2023-2024学年河南省南阳二中高一（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳二中高一（下）月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=i2+2i1+i，则z的共轭复数z−=( )
A. 12+32iB. 12−32iC. −12+32iD. −12−32i
2.若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形的面积为( )
A. 4B. 2C. 4πD. 2π
3.平面向量a,b满足a=(2,1)，|2b−a|=3且(b−2a)⊥a，则|b|=( )
A. 3B. 10C. 11D. 2 3
4.若θ为第二象限角，且sinθ+csθ= 55，则cs2θ1−2sin2(θ+π4)=( )
A. 43B. −43C. 34D. −34
5.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB//DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E 为AD 的中点，若CA=λCE+μDB，则λ+μ的值为( )
A. 65B. 85C. 2D. 83
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
8.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=6，D为BC的中点，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则PB⋅PC的取值范围为( )
A. [−10,0]B. [−6,0]C. [0,6]D. [0,10]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. z⋅z−=|z|2，z∈C
B. i2024=−1
C. 若|z|=1，z∈C，则|z−2|的最小值为1
D. 若−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8
10.已知函数f(x)=sin(2ωx−π6)+2sin2ωx−1(ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小值是− 3
B. 若ω=1，则f(x)在[0,π3]上单调递减
C. 若f(x)在[0,π3]上恰有3个零点，则ω的取值范围为[72,5)
D. 函数y=f(x)3−f(x)的值域为[− 32, 32]
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC可以是钝角三角形
C. 若A=30°，b=4，a=2 3，则△ABC有两解
D. 若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为等边三角形
12.如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=b，且 3(acsC+ccsA)=2bsinB，D是△ABC外一点，DC=1，DA=3，则下列说法正确的是( )
A. △ABC是等边三角形
B. 若AC=2 3，则A，B，C，D四点共圆
C. 四边形ABCD面积最大值为5 32+3
D. 四边形ABCD面积最小值为5 32−3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a=(2,7),b=(x,−3)，且a与b夹角为钝角，则x的取值范围是 ．
14.已知函数f(x)=sin2x−csx+a，f(x)=0在区间(−π2,π2)上有解，则a的取值范围是______．
15.已知2sinβ−csβ+2=0，sinα=2sin(α+β)，则tan(α+β)= ______．
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A−sin2B+sin2C=sinAsinC，且△ABC的外接圆的半径为2 3，则△ABC面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z1=3−m2+(m− 3)i,z2=μ+sinθ+(csθ− 3)i，其中i是虚数单位，m，μ，θ∈R．
(1)若z1为纯虚数，求m的值；
(2)若z1=z2，求μ的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3cs(π2−2x)−2cs2x+1．
(1)若α∈(0,π),f(α2)=1，求α的值；
(2)若β∈(π2,π),f(β)=−12，求cs(β+π6)的值．
19.(本小题12分)
如图，在△OAB中，C是AB的中点，D是线段OB上靠近点O的四等分点，设OA=a，OB=b．
(1)若OA长为2，OB长为8，∠AOB=π3，求CD的长；
(2)若E是OC上一点，且OC=2OE，试判断A，D，E三点是否共线？并说明你的理由．
20.(本小题12分)
在下面给出的三个条件：①2sin2C−B2+2cs2C+B2+2csCcsB=1，②2tanBtanA+tanB=bc，③ 3b=a(sinC+ 3csC)中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a= 13，b=3，____，
(1)求角A；
(2)求△ABC的面积．
21.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是一块边长为100cm的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为90cm，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧MN上一点，∠PAB=θ，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一块边在BC与CD上的矩形铁皮，
(1)求出矩形铁皮PQCR面积S关于θ的表达式；
(2)试确定θ的值，使矩形铁皮PQCR面积最大，并求出这个最大面积．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=csx(sinx− 3csx)(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f(B2)=− 32，b=6，求△ABC的面积的取值范围．
答案解析
1.B
【解析】解：z=i2+2i1+i=−1+2i1+i=(−1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=12+32i，
则z−=12−32i．
故选：B．
2.A
【解析】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以圆的半径为：2，
所以扇形的面积为：12×4×2=4；
故选：A．
3.C
【解析】解：|a|= 5，
又(b−2a)⊥a，
则(b−2a)⋅a=a⋅b−2a2=a⋅b−2×5=0，
可得a⋅b=10，
又|2b−a|=3，
则4b2−4a⋅b+a2=4|b|2−40+5=9，
解得|b|= 11．
故选：C．
4.D
【解析】解：∵θ为第二象限角，
∴sinθ>0，csθ