2023-2024学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U={0,1,2,4,6,8}，集合M={0,4,6}，N={0,1,6}，则M∪∁UN=( )
A. {0,2,4,6,8}B. {0,1,4,6,8}C. {1,2,4,6,8}D. U
2.对于任意实数a，b，“a2=b2”是“2a=2b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若f(x)=(x3+a)lnx−2x+2为偶函数，则a=( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
4.设y1=90.9，y2=lg327−0.48，y3=(13)−1.5，则( )
A. y3>y1>y2B. y2>y1>y3C. y1>y3>y2D. y1>y2>y3
5.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A. 0.8B. 0.6C. 0.5D. 0.4
6.为了研究某班学生的脚长x(单位厘米)和身高y(单位厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y​=b​x+a​.已知i=110xi=225，i=110yi=1600，b =4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )
A. 160B. 163C. 166D. 170
7.若2x=6,y=lg443，则x+2y的值是( )
A. 3B. 13C. lg23D. −3
8.空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是( )
A. 若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B. 若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β
C. 若α//β，m//α，n//β，则m//n D. 若α//β，m//α，m//n，则n//β
9.设函数f(x)=ex(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)
10.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：
假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立．
通过计算统计量χ2，得χ2≈7.468，根据χ2分布概率表：
P(χ2≥6.635)≈0.01，P(χ2≥5.024)≈0.025，
P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥2.706)≈0.1．
给出下列3个命题，其中正确的个数是( )
①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%
②有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关
③χ2分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
11.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则( )
A. AC=2 2B. 该圆锥的侧面积为4 3π
C. △PAC的面积为 3D. 该圆锥的体积为2π
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
12.计算(1− 3i)2(i为虚数单位)的值为______．
13.二项式(3x+12x)8展开式中的常数项是______．
14.某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70、97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的第75%分位数是______．
15.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，P(X=4)16.已知正数x，y满足x+y=1，则1x−y4的取值范围为______．
17.在平行四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3 3，BC=6，若AE=12EB，设AB−=a，AD=b，则EC可用a，b表示为______；若点F为AD的中点，点P为线段BC上的动点，则PE⋅PF的最小值为______．
18.曲线y=x3−3x与y=−(x−1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题15分)
在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．
(1)若A+C=120°，a=2c，求边长c；
(2)若A−C=15°，a= 2csinA，求△ABC的面积．
20.(本小题15分)
如图，在四棱锥E−ABCD中，EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB/​/CD，AB=1，CB=CD=CE=3．
(1)若F在侧棱DE上，且DF=2FE，求证：AF//平面BCE；
(2)求平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值．
21.(本小题15分)
已知函数f(x)=6csxsin(x−π6)+32．
(1)求f(x)的最小正周期和其图象的对称轴方程；
(2)若函数y=f(x)−a在x∈[π12,5π12]存在零点，求实数a的取值范围．
22.(本小题15分)
已知函数f(x)=(1x+a)ln(1+x)．
(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增，求a的取值范围．
答案解析
1.A
【解析】解：由于∁UN={2,4,8}，
所以M∪∁UN={0,2,4,6,8}．
故选：A．
2.B
