和函数f(x)、函数gx的图象知：当fm=en−n时，n9.ABD
【解析】解：随机变量X∽N(4,2),则P(X>4)=P(4< X<6)+P(X>6)=a+b=12,故A正确;
随机变量X∽N(4,2),则P(X<2)=P(X>6)=a,故B正确;
E(2X+1)=2E(X)+1=2×4+1=9, 故C错误;
D(2X+1)=22D(X)=4×2=8,故D正确.
故选:ABD.
10.ACD
【解析】解：由题意可得f(0)=0，曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=f′(0)x，
令g(x)=xf(x)，则g(2)=2f(2)=8，即f(2)=4，故A正确；
g′(x)=f(x)+xf′(x)，曲线y=xf(x)在(2,8)处的切线方程为y=[f(2)+2f′(2)](x−2)+8，
即y=[f(2)+2f′(2)]x−2[f(2)+2f′(2)]+8，
∴f(2)+2f′(2)=f′(0)−2[f(2)+2f′(2)]+8=0，解得f(2)+2f′(2)=f′(0)=4，
把f(2)=4代入，可得f′(2)=0，故B错误，C正确；
曲线y=f(x)在(2,a)处的切线方程为y=a，故D正确．
故选：ACD．
11.AC
【解析】解：因为Q(b)=i=1n(yi−bxi)2=i=1n(yi2−2bxiyi+b2xi2)
=b2i=1nxi2−2bi=1nxiyi+i=1nyi2 ，
上式是关于b 的二次函数，
因此要使Q(b)取得最小值，当且仅当b的取值为b=i=1nxiyii=1nxi2，故A正确，B错误；
由题知t=1+2+3+4+55=3，ω=4+9+14+18+255=14，
所以i=15xiyi=i=15(ti−t)(ωi−ω)
=(−2)×(−10)+(−1)×(−5)+0×0+1×4+2×11=51，
i=15xi2=i=15(ti−t)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10，
所以b=i=15xiyii=15xi2=5110=5.1，所以y=5.1x，
所以ω−ω=5.1(t−t)，ω−14=5.1(t−3)，所以ω=5.1t−1.3，
故C正确；
当t=6时，ω=5.1×6−1.3=29.3(万)，
预计2025年的年销售量约为29.3万辆，故D错误．
故选AC．
12.8
【解析】解：由题意，A、B都不是第一名且B不是最后一名，
B的限制最多，故先排B，有2种情况；
再排A，也有2种情况；
余下2人有A22种排法．
故共有2×2×A22=8种不同的情况．
故答案为8．
13.4e32
【解析】解：因为f′(x)=ex(2x2−3x)x−12x≠1，
所以由f′(x)<0得00得x<0或x>32，
因此函数fx在−∞,0和32,+∞上单调递增，在0,1和1,32上单调递减，
所以当x=32时，函数f(x)取得极小值，极小值为4e32．
14.(1−p)3p2；n2
【解析】解：(1)由题设，P(ξ=2,η=5)=(1−p)⋅p⋅(1−p)⋅(1−p)⋅p=(1−p)3p2；
(2)因为P(η=n)=Cn−11(1−p)n−2p2=(n−1)(1−p)n−2p2，
P(ξ=xi|η=n)=(1−p)n−2p2,1⩽xi⩽n−1，
所以E(ξ|η=n)=∑n−1i=1[xi×P(ξ=xi,η=n)P(η=n)]
=1n−1+2n−1+...+n−2n−1+1
=(n−1)(1n−1+1)2=n2．
故答案为(1−p)3p2；n2．
15.解：(1)零假设为H0：分类变量X与Y相互独立，
即不同区域就餐与学生性别没有关联，
χ 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(35×25−25×20)245×55×50×50=10099≈1.010<2.706，
依据α=0.100的独立性检验，没有充分证据推断H不成立，
因此可以认为H0成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．
(2)设事件A为“从这100名参赛学生中抽出2人，其性别为一男一女”，
事件B为“这2名学生均在南餐厅就餐”，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=C251C201C1002C501C501C1002=C251C201C501C501=25×2050×50=15，
故在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，
这2名学生的成绩均在“南餐厅”就餐概率为15．
【解析】(1)由公式得出χ 2，对照临界值表可得结论；
(2)根据条件概率的概念与计算可得结论．
16.解：(1)两个奇数相邻的无重复数字的四位数有如下三种情况：
①0在个位上时有A22A22=4个四位数，
②0在十位上时有A22=2个四位数，
③0在百位上时有A22=2个四位数，所以满足条件的四位数的个数共有4+2+2=8个．
(2)由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X可能的取值分别为0，1，2，
则P(X=0)=8C31A33=818=49，
P(X=1)=6C31A33=13，
P(X=2)=4C31A33=29，
∴X的分布列为
期望为E(X)=0×49+1×13+2×29=79．
【解析】(1)分0在个位上、十位上和百位上三种情况，求解即可；