【解析】解：当a=2，b=−2，满足a2=b2，但2a≠2b，故充分性不成立，
当2a=2b时，
则a=b，
故a2=b2，必要性成立，
综上所述，“a2=b2”是“2a=2b”的必要不充分条件．
故选：B．
3.B
【解析】解：函数f(x)定义域为：x−2x+2>0，∴x>2或x<−2，
若f(x)为偶函数，则f(−3)=f(3)，
则(−27+a)ln5=(27+a)ln15=−(27+a)ln5，
则a=0，经检验，满足题意．
故选：B．
4.C
【解析】解：因为y1=90.9=32.7，
y2=lg327−0.48=−0.48lg327=−3×0.48=−1.44，
y3=(13)−1.5=31.5<32.7=y1，
故y2故选：C．
5.A
【解析】解：根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设该同学爱好滑冰为事件A，爱好滑雪为事件B，
则P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.7，
则P(AB)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0.4，
若选出的同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率P(A|B)=P(AB)P(B)=．
故选：A．
6.C
【解析】解：∵x−=110i=110xi=225=22.5，y−=110i=110yi=1600=160，
∴a =y−−b x−=160−4×22.5=70，
则y =4x+70，取x=24，得y =4×24+70=166．
故选：C．
7.A
【解析】解：∵2x=6，lg443=y，
∴x+2y=lg26+2lg443
=lg436+lg4169
=lg4(36×169)
=lg443
=3．
故选：A．
8.A
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，又n⊥β，所以m⊥n，故A正确；
对于B，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，由m⊥n，则n与β斜交、垂直、平行均有可能，故B错误；
对于C，若α/​/β，m/​/α，则m//β或m⊂β，由n/​/β，则m与n相交、平行、异面均有可能，故C错误；
对于D，若α/​/β，m/​/α，则m//β或m⊂β，又m/​/n，则n/​/β或n⊂β，故D错误．
故选：A．
9.D
【解析】解：函数f(x)=ex(x−a)在区间(0,1)单调递减，
所以g(x)=(x−a)x在(0,1)上单调递减，
所以12a≥1，即a≥2．
故选：D．
10.D
【解析】解：因为χ2≈7.468>6.635，
所以有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于1%，
故①②正确，
χ2分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生，故③正确．
故选：D．
11.A
【解析】解：依题意，∠APB=120°，PA=2，
所以OP=1,OA=OB= 3，
圆锥的体积为13×π×( 3)2×1=π，故D错误；
圆锥的侧面积为π× 3×2=2 3π，故B选项错误，
设D是AC的中点，连接OD，PD，
则AC⊥OD，AC⊥PD，
所以∠PDO是二面角P−AC−O的平面角，
则∠PDO=45°，所以OP=OD=1，
故AD=CD= 3−1= 2，
则AC=2 2，故A选项正确；
PD= 12+12= 2，
所以S△PAC=12×2 2× 2=2，故C错误；
故选：A．
12.−2−2 3i
【解析】解：(1− 3i)2=1−2 3i+(− 3i)2=−2−2 3i.
故答案为：−2−2 3i.
13.7
【解析】解：根据二项式的展开式Tr+1=C8r⋅x8−r3⋅(12)r⋅x−r=C8r⋅x8−4r3⋅(12)r(r=0,1,2,3,4,5,6,7,8)，
当r=2时，常数项为C82⋅(12)2=7．
故答案为：7．
14.97
【解析】解：7人的比赛成绩从小到大排列为：70，73，85，90，95，97，98，
因为7×75%=5.25，
所以这7人成绩的第75%分位数是第6个，即为97．
故答案为：97．
15.0.6
【解析】解：由题意，使用移动支付的人数X服从二项分布，
则D(X)=10p(1−p)=2.4，解得p=0.4或p=0.6，
又P(X=4)化简得(1−p)212，
所以p=0.6．
故答案为：0.6．
16.(1,+∞)
【解析】解：正数x，y满足x+y=1，
则y=1−x，
故1x−y4=1x−1−x4=1x+x4−14，
设函数g(x)=1x+x4−14，x∈(0,1)，
故g(x)在(0,1)上单调递减，
g(x)>g(1)=1，
所以则1x−y4的取值范围为(1,+∞)．
故答案为：(1,+∞)．
17.EC=23a+b 634
【解析】解：如图，因为平行四边形ABCD中，AB⊥BC，所以四边形ABCD是矩形，
则以B为原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
因为AB=3 3，BC=6，若AE=12EB，F为AD的中点，
所以A(0,3 3)，E(0,2 3)，F(3,3 3)．
因为AB−=a，AD=b，
所以EC=EB+BC=23AB+AD=23a+b；
设P(x,0)，其中0≤x≤6，
则PE=(−x,2 3)，PF=(3−x,3 3)，
所以PE⋅PF=−x(3−x)+2 3×3 3
=x2−3x+18=(x−32)2+634，
所以当x=32时，PE⋅PF的值最小，最小值为634．
故答案为：EC=23a+b；634．
18.(−2,1)
【解析】解：令x3−3x=−(x−1)2+a，则a=x3−3x+(x−1)2，
令φ(x)=x3−3x+(x−1)2，则φ′(x)=3x2−3+2(x−1)=(x−1)(3x+5)，
因为x>0，
故当x>1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，当0因为φ(0)=1，φ(1)=−2，x→+∞时，φ(x)→+∞，
若使得a=x3−3x+(x−1)2有两个不同零点，
则a的范围为(−2,1)．
故答案为：(−2,1)．