(2)易得X可能的取值分别为0，1，2，得出对应概率，可得X的分布列与期望．
17.解：(1)由a=2，则f(x)=(x−1)lnx−2x，x∈(0,+∞)，f(1)=−2，f′(x)=lnx−1x−1，
代入x=1得f′(1)=−2，
所以f(x)在(1,1)处的切线方程为2x+y=0；
(2)由f(x)图象恒在x轴上方，则f(x)=(x−1)lnx−ax>0恒成立，
即a<(x−1)lnxx在x∈(0,+∞)上恒成立，
令F(x)=(x−1)lnxx，即aF′(x)=x−1+lnxx2，令g(x)=x−1+lnx，
易知g(x)在(0,+∞)上为单调递增函数且g(1)=0．
所以当x∈(0,1)时，F′(x)<0，F(x)在(0,1)单调递减;
当x∈(1,+∞)时，F′(x)>0，F(x)在(1,+∞)单调递增;
F(1)=0为函数F(x)的最小值即F(x)≥F(1)，
∴综上可知a<0．
【解析】(1)先求导，代入切点横坐标，得出切线斜率，进而得出切线方程；
(2)分类变量得a<(x−1)lnxx在x∈(0,+∞)上恒成立，令F(x)=(x−1)lnxx，即a18.解：(1)证明：左边=kCnk=k⋅n!k!(n−k)!=n!(k−1)!(n−k)!，
右边=nCn−1k−1=n⋅(n−1)!(k−1)!(n−k)!=n!(k−1)!(n−k)!，
所以左边=右边，即kCnk=nCn−1k−1；
(2)证明：由X∽B(n,p)知P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k，
令q=1−p，由(1)知kCnk=nCn−1k−1可得：
E(X)=k=0nkCnkpkqn−k=k=1nnCn−1k−1pkqn−k=npk=1nCn−1k−1pk−1qn−1−(k−1)，
令k−1=m，
则E(X)=npm=0n−1Cn−1mpmqn−1−m=np(p+q)n−1，
∴E(X)=np;
(3)由题意知X∽B(12,0.2)，
所以E(X)=12×0.2=2.4，
要使P(X=k)最大，则必有P(X=k)≥P(X=k+1)，P(X=k)≥P(X=k−1)，
即C12k0.2k1−0.212−k⩾C12k+10.2k+11−0.211−kC12k0.2k1−0.212−k⩾C12k−10.2k−11−0.213−k,
即412−k⩾1k+11k⩾413−k，解得85≤k≤135，
又因为k∈N∗，所以k=2<2.4=E(X)，
∴P(X=k)最大时k的值小于E(X)．
【解析】(1)利用组合数公式，即可证出结果；
(2)根据P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k，利用期望公式证明即可；
(3)要使P(X=k)最大，则必有P(X=k)≥P(X=k+1)，P(X=k)≥P(X=k−1)，求出k的取值范围，即可求出结果．
19.解：由f(x)=(x−a)2(x−b)ex得f′(x)=(x−a)[x2+(3−a−b)x+ab−2b−a]ex，
(1)当a=1，b=2时，f′(x)=(x−1)(x− 3)(x+ 3)ex，
令f′(x)=0得x1=− 3，x2=1，x3= 3，
f′(x)在(−∞,− 3)和(1, 3)小于0，在(− 3,1)和( 3,+∞)大于0，
所以f(x)的单调递增区间为(− 3,1)和( 3,+∞)，单调递减区间为(−∞,− 3)和(1, 3)；
(2)令ℎ(x)=x2+(3−a−b)x+ab−2b−a，
则Δ=(3−a−b)2−4(ab−2b−a)=(1−a+b)2+8>0，
所以ℎ(x)=0有两个不等实根x1，x2，不妨设x1①当x1=a或x2=a时，x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意;
②当x1>a或x2又当x1所以ℎ(a)<0，
即a2+(3−a−b)a+ab−2b−a<0，
所以b>a，
所以b的取值范围(a,+∞)；
(3)由g(x)=e−xf(x)=(x−a)2(x−b)知，g′(x)=3(x−a)(x−a+2b3)，
由a不妨设g(x)的两个极值点分别为x1=a，x2=a+2b3，
因为x1，x2，x3互不相等，x3是g(x)的一个零点，
所以x3=b，
所以a+2b3−a=2b−2a3=2×b−a3=2(b−a+2b3)，
所以存在x4=x1+x22=a+a+2b32=4a+2b6=2a+b3，使x1，x4，x2，x3成等差数列，
即存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按照某种顺序排列后构成等差数列，且x4=2a+b3．
【解析】(1)求出导数，利用导数大于0，求得单调递增区间，利用导数小于，求得单调递减区间；
(2)求出导数，令ℎ(x)=x2+(3−a−b)x+ab−2b−a，由Δ=(3−a−b)2−4(ab−2b−a)=+8>0，
得出ℎ(x)=0有两个不等实根x1，x2，不妨设x1a或x2(3)求出函数g(x)的极值点和零点，利用等差数列的概念，即可求出结果．a
b
c
d
年份代码t
1
2
3
4
5
销量ω(万辆)
4
9
14
18
25
性别
就餐人数
合计
南餐厅
北餐厅
男
25
25
50
女
20
30
50
合计
45
55
100
α
0.100
0.050
0.025
0.010
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
X
0
1
2
P
49
13
29