19.解：(1)∵A+C=120°，且a=2c，
∴sinA=2sinC=2sin(120°−A)= 3csA+sinA，
∴csA=0，
∴A=90°，C=30°，B=60°，
∵b=2，
∴c=2 33；
(2)a= 2csinA，
则sinA= 2sinCsinA，
sinA>0，
∴sinC= 22，
∵A−C=15°，
∴C为锐角，
∴C=45°，A=60°，B=75°，
∴asin60∘=2sin75∘=8 2+ 6，
∴a=4 3 2+ 6=3 2− 6，
∴S△ABC=12absinC=12×4 3 2+ 6×2× 22=3− 3．
【解析】(1)由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求A，B，C，然后结合锐角三角函数即可求解；
(2)由已知结合正弦定理先求出sinC，进而可求C，再由正弦定理求出a，结合三角形面积公式可求．
20.解：∵EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB/​/CD，∴CB，CE，CD两两垂直，
故以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C−xyz，则C(0,0,0)，
D(3,0,0)，B(0,3,0)，E(0,0,3)，F(1,0,2).A(1,3,0)，
(1)证明：易得平面BCE的法向量为m=(1,0,0)，AF=(0,−3,2)
∵m⋅AF=1×0+0×(−3)+0×2=0，∴AF⊥m，
又AF⊄平面BCE，∴AF/​/平面BCE；
(2)AD=(2,−3,0)，AE=(−1,−3,3)
设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)
由n⋅AD=2x−3y=0n⋅AE=−x−3y+3z=0，可取n=(3,2,3)
cs=m⋅n|m||n|=31× 22=3 2222
∴平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值为3 2222．

【解析】由已知可得CB，CE，CD两两垂直，可以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C−xyz，则C(0,0,0)，D(3,0,0)，B(0,3,0)，E(0,0,3)，F(1,0,2).A(1,3,0)，利用向量法求解．
21.解：(1)对于函数f(x)=6csxsin(x−π6)+32
=6csx(sinx⋅ 32−12csx)+32
=3 32sin2x−3×1+cs2x2+32
=3(sin2x⋅ 32−12cs2x)
=3sin(2x−π6)，
故它的最小正周期为2π2=π．
令2x−π6=kπ+π2，得x=kπ2+π3，k∈Z，
故f(x)图象的对称轴方程为x=kπ2+π3，k∈Z．
(2)∵函数y=f(x)−a在x∈[π12,5π12]存在零点，
即sin(2x−π6)=a3在[π12,5π12]上有解．
当x∈[π12,5π12]时，2x−π6∈[0,2π3]，sin(2x−π6)∈[0,1]，
∴a3∈[0,1]，∴a∈[0,3]．
【解析】
(1)由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性、图象的对称性，得出结论．
(2)由题意，方程sin(2x−π6)=a3在[π12,5π12]上有解，根据正弦函数的定义域和值域，求得sin(2x−π6)的范围，可得a的范围．
22.解：(1)当a=−1时，
则f(x)=(1x−1)ln(1+x)，
求导可得，f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x−1)⋅1x+1，
当x=1时，f(1)=0，
当x=−1时，f′(1)=−ln2，
故曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程为：y−0=−ln2(x−1)，即(ln2)x+y−ln2=0；
(2)f(x)=(1x+a)ln(1+x)，
则f′(x)=(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)⋅1x+1(x>−1)，
函数f(x)在(0,+∞)单调递增，
则(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)⋅1x+1≥0，化简整理可得，−(x+1)ln(x+1)+x+ax2≥0，
令g(x)=ax2+x−(x+1)ln(x+1)(x>0)，
求导可得，g′(x)=2ax−ln(x+1)，
当a≤0时，
则2ax≤0，ln(x+1)>0，
故g′(x)<0，即g(x)在区间(0,+∞)上单调递减，
g(x)令m(x)=g′(x)=2ax−ln(x+1)，
则m′(x)=2a−1x+1，
当a≥12，即2a≥1时，
1x+1<1，m′(x)>0，
故m(x)在区间(0,+∞)上单调递增，即g′(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
所以g′(x)>g′(0)=0，g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
g(x)>g(0)=0，符合题意，
当0当x∈(0,12a−1)时，m′(x)<0，m(x)在区间(0,12a−1)上单调递减，即g′(x)单调递减，
g′(0)=0，
当x∈(0,12a−1)时，g′(x)∵g(0)=0，
∴当x∈(0,12a−1)时，g(x)综上所述，a的取值范围为[12,+∞)．
【解析】(1)根据已知条件，先对f(x)求导，再结合导数的几何意义，即可求解；
(2)先对f(x)求导，推得(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)⋅1x+1≥0，构造函数g(x)=ax2+x−(x+1)ln(x+1)(x>0)，通过多次利用求导，研究函数的单调性，并对a分类讨论，即可求解．
不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性气管炎者
121
162
283
患慢性气管炎者
13
43
56
总计
134
205
339